Re: [Bulk] [obm-l] Re: [obm-l] Congruências com primos

[Listeiro 037]

Será que existe um texto sobre isto?

Em Thu, 18 Aug 2016 11:31:54 -0300
Anderson Torres  escreveu:

> A ideia é que 1/N mod p seja a solução da "equação" Nx=1 (mod p).
> 
> Em 3 de agosto de 2016 18:15, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> > Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito
> > bem em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém
> > poderia me explicar o pq da congruência abaixo?
> >
> > Seja p um primo
> >
> > então podemos dizer que 1/(p-1)≡1/-1≡-1(mod p)
> >
> > 1/(p-2)≡1/-2≡-1/2(mod p)
> > 1/(p-3)≡1/-3≡-1/3(mod p)
> > 
> > 1/(p-k)≡1/-k≡-1/k(mod p)
> >
> > como explicar isso?
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] [obm-l] Ramanujan

[Listeiro 037]

Tenho quase certeza de que o vi disponível numa rede de métodos nada
ortodoxos para se conseguir obtê-lo. Entende?

Fui verificar agora e está nada seguro tentar. 

Em Sat, 9 Jul 2016 19:32:42 -0300
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Alguém sabe se o filme biográfico de ramanujan "The man who knew
> infinity" já saiu aqui no Brasil? estou querendo assistir, mas não
> encontro em lugar algum, nem fiolme para alugar ou comprar...
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Prova de cálculo de determinantes

[Listeiro 037]

Salve pessoal.

Gostaria de saber onde posso encontrar na internet uma prova sobre o
cálculo de determinantes de matriz nxn e o cálculo do determinante de
Vandermonde nxn.

Encontrar na internet é mais prático.

Gostaria de saber se há algum livro que aborde estas provas.

Desde já agradeço.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] [OFF] Aneis Adélicos (Adèles)

[Listeiro 037]

Saudações a todos.

Esbarrei com um conceito algébrico chamado Adele. Não encontrei
material claro sobre este conceito. Alguém conhece algum? Desde já
agradeço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] [off] Ilustração de equações em uma lousa

[Listeiro 037]

Olá a todos.

Tenho uma dúvida que não sei onde posso esclarecer-me.

Coloquei uma imagem no serviço do imgur para que possam ver. É só
clicar no link.

http://i.imgur.com/gBIwI1l.jpg

A dúvida é se na imagem da lousa acima as equações fazem algum sentido,
se no mínimo lembram alguma coisa com algum sentido, matematicamente
falando. Se seriam, por exemplo, algo de Estatística ou Análise.

Desde já agradeço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Livros

[Listeiro 037]

Muito obrigado também.

Aproveitando, alguém teria livros do Andreescu para compartilhar?


Em Mon, 18 Jan 2016 22:35:57 -0200
Vanderlei Nemitz  escreveu:

> Muito obrigado!!!
> 
> Em 18 de janeiro de 2016 22:20, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
> 
> > Tenho eles em russo... vou deixar no link abaixo por 2 dias.
> >
> > https://drive.google.com/folderview?id=0B-1sAhj7LSlyd3UzcTNSOWdjdzg=sharing
> >
> > Em 18 de janeiro de 2016 18:48, regis barros
> >  escreveu:
> >
> >> Boa noite Pessoal
> >> Verifiquei meu hd se há algum livro do suprun, mas lamento não há
> >> nenhum.
> >>
> >> Regis
> >>
> >>
> >> Em Segunda-feira, 18 de Janeiro de 2016 12:23, Guilherme Ribeiro <
> >> gprfaw...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>
> >> Também quero!
> >> Em 18/01/2016 03:28, "Research"  escreveu:
> >>
> >> Prezados,
> >> Faço minhas as palavras do Eduardo Beltrão.
> >> mathemat...@sapo.pt
> >>
> >> Atenciosamente,
> >>
> >> Nzinga
> >>
> >>
> >> On Jan 16, 28 Heisei, at 11:03 AM, e-...@ig.com.br wrote:
> >>
> >> Se alguém disponibilizar tais obras em PDF também gostaria de uma
> >> cópia. Se no DROPBOX, melhor ainda. Se não, segue meu e-mail:
> >> e-...@ig.com.br
> >> Desde já, agradeço!
> >> Eduardo Beltrão
> >>
> >>
> >> Em 14/01/2016 21:14, Jeferson Almir escreveu:
> >>
> >> Reintero o meu interesse por esses livros, caso alguém já obteve
> >> poderia disponibilizar uma pasta compartilhada no Dropbox seria
> >> uma boa ideia. Abraço Jeferson Almir
> >>
> >> Em quinta-feira, 14 de janeiro de 2016, Giovanni Celestre <
> >> ggabrie...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Eu também, Por favor
> >> Obrigado
> >>
> >> 2016-01-14 13:01 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz
> >> :
> >>
> >> Eu quero, Israel!
> >>
> >> Obrigado!
> >>
> >> Vanderlei
> >>
> >> Em 14 de janeiro de 2016 12:54, Israel Meireles Chrisostomo <
> >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> *PROBLEMAS DE ALTA DIFICULDAD - 300 Problemas Resolvidos*
> >>
> >> *Métodos Alternativos para a Resolução de Equações e Inequações -
> >> 350 Problemas Resolvidos*Eu tenho esses doi em espanhol, não é
> >> pdf, é o livro mesmo!Se tiver interessado mande um email para mim!
> >>
> >> Em 14 de janeiro de 2016 11:07, benedito freire
> >>  escreveu:
> >>
> >> Por favor, escreva o nome do autor completo.
> >> Talvez eu possa conseguir
> >> --
> >> De: Vanderlei Nemitz
> >> Enviada em: ‎14/‎01/‎2016 11:12
> >> Para: OBM
> >> Assunto: Re: [obm-l] Livros
> >>
> >> Você tem algum deles, Regis? Eu tinha o PDF de dois deles, em
> >> Russo, mas o pendrive estragou e perdi :(
> >>
> >> Em 14 de janeiro de 2016 11:01, Jefferson Cândido
> >>  escreveu:
> >>
> >> Muito bom! Se puder mandar também para meu e-mail,
> >> jjjeffer...@gmail.com, agradeço!
> >>
> >> Em 13 de janeiro de 2016 21:45, Vanderlei Nemitz
> >>  escreveu:
> >>
> >> *PROBLEMAS DE ALTA DIFICULDAD - 300 Problemas Resolvidos*
> >> *Métodos de Resoluções e Demonstrações de Desigualdades - ** 367
> >> Problemas*
> >> *Métodos Alternativos para a Resolução de Equações e Inequações -
> >> 350 Problemas Resolvidos*
> >>
> >> *Qualquer um desses já seria uma grande ajuda!*
> >>
> >> *Obrigado!*
> >>
> >> Em 13 de janeiro de 2016 21:33, regis barros
> >>  escreveu:
> >>
> >> Olá Vanderlei
> >> Quais livros do suprun você precisa?
> >>
> >> Regis
> >>
> >>
> >> Em Quarta-feira, 13 de Janeiro de 2016 14:35, Vanderlei Nemitz <
> >> vanderma...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>
> >> Boa tarde! Alguém tem os PDFs dos livros do Suprún? Pode ser até
> >> em russo mesmo! Ou mesmo tenha e queira vender os livros físicos?
> >> Preciso muito deles, mas está em falta.
> >>
> >> Obrigado!
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> É preciso amar as pessoas como se não houvesse amanhã...
> >>
> >> Jefferson Cândido -
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >
> >
> > --
> > Abraços
> >
> > oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> >
> >

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: PDF trigonometria

[Listeiro 037]

Ok. Bem lembrado.

Em Mon, 18 Jan 2016 18:45:56 -0200
Israel Meireles Chrisostomo <israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Tipo vc teria sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ)  e sen(2α) + sen(2β) +
> sen(2γ) mas veja que em uma α + β + γ=pi/2 e na outra α + β + γ=pi
> na verdade vc nem poderia chamar do mesmo valor de ângulo
> 
> Em 18 de janeiro de 2016 18:42, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> 
> > vc não pode dobrar os ângulos e igualar com a outra pq daí vc teria
> > alpha+beta +gamma=pi/2 em uma e alpha+beta+gamma=pi em outra então
> > essas dua identidades não podem ser iguais, mas se vc só dobrar os
> > Ângulos e NÃO IGUALAR com 3 aí sim vc pode
> >
> > Em 18 de janeiro de 2016 18:37, Israel Meireles Chrisostomo <
> > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >
> >>  quer dizer, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria
> >> alpha+beta +gamma=pi/2
> >>
> >> Em 18 de janeiro de 2016 18:36, Israel Meireles Chrisostomo <
> >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>> Vc deve prestar muita atenção nessas substituições pq ao se fazer
> >>> essas substituições vc está no fundo alterando os valores dos
> >>> ângulos e essas identidades só valem para aquele valor da soma de
> >>> ângulo
> >>>
> >>> Em 18 de janeiro de 2016 18:30, Israel Meireles Chrisostomo <
> >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>>> Vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria a+b+c=2pi, e vc
> >>>> provou que a identidade vale para a+b+c=pi
> >>>>
> >>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:29, Israel Meireles Chrisostomo <
> >>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>>>
> >>>>> Ah desculpa, vc não pode dobrar os ângulos pq daí vc teria
> >>>>> a+b+c=2pi
> >>>>>
> >>>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:28, Israel Meireles Chrisostomo <
> >>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >>>>>
> >>>>>> Sim, ao meu ver está correto resulta em uma outra identidade,
> >>>>>> mas tem que tomar cuidado com o detalhe
> >>>>>> sen((a+b)/2)=cos(pi/2-(a+b)/2)=cos((a+b+c)/2-(a+b)/2)=cos(c/2)
> >>>>>> e identidade 3 segue disso aqui
> >>>>>> :sen(a+b)=sen(pi-(a+b))=sen(a+b+c-(a+b))=senc
> >>>>>> Uma vc usa que senx=cos(pi/2-x) e a outra vc usa
> >>>>>> senx=sen(pi-x)  como nos dois casos a+b+c=pi vc faz a troca e
> >>>>>> cancela os ângulos
> >>>>>>
> >>>>>> Em 18 de janeiro de 2016 18:13, Listeiro 037 <
> >>>>>> listeiro_...@yahoo.com.br> escreveu:
> >>>>>>
> >>>>>>>
> >>>>>>> Olá. Comecei a ler o material.
> >>>>>>>
> >>>>>>> Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3:
> >>>>>>>
> >>>>>>> 2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
> >>>>>>>
> >>>>>>> 3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
> >>>>>>>
> >>>>>>> Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra
> >>>>>>> identidade se comparado com 3.
> >>>>>>>
> >>>>>>> 4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)
> >>>>>>>
> >>>>>>> Está correto?
> >>>>>>>
> >>>>>>>
> >>>>>>> Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
> >>>>>>> Israel Meireles Chrisostomo <israelmchrisost...@gmail.com>
> >>>>>>> escreveu:
> >>>>>>>
> >>>>>>> > Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários
> >>>>>>> > pontos, espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> >>>>>>> >
> >>>>>>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf
> >>>>>>>
> >>>>>>>
> >>>>>>> =
> >>>>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> >>>>>>> em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>>>>>>
> >>>>>>> =
> >>>>>>>
> >>>>>>
> >>>>>>
> >>>>>
> >>>>
> >>>
> >>
> >

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: PDF trigonometria

[Listeiro 037]

Olá. Comecei a ler o material.

Não testei ainda, mas fiquei com uma dúvida. Página 3: 

2. sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)

3. sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

Dobrando os valores dos ângulos de 2 resulta numa outra identidade se
comparado com 3.

4 cos(α) cos(β) cos(γ) = 4 sen(α) sen(β) sen(γ)

Está correto?


Em Mon, 18 Jan 2016 14:50:18 -0200
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Passando para divulgar um pdf que escrevi, editei vários pontos,
> espero que seja útil para alguém aqui do grupo:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_b448f135f8e34c698e369d1578d881f5.pdf

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] [off] Prêmio Oswald Veblen de Geometria

[Listeiro 037]

Olá a todos.

Esta mensagem é off, mas é a respeito desta premiação que foi recebida
por um brasileiro agora em 2016.

Depois de Artur Avila conquistar a Medalha Fields agora foi a vez de
Fernando Codá Marques, que resolveu uma conjectura juntamente com André
Neves, um outro ganhador, ambos conquistaram o prêmio Oswald Veblen,
oferecido pela AMS, a respeito de inovações em Geometria ou Topologia.

Um deles é nascido em São Carlos e criado em Maceió. O outro é de
Lisboa. Informações da Wikipédia.

Como comentei da última vez, Brasil não é só futebol (ou 7 a 1).

sds

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Trigonometria

[Listeiro 037]

Olá.

Eu vi seu pdf e gostei. Mas parece-me que ele tem um erro sutil de
digitação na segunda página. 

Aparecem duas vezes seno de beta mais gamma sobre dois.

Mas não é nada de mais. 


Em Fri, 20 Nov 2015 15:50:50 -0200
Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:

> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo
> problemas em trigonometria:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem
> deixar um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
> https://www.youtube.com/watch?edit=vd=ruCqqrMOzCQ
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Generalizando um questão de combinatória

[Listeiro 037]

O que seria permutação caótica?

Em Tue, 13 Oct 2015 09:02:39 -0300
gabriel araujo guedes  escreveu:

>  No livro de combinatória do Morgado seção de permutação caótica,
> questão 8, diz:
> "Dois médicos devem examinar, durante uma mesma hora, 6 pacientes,
> gastando 10 minutos com cada paciente.Cada um dos 6 pacientes deve
> ser examinado pelos dois médicos. De quanto modos pode ser feito um
> horário compatível?"
> 
> A resposta obtida  é 6!*D_6, no qual D_6 é a permutação caótica de 6
> elementos.
> 
> A questão pode ser facilmente para n pacientes, obtendo n!*D_n como
> resposta.
> 
> Agora se considerarmos k médicos e n pacientes, com k resolver?
> 
> Já encontrei dificuldade na generalização para k=3, tentei usar
> princípio da inclusão-exclusão, mas não funcionou direito.
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Sobre mdc de polinômios

[Listeiro 037]

Saudações.

Estive lendo e tentando resolver uns exercícios talvez mais básicos e
encontrei uma dúvida, sobre uma coisa que causou uma confusão: mdc de
polinômios.

Por exemplo: x+1 e x-1. Eu sei que são irredutíveis, a única coisa em
comum que divide ambos é 1.

Mas mudando o contexto, posso dizer que eles são côngruos módulo 2, não
é mesmo?

E além disso para, por exemplo, x=23 temos x-1 - 23-1 = 22 e x+1 -
23+1 - 24 e o mdc de 22 e 24 é 2. O que em determinado contexto
contradiz o mdc=1.

A confusão está feita. O que seriam cada uma destas três análises e
quando são válidas e não-válidas? Quais os contextos?

Desde já agradeço qualquer pista.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Sobre mdc de polinômios

[Listeiro 037]

Olá Ralph. Agradeço pela resposta.

Compreendi que se tratam de duas representações.

Agora tenho mais uma dúvida: existiria algo semelhante a uma técnica no
caso de se representar polinômios, por exemplo, por números, para saber
se eles tem algo de notável, seja com um mdc ou co-primos? Talvez
existam várias. É possível? Grato novamente.


Em Wed, 5 Aug 2015 11:49:15 -0300
Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Oi, Listeiro.
 
 A chave eh notar que divisibilidade de polinomios nao eh a mesma
 coisa que divisibilidade dos numeros que eles representam (quando
 voce substitui x). Digamos, exagerando, que nao tem nada a ver um com
 o outro.
 
 Um polinomio p(x) eh divisivel por um polinomio D(x) quando pode se
 escrever p(x)=q(x)D(x) onde q(x) eh um polinomio;
 Um numero inteiro p eh divisivel por um numero inteiro D quando pode
 se escrever p=qD onde q eh um numero inteiro.
 
 Parecidas, mas diferentes. Nos polinomios, nao ha nenhuma referencia a
 numeros inteiros. Por isso mesmo o m.d.c. entre dois polinomios nao
 eh o m.d.c. entre os numeros inteiros que eles possam representar.
 
 O seu exemplo eh otimo para ilustrar a diferenca. Outros exemplos:
 
 p(x)=x^2-2 eh divisivel por q(x)=x-raiz(2). Mas nem faz muito sentido
 perguntar se p(2)=2 eh divisivel por q(2)=2-raiz(2)...
 O polinomio p(x)=75 eh divisivel pelo polinomio q(x)=2, mas 75 nao eh
 divisivel por 2. Em geral, se p(x) e q(x) forem polinomios constantes
 quaisquer (nao-nulos), vale que p(x) eh divisivel por q(x), mas nao
 necessariamente esta divisibilidade se traduz aos NUMEROS que eles
 representam.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2015-08-05 11:16 GMT-03:00 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br:
 
 
  Saudações.
 
  Estive lendo e tentando resolver uns exercícios talvez mais básicos
  e encontrei uma dúvida, sobre uma coisa que causou uma confusão:
  mdc de polinômios.
 
  Por exemplo: x+1 e x-1. Eu sei que são irredutíveis, a única coisa
  em comum que divide ambos é 1.
 
  Mas mudando o contexto, posso dizer que eles são côngruos módulo 2,
  não é mesmo?
 
  E além disso para, por exemplo, x=23 temos x-1 - 23-1 = 22 e x+1 -
  23+1 - 24 e o mdc de 22 e 24 é 2. O que em determinado contexto
  contradiz o mdc=1.
 
  A confusão está feita. O que seriam cada uma destas três análises e
  quando são válidas e não-válidas? Quais os contextos?
 
  Desde já agradeço qualquer pista.
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Re: Sobre mdc de polinômios

[Listeiro 037]

Até que sim, um algoritmo levemente modificado dá o mdc de dois
polinômios. Mas a dúvida agora é sobre quando os polinômios representam
números. 

No caso do x-1 e x+1 eu enxerguei algo como a mudança de variável
y=x-1, o que transforma o primeiro em simplesmente y e o segundo em y+2.

Agora considerando apenas números pares, sendo y da forma 2t, isto é,
y=2t tem-se que o primeiro fica 2t e o segundo 2t+2.

Fazendo o mdc encontra-se 2. Que é o caso do exemplo de quando se joga
23 em ambos os polinômios no caso numérico. Este exemplo é simples, mas
não vejo um método nisto tudo. 

Eu vi um exercício num livro de olimpíada e me vieram estas dúvidas.


Em Wed, 5 Aug 2015 14:27:35 -0300
Matheus Secco matheusse...@gmail.com escreveu:

 Se entendi bem o que você está perguntando, o Algoritmo de Euclides é
 uma maneira de se calcular o mdc de dois polinomios. 
 
 Enviado do meu iPhone
 
  Em 05/08/2015, às 13:13, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br
  escreveu:
  
  
  Olá Ralph. Agradeço pela resposta.
  
  Compreendi que se tratam de duas representações.
  
  Agora tenho mais uma dúvida: existiria algo semelhante a uma
  técnica no caso de se representar polinômios, por exemplo, por
  números, para saber se eles tem algo de notável, seja com um mdc
  ou co-primos? Talvez existam várias. É possível? Grato novamente.
  
  
  Em Wed, 5 Aug 2015 11:49:15 -0300
  Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
  
  Oi, Listeiro.
  
  A chave eh notar que divisibilidade de polinomios nao eh a mesma
  coisa que divisibilidade dos numeros que eles representam (quando
  voce substitui x). Digamos, exagerando, que nao tem nada a ver um
  com o outro.
  
  Um polinomio p(x) eh divisivel por um polinomio D(x) quando pode se
  escrever p(x)=q(x)D(x) onde q(x) eh um polinomio;
  Um numero inteiro p eh divisivel por um numero inteiro D quando
  pode se escrever p=qD onde q eh um numero inteiro.
  
  Parecidas, mas diferentes. Nos polinomios, nao ha nenhuma
  referencia a numeros inteiros. Por isso mesmo o m.d.c. entre dois
  polinomios nao eh o m.d.c. entre os numeros inteiros que eles
  possam representar.
  
  O seu exemplo eh otimo para ilustrar a diferenca. Outros exemplos:
  
  p(x)=x^2-2 eh divisivel por q(x)=x-raiz(2). Mas nem faz muito
  sentido perguntar se p(2)=2 eh divisivel por q(2)=2-raiz(2)...
  O polinomio p(x)=75 eh divisivel pelo polinomio q(x)=2, mas 75 nao
  eh divisivel por 2. Em geral, se p(x) e q(x) forem polinomios
  constantes quaisquer (nao-nulos), vale que p(x) eh divisivel por
  q(x), mas nao necessariamente esta divisibilidade se traduz aos
  NUMEROS que eles representam.
  
  Abraco, Ralph.
  
  2015-08-05 11:16 GMT-03:00 Listeiro 037
  listeiro_...@yahoo.com.br:
  
  
  Saudações.
  
  Estive lendo e tentando resolver uns exercícios talvez mais
  básicos e encontrei uma dúvida, sobre uma coisa que causou uma
  confusão: mdc de polinômios.
  
  Por exemplo: x+1 e x-1. Eu sei que são irredutíveis, a única
  coisa em comum que divide ambos é 1.
  
  Mas mudando o contexto, posso dizer que eles são côngruos
  módulo 2, não é mesmo?
  
  E além disso para, por exemplo, x=23 temos x-1 - 23-1 = 22 e
  x+1 - 23+1 - 24 e o mdc de 22 e 24 é 2. O que em determinado
  contexto contradiz o mdc=1.
  
  A confusão está feita. O que seriam cada uma destas três
  análises e quando são válidas e não-válidas? Quais os
  contextos?
  
  Desde já agradeço qualquer pista.
  
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
  
  
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
  em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
  
  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
  
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Combinatória

[Listeiro 037]

Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par

então tem que ter dígitos impares numa quatidade par

1. Sendo dois ímpares e sete pares

5^2*5^7

2. Sendo quatro ímpares e cinco pares

5^4*5^5

3. Sendo seis ímpares e três pares

5^6*5^3

4. Sendo oito ímpares e um par

5^8*5^1

Todos dão 5^9. Por quatro vezes.

4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500

É isso?

Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par?
 Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse número é a
 metade do total de números de 9 algarismosSeria metade dos números
 com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos algarismos
 ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria como
 justificar? 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] [obm-l] Re: Combinatória

[Listeiro 037]

Faltou o caso todos pares! Outro 5^9.

5 * 5^9 = 5^10 = 1953125 * 5 = 9765625


Em Mon, 25 May 2015 04:58:09 -0300
Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:

 
 Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par
 
 então tem que ter dígitos impares numa quatidade par
 
 1. Sendo dois ímpares e sete pares
 
 5^2*5^7
 
 2. Sendo quatro ímpares e cinco pares
 
 5^4*5^5
 
 3. Sendo seis ímpares e três pares
 
 5^6*5^3
 
 4. Sendo oito ímpares e um par
 
 5^8*5^1
 
 Todos dão 5^9. Por quatro vezes.
 
 4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500
 
 É isso?
 
 Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 +
 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
  Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par?
  Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse número é a
  metade do total de números de 9 algarismosSeria metade dos números
  com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos algarismos
  ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria como
  justificar?   
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] Re: [Bulk] [obm-l] Re: Combinatória

[Listeiro 037]

São 9 dígitos sem o primeiro ser zero, não é?

1. Primeiro dígito par

* oito dígitos pares
5^8

* seis dígitos pares e dois ímpares
5^6*5^2

* quatro dígitos pares e quatro ímpares
5^4*5^4

* dois dígitos pares e seis ímpares
5^2*5^6

* oito dígitos ímpares
5^8

2. Primeiro dígito ímpar

* sete dígitos pares e um ímpar
5^7*5^1

* cinco dígitos pares e três ímpares
5^5*5^3

* três dígitos pares e cinco ímpares
5^7*5^1

* um dígito par e sete ímpares
5^7*5^1

No final das contas, isso dá 9 * 5^8

9 * 5^8 = 9 * 390625 = 1953125

Fora isso não tentei ver outra falha.

Em Mon, 25 May 2015 05:26:29 -0300
Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:

 
 Faltou o caso todos pares! Outro 5^9.
 
 5 * 5^9 = 5^10 = 1953125 * 5 = 9765625
 
 
 Em Mon, 25 May 2015 04:58:09 -0300
 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:
 
  
  Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par
  
  então tem que ter dígitos impares numa quatidade par
  
  1. Sendo dois ímpares e sete pares
  
  5^2*5^7
  
  2. Sendo quatro ímpares e cinco pares
  
  5^4*5^5
  
  3. Sendo seis ímpares e três pares
  
  5^6*5^3
  
  4. Sendo oito ímpares e um par
  
  5^8*5^1
  
  Todos dão 5^9. Por quatro vezes.
  
  4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500
  
  É isso?
  
  Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 +
  marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  escreveu:
  
   Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos
   par? Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse
   número é a metade do total de números de 9 algarismosSeria metade
   dos números com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos
   algarismos ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria
   como justificar?
  
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] [obm-l] Resposta a Gabriel(combinatória)

[Listeiro 037]

Eu notei um último engano no primeiro dígito ser / não ser zero, mas já
havia enviado mensagens demais ...

Em Mon, 25 May 2015 11:32:47 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 A sua solução é interessante.Do jeito que fiz ficou bem mais
 trabalhoso.Eu usei a mesma ideia do ´´listeiro´´, mas acho que ele se
 enganou em algumaspassagens.
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] [obm-l] Princípio da casa dos pombos

[Listeiro 037]

Eu concluí assim: para não ter múltiplo de um com o outro, eles devem
ser primos. De 1 a 100 existem 25 números primos. Qualquer escolha acima
de 25 no intervalo de 1 a 100 determina um novo número que é múltiplo
de um dos 25 primeiros. 

Ou seja, existem 25 casas de pombos e 51 pombos.

Em Thu, 14 May 2015 23:56:24 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Do conjunto A = {1,2,...,99,100} escolhemos 51 números.Mostrar que
 entre os 51 números escolhidos,existem dois tais que um é múltiplo do
 outro.  

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [Bulk] [obm-l] Princípio da casa dos pombos

[Listeiro 037]

#fail

Estaria certo se fosse para números primos entre si e não múltiplos.


Em Thu, 14 May 2015 22:01:29 -0300
Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:

 
 Eu concluí assim: para não ter múltiplo de um com o outro, eles devem
 ser primos. De 1 a 100 existem 25 números primos. Qualquer escolha
 acima de 25 no intervalo de 1 a 100 determina um novo número que é
 múltiplo de um dos 25 primeiros. 
 
 Ou seja, existem 25 casas de pombos e 51 pombos.
 
 Em Thu, 14 May 2015 23:56:24 +
 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
  Do conjunto A = {1,2,...,99,100} escolhemos 51 números.Mostrar que
  entre os 51 números escolhidos,existem dois tais que um é múltiplo
  do outro. 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: [obm-l] Dúvida sobre Álgebra

[Listeiro 037]

Olá! Obrigado por retornar!

Estive pesquisando neste meio-tempo sobre avanços na teoria dos números
de Fermat. Cheguei a uma proposição sobre que seguiriam um padrão de
'escada' de potências de 2: 

F(0) = 2 + 1 = 3
F(1) = 2^{2} + 1 = 5 
F(2) = 2^{2^{2}} + 1 = 2^4 + 1 = 17
F(4) = 2^{2^{2^{2}}} + 1 = 2^16 + 1 = 65537
F(16) = 2^{2^{2^{2^{2 + 1 = 2^256 + 1 =  ...

Que infelizmente fura para F16 neste documento: 

http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-231/S0025-5718-00-01207-2/S0025-5718-00-01207-2.pdf

Agora sobre possivelmente serem os únicos primos eu não sabia. 
Tem alguém mais (ou site) que se dedique a este problema.

Em Mon, 13 Apr 2015 04:53:45 -0300
g...@impa.br escreveu:

 Saudações.
 A sua afirmação é equivalente a dizer que 3, 5, 17, 257 e 65537  
 são os únicos primos de Fermat (o que está em aberto, e muitos  
 matemáticos consideram provável). Se F_n=2^{2^n}+1, F_n-2=2^{2^n}-1
 é o produto dos F_k de k=0 até n-1 (por exemplo, 255=3*5*17), o que
 pode ser facilmente provado por indução (pois
 F_n.(F_n-2)=F_{n+1}-2). Sabemos que F_5=4294967297 não é primo - é  
 múltiplo, por exemplo, de 641 (e portanto não é possível construir
 com régua e compasso um polígono regular com F_5 lados). Como eu
 mencionei acima, não se conhece nenhum primo de Fermat F_n maior que
 F_4=65537, mas, se existir, F_n-2 seria múltiplo de F_5, e logo não
 seria possível dividir com régua e compasso uma circunferência em
 F_n-2 arcos congruentes (senão seria possível construir com régua e
 compasso um polígono regular com F_5 lados).
 Abraços,
   Gugu
 
 Quoting Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br:
 
 
 
  Saudações.
 
  Tenho a dúvida sobre como se pode demonstrar (se for realmente
  verdade) que se 'p' é primo e divide uma circunferência com
  instrumentos euclidianos, então p-1 e p-2 também a divide. Ou seja,
  se existirem infinitos pp então existem infinitas tríades de
  consecutivos. Na verdade p tem que ser um número de Fermat. E p-2 é
  um produto de números de Fermat, se estiver correto.
 
  Grato a quem puder me orientar.
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 
 
 
 
 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
 
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] irracionalidade

[Listeiro 037]

Olá. 

(sqrt(3))^3 = 3*sqrt(3) (irracional)
(sqrt(3+1))^3 = 8 (racional)

Este contra-exemplo é bom. Então, não seria transcendental?

Transcendental é tipo e=2,7181... PI=3,141592... diferente de raiz
quadrada de 2 que é raiz da equação de termos finitos  x^2-2=0; peço
prá alguém com mais traquejo defina transcendental/algébrico porque
posso não ser exato.

Se r^k é transcendental, então (r+1)^k também é transcendental?

Em Wed, 29 Apr 2015 13:50:12 -0300
Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Alguém sabe se é possível provar que:seja k um natural,então se r^k é
 irracional então (r+1)^k também é irracional?
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Dúvida sobre Álgebra

[Listeiro 037]

Saudações.

Tenho a dúvida sobre como se pode demonstrar (se for realmente verdade)
que se 'p' é primo e divide uma circunferência com instrumentos
euclidianos, então p-1 e p-2 também a divide. Ou seja, se existirem
infinitos pp então existem infinitas tríades de consecutivos. Na
verdade p tem que ser um número de Fermat. E p-2 é um produto de
números de Fermat, se estiver correto.

Grato a quem puder me orientar.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: [obm-l] É soma de dois quadrados

[Listeiro 037]

Obrigado. Agora está mais fácil enxergar.

Em Tue, 10 Mar 2015 13:55:38 -0300
Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!
 
 49 = 4*12 + 1 e como escrever 49 como a soma de dois quadrados de
 naturais, excetuando-se o zero?
 Embora não mencionado no enunciado, deveria ser estritamente naturais
 o universo; pois a^2 = a^2 + 0^2.
 
  Ai fica atendido sempre.
 
 Creio que se deva enquadrar o quadrado, sempre que acontecer, em uma
 das tríades pitagóricas (2st; s^2-t^2; s^2+t^2) primitivas ou
 qualquer das tríades pitagóricas (2nst; n*(s^2-t^2) ; n*(s^2+t^2));
 s,t, n Ɛ  |N* e n1. |N* = {1,2,3,4...}
 
 Ou que haja um conjunto finito com poucos elementos, e portanto fácil
 de se analisar as tríades.
 
 É mais complicado que a solução proposta.
 
 Saudações,
 PJMS
 
 
 Em 10 de março de 2015 08:54, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br
 escreveu:
 
 
  Quadrados, por natureza, são da forma 4n ou da forma 4n+1.
  Como são números consecutivos, essa diferença é ímpar, portanto da
  forma 4n+1.
  E como números da forma 4n+1 podem ser escritos como soma de dois
  quadrados, a afirmativa é verdadeira.
 
  Agora, por gentileza ... é simples assim mesmo ou eu caí em algum
  resultado vago ... por favor ... corrijam-me. Essa argumentação é
  suficiente?
 
  Em Sun, 8 Mar 2015 14:23:12 +
  marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  escreveu:
 
   Mostre que a diferença dos cubos de dois naturais consecutivos
   quando é quadrado é soma de dois quadradosExemplo: 8^3 - 7^3 =
   (2^2 + 3^2)^2 3x^3 + 3x + 1 = t^2 Delta = 12t^2 - 3 = 3(4t^2 -
   1)4t^2 - 1 = 3k^2(2t)^2 - 3k^2 = 1Empaquei.
  
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] É soma de dois quadrados

[Listeiro 037]

Quadrados, por natureza, são da forma 4n ou da forma 4n+1.
Como são números consecutivos, essa diferença é ímpar, portanto da
forma 4n+1.
E como números da forma 4n+1 podem ser escritos como soma de dois
quadrados, a afirmativa é verdadeira.

Agora, por gentileza ... é simples assim mesmo ou eu caí em algum
resultado vago ... por favor ... corrijam-me. Essa argumentação é
suficiente?

Em Sun, 8 Mar 2015 14:23:12 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostre que a diferença dos cubos de dois naturais consecutivos quando
 é quadrado é soma de dois quadradosExemplo: 8^3 - 7^3 = (2^2 + 3^2)^2
 3x^3 + 3x + 1 = t^2 Delta = 12t^2 - 3 = 3(4t^2 - 1)4t^2 - 1 =
 3k^2(2t)^2 - 3k^2 = 1Empaquei.
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Um Crivo para Primos Gaussianos?

[Listeiro 037]

Se não me engano, o critério é que a norma destes inteiros deve ser um
primo. Ex:5+2i = 5^2+2^2 = 25+4 = 29. Estas normas são primos da forma
4n+1. Os primos naturais da forma 4n+3, que não podem ser soma de dois
quadrados, já são inteiros gaussianos. Confere?

Em Wed, 24 Dec 2014 09:52:38 -0300
Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com escreveu:

 Olá amigos da lista,
 Todos sabemos que a maneira mais simples de irmos obtendo números
 primos é usar o Crivo de Eratosthenes.
 Ele vai nos dando os primos em ordem crescente 2, 3, 5, 7, 11, ...
 Lendo um artigo, segundo o autor os primeiros primos Gaussianos
 seriam: (1+i), (2+i), 3, (3+2i), (4+i), (5+2i), 
 Infelizmente ele não disse como obteve esses primos.
 Alguém poderia me informar como saber se essa lista está correta e se
 existe um crivo que nos auxilie a obter ordenadamente esses primos?
 Obrigado
 [[ ]]'s
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: inteiros

[Listeiro 037]

x^2+y^2+z^2+x+y+z=1

multiplicando por 4:

4x^2+4y^2+4z^2+4x+4y+4z=4

completando o quadrado para x y z:

x^2+y^2+z^2+x+y+z=1

(4x^2+4x+1)+(4y^2+4x+1)+(4z^2+4z+1=4+1+1+1

fica:

(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=7

Como 7 não é soma de de três quadrados segundo Lagrange etc. fica falso
para inteiros.


Em Sun, 28 Sep 2014 01:55:14 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostre que a equação x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 não tem solução
 inteiraSugestão : sete não pode ser escrito como soma de 3 quadrados.
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Quadrado mágico(?)

[Listeiro 037]

Esse 15 atrapalha.

Eu chamaria este de quadrado mágico multiplicativo e o tradicional de
quadrado mágico aditivo.

Eu criaria um quadrado mágico aditivo qualquer e jogaria os números
numa base b diferente de 1, 0 ou -1 qualquer. Mas por enquanto acho que
nesse caso não dá.


Em Mon, 22 Sep 2014 23:04:04 -0300
Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Com números inteiros positivos acho difícil, mas se não tiver essa
 restrição fica bem fácil para fazer até com números racionais!!
 Douglas Oliveira.
 
 
 Em 22 de setembro de 2014 07:43, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
  Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o
  resultado da multiplicação
  dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo
 
  Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Re: Re: Função

[Listeiro 037]

Foi esse o resultado que obtive.

Nesse procedimento que fiz ocorre um cancelamento de zero com outro
zero: 0/0. 

A minha dúvida é se esse expediente de tratar com matrizes 2x2 é válido
(que funciona, funciona sim) e onde eu encontraria mais material sobre
essa técnica.


Em Sun, 21 Sep 2014 18:31:04 -0300
saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu:

 Seja  f: R -- R , uma função definida por :
(x+a)/(x+b) , sex  é diferente de  -b
 f(x) =
-1   , se  x  é igual a  -b
 
 Se  f(f(x)) = x  , para todo x  real , encontre o valor de   ab .
 f(1)=(a+1)/(1+b)
 1=((a+1)/(1+b)+a)/((a+1)/(b+1)+b)
 1=(a+1+a+ab)/(a+1+b^2+b)
 -1=(a-1+ab-a)/(a-1+b^2-b)
 2+2b=2a+2ab
 1+b=a+ab
 0=(a+ab)/(a+b^2)
 a(1+b)=0
 a=0
 b=-1
 
 
 
 
 
 2014-09-19 0:04 GMT-03:00 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br:
 
 
  Eu fui direto ao cálculo de f(f(x)) = x. Nisto
 
  (((x+a)/(x+b))+a)/(((x+a)/(x+b))+b)=x, substituições sucessivas.
 
  Fiz sem levar em conta o f(-b) = -1.
 
  Existe uma teoria que usa uma notação matricial em expressões do
  tipo (ax+b)/(cx+d), melhor (az+b)/(cz+d), que embora o contexto
  seja de números complexos, dá certo usar produtos sucessivos de
  matrizes no caso de em (ax+b)/(cx+d) querer substituir x por
  (a'x'+b')/(c'x'+d'). Com x diferente de (-d/c) e x' diferente de
  (-d'/c'), que é onde o denominador se anula.
 
  (ax+b)/(cx+d) em forma de matriz fica
 
  [a b]
  [c d]
 
 
  (x+a)/(x+b) em forma de matrix fica
 
  [1 a]
  [1 b]
 
  apenas x fica
 
  [1 0]
  [0 1]
 
  que é (x+0)/(0x+1)
 
  Neste caso, aqui no problema proposto encontrei a=0 e b=-1, sem
  considerar f(-b).
 
 
  Em Thu, 18 Sep 2014 12:58:20 -0300
  Gabriel Lopes cronom...@gmail.com escreveu:
 
   Fiquei sem entender sua explicação , poderia elaborar um pouco
   mais?
  
   Pensei no seguinte:
  
  
   Observe que  :
  
  (x+a)/(x+a)  = 1   , se  x é
   diferente de  -b
   a  =  b   ==f (x) =
  -1  , se
   x é igual a  -b
  
  
  
   Temos então uma contradição pois : f(f(x)) = x . Donde  a  é
   diferente de b .
  
  
   Mas :
  
   f(f(-a)) = f(0) = -a  ,  (substituindo em : (x+a)/(x+b) ) .
  
   e:
  
   f(f(-b)) = f(-1) = -b
  
  
   Donde:
  
   (a/b) = -a  , se0  é diferente de  -b
   f(0) =
  -1 = -a  , se   0 é igual a  -b .
  
  
   Portanto  :
  
   f(f(-a)).f(f(-b)) = (-a).(-b) = ab  = f(0).(-b)  ,  donde:
  
  
   ab = -a   , se  0 é diferente de  -b
  
   ab = a.0 = b = -1(-b) = 0 , se 0 é igual a  -b .
  
  
   Em 18 de setembro de 2014 06:07, Listeiro 037
   listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:
  
   
A função aplicada à ela mesma. Pode ser feito assim?
Produto de duas matrizes 2x2 igualado à matriz identidade 2x2?
   
[1 a; 1 b] [1 a; 1 b] = [1 0; 0 1]
   
[1 a] [1 a]  [1 0]
[1 b] [1 b]  [0 1]
   
[1+a a+ab; 1+b a+b^2]
   
[1+a a+ab ]
[1+b a+b^2]
   
Aparentemente a=0 e b=1.
   
   
Em Wed, 17 Sep 2014 09:30:08 -0300
Gabriel Lopes cronom...@gmail.com escreveu:
   
 Seja  f: R -- R , uma função definida por :


(x+a)/(x+b) , sex  é diferente de  -b
 f(x) =
-1   , se  x  é igual a  -b



 Se  f(f(x)) = x  , para todo x  real , encontre o valor de
 ab .

   
   
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
   
   
   
  =
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
   
  =
   
  
 
 
  --
  Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are
  one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint
  security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways
  around it. — Edward Snowden
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Função

[Listeiro 037]

A função aplicada à ela mesma. Pode ser feito assim?
Produto de duas matrizes 2x2 igualado à matriz identidade 2x2?

[1 a; 1 b] [1 a; 1 b] = [1 0; 0 1]

[1 a] [1 a]  [1 0]
[1 b] [1 b]  [0 1]

[1+a a+ab; 1+b a+b^2] 

[1+a a+ab ]
[1+b a+b^2]

Aparentemente a=0 e b=1.


Em Wed, 17 Sep 2014 09:30:08 -0300
Gabriel Lopes cronom...@gmail.com escreveu:

 Seja  f: R -- R , uma função definida por :
 
 
(x+a)/(x+b) , sex  é diferente de  -b
 f(x) =
-1   , se  x  é igual a  -b
 
 
 
 Se  f(f(x)) = x  , para todo x  real , encontre o valor de   ab .
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Re: Re: Função

[Listeiro 037]

Eu fui direto ao cálculo de f(f(x)) = x. Nisto 

(((x+a)/(x+b))+a)/(((x+a)/(x+b))+b)=x, substituições sucessivas.

Fiz sem levar em conta o f(-b) = -1.

Existe uma teoria que usa uma notação matricial em expressões do tipo
(ax+b)/(cx+d), melhor (az+b)/(cz+d), que embora o contexto seja de
números complexos, dá certo usar produtos sucessivos de matrizes no
caso de em (ax+b)/(cx+d) querer substituir x por (a'x'+b')/(c'x'+d').
Com x diferente de (-d/c) e x' diferente de (-d'/c'), que é onde o
denominador se anula.

(ax+b)/(cx+d) em forma de matriz fica

[a b]
[c d]


(x+a)/(x+b) em forma de matrix fica

[1 a]
[1 b]

apenas x fica

[1 0]
[0 1]

que é (x+0)/(0x+1)

Neste caso, aqui no problema proposto encontrei a=0 e b=-1, sem
considerar f(-b).


Em Thu, 18 Sep 2014 12:58:20 -0300
Gabriel Lopes cronom...@gmail.com escreveu:

 Fiquei sem entender sua explicação , poderia elaborar um pouco mais?
 
 Pensei no seguinte:
 
 
 Observe que  :
 
(x+a)/(x+a)  = 1   , se  x é
 diferente de  -b
 a  =  b   ==f (x) =
-1  , se  x é
 igual a  -b
 
 
 
 Temos então uma contradição pois : f(f(x)) = x . Donde  a  é
 diferente de b .
 
 
 Mas :
 
 f(f(-a)) = f(0) = -a  ,  (substituindo em : (x+a)/(x+b) ) .
 
 e:
 
 f(f(-b)) = f(-1) = -b
 
 
 Donde:
 
 (a/b) = -a  , se0  é diferente de  -b
 f(0) =
-1 = -a  , se   0 é igual a  -b .
 
 
 Portanto  :
 
 f(f(-a)).f(f(-b)) = (-a).(-b) = ab  = f(0).(-b)  ,  donde:
 
 
 ab = -a   , se  0 é diferente de  -b
 
 ab = a.0 = b = -1(-b) = 0 , se 0 é igual a  -b .
 
 
 Em 18 de setembro de 2014 06:07, Listeiro 037
 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu:
 
 
  A função aplicada à ela mesma. Pode ser feito assim?
  Produto de duas matrizes 2x2 igualado à matriz identidade 2x2?
 
  [1 a; 1 b] [1 a; 1 b] = [1 0; 0 1]
 
  [1 a] [1 a]  [1 0]
  [1 b] [1 b]  [0 1]
 
  [1+a a+ab; 1+b a+b^2]
 
  [1+a a+ab ]
  [1+b a+b^2]
 
  Aparentemente a=0 e b=1.
 
 
  Em Wed, 17 Sep 2014 09:30:08 -0300
  Gabriel Lopes cronom...@gmail.com escreveu:
 
   Seja  f: R -- R , uma função definida por :
  
  
  (x+a)/(x+b) , sex  é diferente de  -b
   f(x) =
  -1   , se  x  é igual a  -b
  
  
  
   Se  f(f(x)) = x  , para todo x  real , encontre o valor de   ab .
  
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Função O(x)

[Listeiro 037]

Orders of Infinity by G. H. Hardy
http://www.gutenberg.org/ebooks/38079

Em Sat, 6 Sep 2014 03:06:26 +0300
João Sousa starterm...@hotmail.com escreveu:

 Pessoal, alguém poderia me indicar um material em português, ou mesmo
 explicar aquela função O(x) que aparece em algumas explicações na
 matemática. Estou fazendo um curso de estatística  e vejo
 frequentemente essa função. Como na fórmula de Stirling para a
 aproximação de fatorial. n! = n^n  exp(-n) sqrt(2 pi n)[1+ O(n^-1)]
 Desde já fico muito grato pela atenção. João
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: Re: [obm-l] Raízes irracionais

[Listeiro 037]

P(x) = x^2 -2x - 3
P/ -1
(-1)^2 -2(-1) - 3
1 + 2 - 3 = 0

e
P/ 3
(3)^2 -2(3) - 3
9 -6 -3 = 0

é isso?

Em Sat, 16 Aug 2014 14:20:41 -0300
Amanda Merryl sc...@hotmail.com escreveu:

 Isso não é verdade. Para a = 1, m = 2 e b = 1, obtemos raiz(2) + 1
 que é raiz de P(x) = x^2 -2x - 3. As raízes de P são raiz(2) + 1 e
 -raiz(2) + 1. raiz(2) - 1 não é raiz de P. 
 
 O que é verdade é que, se P tem coeficientes racionais e a + raiz(b)
 é raiz de P, com a e b  0 racionais e raiz(b) irracional, então a -
 raiz(b) é raiz de P com a mesma multiplicidade de a + raiz(b. 
 
 Artur Costa Steiner
 
  Em 15/08/2014, às 11:41, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
  escreveu:
  
  Correção:
  O número a deve ser diferente de zero.
  
  
  From: brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Subject: [obm-l] Raízes irracionais
  Date: Fri, 15 Aug 2014 13:49:19 +0300
  
  Caros Colegas,
  
  Dados os números racionais a, b e m, sendo m positivo e m^(1/2)
  irracional, será que é válida a afirmação abaixo? Desde já,
  agradeço-lhes a atenção. Pedro Chaves
  
  Afirmação:
  Se a.[m^(1/2)] + b é raiz de um polinômio P(x) de coeficientes
  racionais, então a.[m^(1/2)] - b também é raiz de P(x) e com a
  mesma multiplicidade. ___ --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
  
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =  
 
  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
  
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] off topic - noticia medalha fields para brasilerio

[Listeiro 037]

Excelente notícia, principalmente prá ver que Brasil é mais que futebol
(ou 7 a 1) e que aqui se produz ciência e cientistas. Antigamente
dizia-se que os cientistas saíam do Brasil por causa das condições de
trabalho. Não sei como isto está agora.

Mas onde eu encontraria a Conjectura dos dez martínis de Barry Simon
que ele resolveu? Não obtive sucessos na busca, nem nas Wikipédias. Tem
a ver com operadores de Schrödinger e Física Quântica. Vale a pena dar
uma olhada.


Em Tue, 12 Aug 2014 18:45:57 -0300
Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 http://www1.folha.uol.com.br/ciencia/2014/08/1499290-brasileiro-ganha-a-medalha-fields-considerada-o-nobel-da-matematica.shtml
  
 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: Re: [obm-l] Vídeos OBM

[Listeiro 037]

Bem, pensei que estariam com outro nome no site do IMPA. Obrigado,
agora verei com maior cuidado.

Mas através do link do IMPA cheguei no site do POTI. Não conhecia. Creio
que a maioria das coisas que pesquisei são de conhecimento geral aqui.
Então postarei, mas peço desculpas caso eu esteja sendo repetitivo.

Página do POTI:
http://poti.impa.br/index.php/site/sobre

Canais do Youtube:

Portal da Matemática:
http://www.youtube.com/channel/UCzs574vJvpTNc4Z9vaN5Wmg

Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo (POTI):
http://www.youtube.com/user/PolosOlimpicos

Programa de Iniciação Cientifica da OBMEP
http://www.youtube.com/user/PICOBMEP

OBMEP Oficial
http://www.youtube.com/user/OBMEPOficial

Adriano Carneiro Tavares (Aulas)
http://www.youtube.com/channel/UChx-wDKJdCTmHzc1JwLCP_w

Não consegui encontrar vídeos de aulas de olimpíadas em espanhol. A
maioria das coisas legais pra quem começa a se organizar está
detalhada em http://poti.impa.br/index.php/site/sobre . É só baixar o
arquivo ementa. Respondeu um monte de dúvidas que tinha, incluindo
coisas com as quais me identifiquei.


Em Wed, 9 Jul 2014 11:26:51 -0300
Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Você não viu direito.
 Tem, nesse link, os videos para professores do ensino médio.
 Voce disse que encontrou uns videos maneiros ligados a OBM, poste
 aqui o link ou links.
 abraço
 Hermann
 
 - Original Message - 
 From: Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, July 07, 2014 10:44 PM
 Subject: Re: Re: [obm-l] Vídeos OBM
 
 
 
 
 Mas esses vídeos não são de pós-graduação? Fico agradecido, mas
 suponho que neste momento eles saem um pouquinho do meu foco.
 
 
 Em Mon, 7 Jul 2014 20:29:03 -0300
 Hugo Tadashi tada...@gmail.com escreveu:
 
  O IMPA disponibiliza para download palestras e aulas gravadas, no
  seguinte link: http://video.impa.br/index.php?page=download
 
  Abraços,
  Tadashi
 
 
  2014-07-07 20:05 GMT-03:00 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br:
 
  
   Saudações.
  
   Encontrei diversos vídeos de aulas ligadas à OBM das primeiras
   categorias no Youtube.
  
   Existem vídeos também para nível universitário? Ou algum de outra
   entidade e em outro idioma? Grato.
  
   --
   Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
  
  
   =
   Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
   =
  
 
 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Vídeos OBM

[Listeiro 037]

Saudações.

Encontrei diversos vídeos de aulas ligadas à OBM das primeiras
categorias no Youtube.

Existem vídeos também para nível universitário? Ou algum de outra
entidade e em outro idioma? Grato.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: [obm-l] Vídeos OBM

[Listeiro 037]

Mas esses vídeos não são de pós-graduação? Fico agradecido, mas suponho
que neste momento eles saem um pouquinho do meu foco.


Em Mon, 7 Jul 2014 20:29:03 -0300
Hugo Tadashi tada...@gmail.com escreveu:

 O IMPA disponibiliza para download palestras e aulas gravadas, no
 seguinte link: http://video.impa.br/index.php?page=download
 
 Abraços,
 Tadashi
 
 
 2014-07-07 20:05 GMT-03:00 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br:
 
 
  Saudações.
 
  Encontrei diversos vídeos de aulas ligadas à OBM das primeiras
  categorias no Youtube.
 
  Existem vídeos também para nível universitário? Ou algum de outra
  entidade e em outro idioma? Grato.
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Par ou Ímpar ? --- Contagem e combinatória

[Listeiro 037]

Eu fiquei com a impressão de que alguns desses piores casos colocados
ao extremo lembram dízimas periódicas em base 3.


Em Mon, 9 Jun 2014 09:07:57 -0300
Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!
 
 1) Pior caso de uma partida: aaabbba (três vitórias para a
 alternadas) ou aaa (quatro consecutivas) ou os complementos
 trocando a por b. Portanto são 7 o pior caso de número de partidas.
 
 2) O exemplo abaixo está inconsistente com o texto do enunciado
 
 Alguns exemplos de campeonatos:
 
 X =  *(são quatro consecutivas e não alternadas)*
 
 Y =  *(são quatro consecutivas e não alternadas)*
 
 2) Pior caso de um campeonatoo A (quatro partidas alternadas)
 ou B (cinco partidas consecutivas) ou os complementos.. Dessa
 forma, 9 partidas e o pior caso para o campeonato.
 
 3) Como as chances são iguais para cada disputa e os objetivos são os
 mesmos, as chances são as mesmas.
 
 
 
 Em 8 de junho de 2014 23:58, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:
 
  2014-06-08 15:20 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
   Em geral, em esportes, o pessoal faz a regra com x consecutivas
   ou x+y alternadas; eles costumam usar a palavra alternadas
   para significar apenas em qualquer ordem, nao necessariamente
   consecutivas. Mas aqui fica estranho, nao? O que significa
   alternado neste enunciado? Por exemplo, no caso aaaba voce
   conta que Ana venceu 3 alternadas (digamos, 1a, 3a e 5a) ou nao
   (apenas dois blocos de vitorias)?
  
   Vou supor que voce estah pensando em blocos de vitorias.
   Consequencia: no caso aaaba, Ana preferiria PERDER a 2a, tornar
   isso ababa, e assim vencer a partida!?!? Eh estranho, porque
   qualquer regra que incentive alguem a fazer gol contra eh
   estranha para mim... Mas vamos lah, vou resolver pensando assim
   mesmo.
 
  Concordo que é estranho. Entretanto, tem um exemplo do enunciado que
  me chamou a atenção:
 
Utilize as seguintes convenções:
   
a = Lance em que Ana acerta
b = Lance em que Beatriz acerta
A = Partida em que a vitória é de Ana.
B = Partida em que a vitória é de Beatriz.
X = Campeonato de Ana
Y = Campeonato de Beatriz
   
 = aaba = A
bbab =  = B
 
  Daqui, eu deduzo que uma partida aaba é suficiente para garantir
  que a Ana ganhou. Como não houve 4 vitórias consecutivas, é porque
  esse critério se encaixa em 3 vitórias alternadas, que talvez
  queira dizer Ana venceu 3 vezes, mas não consecutivas. Assim, o
  caso aaa não conta como 3 alternadas porque não houve
  alternância... Donde:
 
  a) O pior caso para uma partida é ababa (ou babab, ou baabb,
  ou ...), em que há 3+2 vitórias+derrotas.
  b) O pior caso de um campeonato é ABABABA (ou BABABAB, ou ABBAABA,
  ou AAABBBA, ou ...) em que há 4 vitórias+ 3 derrotas.
  c) Estou contigo: simetria = 50%.
 
 
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 
   a) A pior hipotese para uma partida seria aaabbbaaabbba,
   terminando em 13 lances. De fato, com 13 lances quaisquer, alguem
   tem que ganhar pelo menos 7. Se quem ganhou essas 7 nao o fez em
   3 blocos de vitorias, entao sao apenas 2 blocos ou menos, e
   portanto pelo menos um bloco terah 4 vitorias consecutivas. Ou
   seja, em 13, certamente vai ter acabado.
  
   b) Analogamente, o pior caso eh A, com 25
   partidas. De fato, com 25 alguem ganhou pelo menos 13. Se nao ha 4
   blocos (para fazer as 4 vitorias alternadas), entao sao apenas
   3; como 3x4=1213, pelo menos um dos blocos terah pelo menos 5
   partidas consecutivas.
  
   (Em suma, no pior caso seriam 25x13=325 lances de par ou impar.
   Nao parece muito divertido :) :) :) )
  
   c) Voce diz, as chances de vitoria de Ana versus as de Beatriz? Se
   supusermos que cada **lance** tem probabilidade 50% de vitoria
   para cada uma, por simetria, SIM, ambas tem a mesma chance de
   ganhar um lance, uma partida ou o campeonato.
  
   Abraco, Ralph.
  
   Em Sat, 7 Jun 2014 23:01:39 -0300
   jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:
  
Ana e Beatriz disputam um campeonato de Par ou Ímpar,
com as seguintes regras:
   
Uma partida consiste numa série de lances com três acertos
alternados, ou quatro consecutivos. O campeonato termina
quando ocorrer quatro vitórias alternadas, ou cinco
consecutivas.
   
Responda:
   
I) Qual o número máximo de lances de uma partida ?
   
II) Qual o número máximo de partidas possíveis em um
campeonato ?
   
III) As chances de vitória são iguais ?
   
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems 

Re: [obm-l] Par ou Ímpar ? --- Contagem e combinatória

[Listeiro 037]

Cada mão de uma concorrente pode colocar de zero a cinco dedos numa
partida?


Em Sat, 7 Jun 2014 23:01:39 -0300
jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

 Ana e Beatriz disputam um campeonato de Par ou Ímpar,
 com as seguintes regras:
 
 Uma partida consiste numa série de lances com três acertos
 alternados, ou quatro consecutivos. O campeonato termina quando
 ocorrer quatro vitórias alternadas, ou cinco consecutivas.
 
 .
 
 .
 
 Responda:
 
 I) Qual o número máximo de lances de uma partida ?
 
 II) Qual o número máximo de partidas possíveis em um campeonato ?
 
 III) As chances de vitória são iguais ?
 
 .
 .
 .
 .
 
 Utilize as seguintes convenções:
 
 a = Lance em que Ana acerta
 
 b = Lance em que Beatriz acerta
 
 A = Partida em que a vitória é de Ana.
 
 B = Partida em que a vitória é de Beatriz.
 
 X = Campeonato de Ana
 
 Y = Campeonato de Beatriz
 
 .
 .
 
 Alguns exemplos de partidas:
 
  = aaba = A
 
 bbab =  = B
 
 .
 .
 .
 
 Alguns exemplos de campeonatos:
 
 X = 
 
 Y = 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] perguntinhas simples

[Listeiro 037]

Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3

e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0

Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles
resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). 

e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi

(y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0

y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0

y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0

escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de
Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok)

y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0

y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0

Pode ser z = y^2 e fica

z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as
raízes que dispense isso tudo)

Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada.
Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que
recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais
notáveis. 



Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300
Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu:

 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de
  x^3+(1/x)^3?
  não tem quadrado no primeiro x
 
 Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que
 
 x^3 + 1 = 3x^2
 1 + 1/x^3 = 3/x
 
 Somando as duas igualdades, vem
 
 x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3
 
 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três)
 raízes do polinômio você vai escolher.
 
 Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que
 - ou tem um quadrado no primeiro x
 - ou não tem um quadrado no segundo x
 - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico
 - ou a fórmula com os cubos era mais complicada.
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] perguntinhas simples

[Listeiro 037]

Errata: 

Corrigindo, y^6 - 3y^2 - 1 (troquei o sinal do termo de grau 1)

e percebi que melhor x = y^2 + 1 é usar x = y - 1, fica

(x-1)^3 - 3(x-1) - 1 = 0

se for remanejar a cúbica para a outra forma, apesar do outro método
ser exato. Mas resolver a cúbica diretamente não ajuda, não é?


=



Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3

e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0

Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles
resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). 

e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi

(y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0

y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0

y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0

escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de
Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok)

y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0

y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0

Pode ser z = y^2 e fica

z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as
raízes que dispense isso tudo)

Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada.
Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que
recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais
notáveis. 



Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300
Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu:

 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de
  x^3+(1/x)^3?
  não tem quadrado no primeiro x
 
 Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que
 
 x^3 + 1 = 3x^2
 1 + 1/x^3 = 3/x
 
 Somando as duas igualdades, vem
 
 x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3
 
 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três)
 raízes do polinômio você vai escolher.
 
 Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que
 - ou tem um quadrado no primeiro x
 - ou não tem um quadrado no segundo x
 - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico
 - ou a fórmula com os cubos era mais complicada.
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica

[Listeiro 037]

Eu andei quebrando a cabeça também e nada conclusivo, mas tem alguns
detalhes que observei:

tg(x) = sen(x)/cos(x) = cos(90-x)/sen(90-x) = cotg(90-x)

Ou seja, tg 1º = 1/tg 89º, não é? Simetria.

Não dá prá fazer tg (1+89) (tg 90º = +oo, talvez algum limite com
L'Hôpital) , ou algo com tg(45-1) = tg(47-3) = tg(49-5)... ? 

tg(45-1) ^ 2 = (tg 45 - tg 1)^2/(1 - tg45 tg 1)^2

O numerador se aproxima do problema.

Em Wed, 4 Jun 2014 21:42:32 -0300
Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar
 um polinômio de grau 45 com essas raízes,
 Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui
 http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf
 Eu fiz assim, pensei que
 (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n,
 dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos
 i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n,
 agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem
 raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes
 reais com n igual a 90 ficaria
 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as
 raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação
 ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são
 (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será
 C(90,2)=4005.
 
 Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso
 daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar
 fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me
 corrigir em alguma parte que não vi agradeço.
 
 Um abraço!!
 
 
 
 Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:
 
  2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
   Ola' pessoal,
   tem um probleminha que se esqueceram de fazer:
 
  Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes
  da unidade e polinômios de Chebyshev.
 
   2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz
   vanderma...@gmail.com:
  
   Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente
   do arco duplo, mas ficou complicado.
  
   Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)  é um
   número inteiro.
  
 
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 



-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] perguntinhas simples

[Listeiro 037]

Respondendo à 2:

Usando fórmula de meio-arco?

cos (x/2) = ((1 + cos x)/2) ^ (1/2)

Eu tenho um jeito meu de me lembrar das fórmulas porque cosseno possui
valores trocados com seno no intervalo 0-30-60-90 graus e então
outras coisas são trocadas. Funciona comigo.

sen(a+b) = sen cos + sen cos
seguindo a b b a e mesmo sinal na fórmula

cos(a-b) = cos cos + sen sen
seguindo a b a b e sinal trocado na fórmula


Respondendo à 3:

se for x^2 + 1/x^2 = k, a expressão de trinômio quadrado

(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 (x) (1/x) + (1/x)^2
2 (x) (1/x) cancela

x^2 + 2 + (1/x)^2

então x^2 + (1/x)^2 = k pode ser usado com +2 ou -2:

x^2 + (1/x)^2 + 2 = (x + 1/x)^2

ou

x^2 + (1/x)^2 - 2 = (x - 1/x)^2

Depois é só desenvolver (x + 1/x)^3 que os casos são semelhantes



Em Mon, 2 Jun 2014 18:49:33 -0300
Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Meus amigos estou sem tempo de procurar, assim peço ajuda, obrigado,
 mesmo.
 
 1) Para que 500 gramas de uma substância radioativa se desintegre a
 uma taxa de 3% ao ano, se reduzindo a 100 gramas quanto tempo são
 necessários?
 
 Minha solução:
 
 500(0,97)^t=100
 
 t=log(0,2) / log(0,97)
 
 supondo que esteja correta minha equação, como, sem calculadora, 
 com os seguintes dados:
 log 2log 3   log 5log e   ln 5  ln 10 resolveria?
 
 2) Tem alguma dica para calcular cos 15 sem usar cos(45-15)?
 Como decoro cos(a-b), alguma dica?
 
 
 3) Eu tenho dificuldade em resolver exercicios do tipo abaixo, além
 da solução, alguém teria a dica do que eu tenho que fazer(estudar)
 para não travar em exercicios desse tipo?
 
 Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de x^3+(1/x)^3?
 
 
 Abraços
 Hermann


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: [obm-l] OPM 2001...

[Listeiro 037]

Não sei se fica claro ou é adequado:

Num intervalo de dez dezenas:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

Cortam-se o 2 o 5 e o 10:
1 x [2] x 3 x 4 x [5] x 6 x 7 x 8 x 9 x [10]

Fica:
1 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9

Se for incluir a segunda sequencia de dezenas:
11 x [12] x 13 x 14 x [15] x 16 x 17 x 18 x 19 x [20]

Fica:
11 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19

Sempre retirar os números côngruos a 2, 5, e 0 módulo 10.

Agora pensando em módulo 10:

* números multiplicados por algum côngruo a 1 módulo 10 não mudam final.
Elimina-se:

3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9

* números côngruos a 3 e 4 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10
* números côngruos a 6 e 7 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10
* números côngruos a 8 e 9 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10

finalmente três números côngruos a 2 módulo 10 multiplicados resultam
côngruo a 8 módulo 10.


Em Tue, 27 May 2014 14:03:39 -0300
Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!
 
 Não fiz o problema todo, devemos levar em conta do jeito que você
 fez, o 1 (nem tanto pois é elemento neutro da multiplicação), que
 sobra do 10 o 2 que sobra do 20, o 3, 4 e 5.
 
 Já tinha feito até o produto31*32*...*38*39.
 Fazendo o do
 41*42*...*48*49
 Temos 45* 42 tem 9 como último algarismo não nulo.
 Portanto sobram 9*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 2 mod10
 
 então temos  8 (referente aà 1*2*...*8*9), 4 (referente à
 11*12*...!**19), 4 (ref ...), 6 e 2.
 Restam os últimos algarismos não nulos das dezenas. 1, 2, 3, 4, 5.
 Aqui temos que tirar 2 e 5 cujo produto é 10.
 
 então no total 1*3*4*8*4*4*6*2 ≡ 2 mod10
 
 Só que resolvi de outra maneira.
 
 Apenas havia apontado onde era seu equívoco.
 
 
 A reposta é dois e não seis.
 
 Saudações,
 PJMS.
 
 
 
 
 
 
 Em 27 de maio de 2014 13:31, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com
 escreveu:
 
  porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo
  algarismo que influencia no digito nao nulo.
  10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo.
 
 
  2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:
 
  Bom dia!
 
  Saulo,
 
  Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja
  dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide
  exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão)
  Para 50!, m vale 12.
  Observe que não é tão períodico assim.
  Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ  [1,9] ᴒ |N.
  Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo
  8. Está correto.
  Porém, quando considermaos os fatores Ɛ  [11,19] ᴒ |N.
  Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último
  algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um
  produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos
  que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9  ≡ 4 mod10
  Considerando os fatores Ɛ  [21,29] ᴒ |N.
  Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo.
  Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0
  mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram
  e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9  ≡ 4 mod10
  Para os fatores Ɛ  [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7.
  E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10
 
  Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada
  produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada.
 
  1*2*3*4*5*6*7*8*9
  11*12*13*14*15*16*17*18*19
  21*22*23*24*25*26*27*28*29
  .
  41*41*43*44*45*46*47*48*49*
 
  A resposta correta é
 
  *dois.*
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
  Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson
  saulo.nil...@gmail.comescreveu:
 
  1*2*3*4*5=20
  6*7*8*9=54
  4*2=8
  como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes
  8^5=8
  10*20*30*40*50=20
  20*8=160== ultimo digito 6
 
 
  2014-05-25 19:09 GMT-03:00 ruymat...@ig.com.br:
 
   Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços.
 
 
 
 
  Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu:
 
  UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que
  este último dígito não forma uma sequência periódica.
 
 
  Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen
  peterdirich...@gmail.com
   escreveu:
 
   Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente
  não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este
  produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele.
 
  Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o
  GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa
  bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são
  todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!.
 
  Então, fazemos assim:
 
  Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5;
  Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar
  a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa
  potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos
  seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou,
 
  Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar
  a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa

Re: Re: Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Nada. A demonstração que o colega demonstrou é objetiva e suficiente.

É sobre uma prova de números que podem ser escritos como soma de dois
quadrados que usa a descida. Inclusive que Fermat estudou esses dois
problemas. Há um algoritmo de fatoração atribuído a Fermat que usa
diferença de quadrados. No caso seria uma prova dessas para diferença
de quadrados.


Em Wed, 14 May 2014 00:02:40 -0300
terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Por que temeis o caso a caso, irmão? XD
 
 
 Em 13 de maio de 2014 17:48, Listeiro 037
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
 
 
 
  Essa afirmação pode ser provada com redução ao absurdo ou descida
  infinita? Há como fugir do caso a caso?
 
 
  Em Tue, 13 May 2014 15:25:40 -0300
  Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
 
   Boa tarde!
  
   Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.
  
   Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.
  
   Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1.
   Portanto, qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a
   diferença de dois quadrados de inteiros.
  
   Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.
  
   Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
   h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que
   qualquer inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois
   quadrados de inteiros.
  
   Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.
  
   Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode
   ser escrito como a diferença de dois quadrados de interios.
  
   Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como
   a diferença de quadrados de dois inteiros.
  
   R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}
  
   Saudações
  
   PJMS.
  
  
  
  
  
  
  
   Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037
   listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
  
Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:
   
 Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados
 inteiros ?

   
   
Números da forma 2k, com k ímpar?
   
   
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
   
   
   
  =
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
   
  =
   
  
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

 Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


Números da forma 2k, com k ímpar?


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Essa afirmação pode ser provada com redução ao absurdo ou descida
infinita? Há como fugir do caso a caso?


Em Tue, 13 May 2014 15:25:40 -0300
Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!
 
 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.
 
 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.
 
 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois
 quadrados de inteiros.
 
 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.
 
 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que
 qualquer inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois
 quadrados de inteiros.
 
 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.
 
 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.
 
 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.
 
 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}
 
 Saudações
 
 PJMS.
 
 
 
 
 
 
 
 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
 
  Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
  jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:
 
   Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados
   inteiros ?
  
 
 
  Números da forma 2k, com k ímpar?
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemágica - Séries

[Listeiro 037]

Saudações.

Nas páginas da Wikipédia em inglês há mais coisas:

http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

Esta 
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF

que é dita o cálculo de ζ(0)

e que possui estas imagens:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumPlain.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumSmoothed.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:SumAsymptote.svg

E esta aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

que possui esta imagem:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pm1234_Ground.png

A partir destas ilustrações pensei em alguma forma intuitiva de se
representar. Geometricamente, como se o +1-1+1-1+1-1 ... = 1/2 fosse o
pressuposto preenchimento de metade de uma área de tamanho infinito.
Não que fosse uma integração, mas algumas somas bem que poderiam
representam áreas. 

Nesta aqui
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_1_%2B_2_%E2%88%92_6_%2B_24_%E2%88%92_120_%2B_%E2%8B%AF

aparece explicitamente uma integral. 



Em Mon, 28 Apr 2014 20:35:16 -0300
Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu:

 2014-04-28 19:20 GMT-03:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:
  Pois é,
 
  Mas a minha pergunta é : se os axiomas não se aplicam, pq quando
  usados, chegam à mesma resposta que os outros métodos corretos (o
  metodo que vc colocou, o uso da função zeta, para o caso dos
  numeros naturais, etc..)?
 
 Para completar a resposta do Ralph: por sorte. Uma forma de ver essas
 manipulações é como se fosse um limite de PGs (e outras coisas
 parecidas). Quando você bota 1 (ou -1) numa PG, ela não tem soma.
 Mas, em alguns casos, o limite faz sentido. Se você fizer as operações
 certas (o que, sem escrever as PGs subjacentes é impossível acertar
 sem ter MUITA sorte), você acaba calculando os limites certos, porque
 os infinitos (e outras bizarrices) se cancelam mutuamente. Eu lembro
 quando me mostraram os vídeos, e eu tentei justificar as contas... as
 primeiras tentativas de escrever PGs óbvias para calcular os limites
 deram MUITO errado. Claro, usando a zeta é mais fácil de saber a
 resposta - se você sabe calcular, e só funciona neste caso particular.
 
  Em Segunda-feira, 28 de Abril de 2014 17:36, Ralph Teixeira
  ralp...@gmail.com escreveu:
  Só tem um problema -- os axiomas básicos da aritmética dos números
  naturais NÃO se aplicam a somas infinitas. Na definição mais básica
  de soma infinita, a soma 1-1+1-1+1... simplesmente não existe (a
  série diverge). A soma infinita não é associativa, então o que eles
  fizeram não está nem um pouco certo.
 
  Note-se que HÁ maneiras de REDEFINIR somas infinitas que dão a
  resposta 1/2 (somar a Cesaro, por exemplo, vide
  http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation)
 
  (Só para ilustrar -- um dos axiomas básicos afirma que a soma de
  números positivos dá positivo, o que não é o caso ali.)
 
  Não é que o que está sendo dito ali está **errado**, mas eu
  particularmente não gosto do jeito que eles apresentam as coisas,
  fazendo tudo parecer fácil e simples quando não é. No fundo no
  fundo, eles sabem que estão provocando (porque os comentários do
  Youtube são a fonte natural de comentários lógicos Viu a
  ironia?).
 
 Bom, eu sou mais chato do que você. O que estes vídeos fizeram está
 matematicamente errado. E o tom do vídeo me deixa muito chateado,
 porque incita nas pessoas a idéia que matemática é coisa de maluco /
 coisa sem sentido e, pior ainda, matemática é só sair fazendo conta
 sem entender o significado. Seria muito melhor que, em vez de ficar
 fazendo contas malucas e sem sentido ele explicasse que 1/ As
 manipulações estão sendo feita COM OUTRAS CONVENÇÕES 2/ Que existem
 diversas outras convenções 3/ Que todas elas coincidem (quando a
 resposta existe) com continuação analítica 4/ E que é por isso que a
 Física moderna usa muita análise complexa, para poder fazer todas
 essas manipulações COM ALGUM SENTIDO. Mas, como disse o Ralph, postar
 isso no Youtube dessa forma é muito limitado.
 
 Se alguém quiser entender isso de verdade, eu sugiro começar com um
 post do Terence Tao:
 http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
 
 Abraços,


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas

[Listeiro 037]

Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas
não sei onde guardei. Sobre as ternas:

Sabe-se que

(m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)²

Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²)

Divisibilidade por 4:

Para m par e n par é automático 4|abc
Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc
Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2
(melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo
4), como b é divisível por 2 fica 4|abc.

(2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 - 4r+1

Divisibilidade por 3:

Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc.

Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7

(3k+1)² = 9k²+6k+1 - 3(3k²+2k)+1 - 3r+1
(3k+2)² = 9k²+12k+4 - 3(3k²+4k+1)+1 - 3r+1

Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3.

m²-n² garante 3|abc.

Divisibilidade por 5:

Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc.

Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4:
(5k+1)² = 25k²+10k+1 - 5(5k²+2k)+1 - 5r+1
(5k+4)² = 25k²+40k+16 - 5(5k²+8k+3)+1 - 5r+1

Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3:
(5k+2)² = 25k²+20k+4 - 5(5k²+4k)+4 - 5s+4
(5k+3)² = 25k²+30k+9 - 5(5k²+6k+1)+4 - 5s+4

Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.

Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.

No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas
módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3.
Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui
vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc.

Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica.


Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT)
luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

 Ola Pessoal,
 
 Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns
 problemas, encontrei algumas coisas interessantes :
 
 A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo
 qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de
 lados x,y e z) 
 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z +
 2CosXCosYCosZ = 1
  
 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a :
  
 Cos2X + Cos2Y  = 1
  
 Como X+Y = 90º
  
 Cos2X + Sen2X  = 1
  
 De (1),  resultam as seguintes relações :
  
 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X
  
 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y
  
 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z
  
 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ)
 = z2 
 
 E as outras relações envolvendo R e x  e R e y
 
  
 R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo.
  
 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z
 - 2CosXCosYCosZ
 
 6) 1 + Sen2X + Cos2X  = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ
 
  
 Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um
 triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma,
 temos : 
 Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ 
  
 De (4) temos que :
  
 Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ 
  
 Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX,
 CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em
 um cíuculo cujo raio R = ½
 
 A) Ternos Pitagóricos Primitivos
 
 Dado o terno pitagórico a,b e c,  3 x 4 x 5 = 60 divide abc
 
 Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de
 alguma coisa?
 
 Abs
 Felipe





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Minimizar a distância

[Listeiro 037]

Sem a planta de arruamento poderia ser no centro da circunferência a
que os três pontos onde estão as escolas pertence. Se forem colineares,
no meio do segmento de reta formado pelos dois pontos em que se
encontram as escolas mais distantes entre si.

É isso?


Em Sun, 20 Apr 2014 21:06:33 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Três cidadezinhas têm 100,200 e 300 estudantes,respectivamente.Onde
 se deve construiruma escola para minimizar a distância total
 percorrida pelos estudantes todos os dias?
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: RE: [obm-l] Minimizar a distância

[Listeiro 037]

Montar triângulos equiláteros com cada lado do triângulo (a, b, c) e
traçar uma reta entre o vértice oposto a cada lado do triângulo
original com o vértice oposto do triângulo equlátero respectivo.

Interessante. Sem diagrama esse problema parece ter múltiplas respostas.
Indo mais além poderiam aparecer quarteirões, daí prá teoria de grafos,
com grafos orientados ou não, com pesos etc.


Em Tue, 22 Apr 2014 20:46:35 -0300
Rígille Scherrer Borges Menezes rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Diria que não. O problema é parecido com o do Ponto de Fermat, deve
 valer a pena dar uma olhada no raciocínio de Torricelli.
 
 -Mensagem Original-
 De: Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br
 Enviada em: ‎22/‎04/‎2014 03:33
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] Minimizar a distância
 
 
 
 Sem a planta de arruamento poderia ser no centro da circunferência a
 que os três pontos onde estão as escolas pertence. Se forem
 colineares, no meio do segmento de reta formado pelos dois pontos em
 que se encontram as escolas mais distantes entre si.
 
 É isso?
 
 
 Em Sun, 20 Apr 2014 21:06:33 +
 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
  Três cidadezinhas têm 100,200 e 300 estudantes,respectivamente.Onde
  se deve construiruma escola para minimizar a distância total
  percorrida pelos estudantes todos os dias?

 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k)

[Listeiro 037]

Peço licença a todos.
Tenho uma resposta, mas não sei se é aceitável ou se há um modo menos
difícil de descrever.
Eu vejo alguma certeza de ver o motivo, mas não o melhor modo de
descrevê-lo. Se puderem dizer algo quento a transcrição da ideia, que
é onde me dificulta mais, eu agradeço. 

Pensei em algum tipo de indução. 

Se n/2  n/5, então 

n/n  2/5 

ou 1  2/5   (1)


n/2^k   n/5^k

fica 

n/n  (2/5)^k

então 

1  (2/5)^k (2)


Para k+1 fica

1  (2/5)^(k+1) (3)


De (1), fica

1 x (2/5)^k  (2/5)^(2/5)^k

ou 

(2/5)^k  (2/5)^(k+1)


Logo, n/2^k  n/5^k

para qualquer k0.


Agradeço qualquer dica.


Em Thu, 17 Apr 2014 15:19:57 -0300
terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Simples: 2^k é menor que 5^k. Logo, n/2^k é maior que n/5^k.
 
 
 Em 17 de abril de 2014 13:18, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:
 
  Meus queridos colegas da lista,
 
  Como podemos provar que o quociente da divisão euclidiana de n por
  2^k é maior do que o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k,
  sendo n um inteiro maior ou igual a 5^K e k um inteiro maior ou
  igual a 1? Abraços.
  Pedro Chaves
  _
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 
 
 


-- 
Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of
the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security
is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. —
Edward Snowden

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] off topic - livro caronnet

[Listeiro 037]

Poderia me enviar também, por gentileza?


Em Mon, 14 Apr 2014 13:35:45 -0700 (PDT)
regis barros regisgbar...@yahoo.com.br escreveu:

 Olá Pessoal
 No ano passado teve contato com todos os livros do caronnet e fiz um
 scan deles caso vocês queiram é só pedir que mando link para o email
 pessoal.
 
 Regis
 Em Segunda-feira, 14 de Abril de 2014 14:34, Sergio Lima
 sergi...@smt.ufrj.br escreveu: 
 oi Hermann,
 
 Procure na Estante Virtual. Acho que voce encontrarah lah.
 Os livros tem excelentes exercicios.
 
 Abraco,
 sergio
 
 
 
 2014-04-20 13:06 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 
  
 OFF - TOPIC
  
 Meus amigos, gostaria de saber se alguém já viu os 
 livros do caronnet volumes 1, 2, 4 e 5.
  
 Porque há anos eu procuro e nunca vi.
  
 E a coleção é boa, na opinião de 
 vocês?
  
 abraçosHermann
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Somatório

[Listeiro 037]

Olá.

Não me aprofundei nestes temas, mas se for o que suponho, está
ligado a um tema chamado de 'somas de Cesàro'. Gostaria de saber mais,
inclusive sobre teoremas abelianos e tauberianos, se realmente tiver a
ver com essa séria da camiseta.


Em Sat, 12 Apr 2014 12:53:59 -0300
Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:

 Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta:
 
 http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893
 
 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de
 que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui
 encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe
 como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física,
 como diz o site?
 
 Obrigado!
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Duas perguntas(teoria dos números)

[Listeiro 037]

Olá a todos. 

Pressupondo n par, há uma identidade para ternas pitagóricas:

(a²-b²)+(2.a.b)²=(a²+b²)²

a²-b²=48
4²a'²-4²b'²=3.4²
a'²-b'²=3

a'=2 e b'=1, onde
a²=64 e b²=16, logo
a=8 e b=4

(8²-4²)²+(2.8.4)²=(8²+4²)²
(2.8.4)²=2¹²
n=12

A resposta parece ok, mas não me parece uma resolução, apenas uma
resposta. 



Em Mon, 27 May 2013 17:16:11 +
marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2
 distintas pode ser uma potencia de base 2. 
 Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa
 mostrar isso. 
 2) Desconfio que   2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único
 valor de n. 
 Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48)
 m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2
 As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32
 Dai o único valor de n seria 12
 Um esclarecimento seria muito bem vindo
  
 Desde já agradeço  
  
  
 

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] sobre a resolução de problemas em geral

[Listeiro 037]

Bom dia a todos.

Tenho acompanhado discretamente há algum tempo esta lista. Pensei um
pouco antes dessa dúvida.

No momento não viso a meta desportiva/competitiva, mas aprender melhor
como seria uma demonstração adequada de uma inadequada através de
observação. 

Longe de conseguir resolver qualquer questão de pronto, mas entender
alguns mecanismos de solução, o problema seria expressar melhor no pouco
ou no muito, até para adquirir maior confiança posteriormente.

Há algum texto que trabalhe essas características? Desde já agradeço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Simplificação de Radicais

[Listeiro 037]

Encontrei sqrt[2](1+sqrt[5])/2, mas não sei está na melhor forma. O
valor corresponde ao cálculo dos radicais.



Em Tue, 15 Jan 2013 13:31:52 +
Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu:

 
 
 Gostaria de uma confirmação sobre a resposta que obtive para
 simplificar sqrt[2+sqrt[5+sqrt[20+sqrt[81+8 sqrt[5].
 
 Minha resposta: sqrt[12 sqrt[5]]
 
 
 Obrigado
 

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] mdc de números ímpares (pares) consecutivos

[Listeiro 037]

Olá a todos.

Peço licença para esboçar uma tentativa de solução, não sei se o modo
de descrição está bom, mas gostaria de compartilhar esta ideia.
Inclusive de saber como melhorar na escrita da resposta.


Seria algo assim:

pares:  m,n com m=2x e n=2x+2

mdc(m,n) = mdc (2x,2x+2) = 2*mdc(x,x+1)

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, o mdc de x e x+1 é 1, já que os
primos de x não são os mesmos de x+1.


ímpares: m,n com m=2x+1 e n=2x+3

mdc(m,n) = mdc (2x+1,2x+3) 

Dividindo (subtraindo) o maior pelo menor, fica:

2x+3-2x-1 = 2 e como mdc (a,b) = mdc (b,a-b) para ab
fica:

mdc(m,n) = mdc (2x+1,2x+3) = mdc (2x+1,2) = 1 já que 2x+1 é ímpar e 2 é
par.


[]'s



Em Mon, 31 Dec 2012 16:28:35 -0200
ennius enn...@bol.com.br escreveu:

 Caros Amigos ,
 
 Como poderemos provar as duas afirmações abaixo?
 
 
 1) O mdc de dois números ímpares consecutivos é 1.
 
 2) O mdc de dois números pares consecutivos é 2.
 
 Abraços do Ennius Lima!
 
 ___
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=