Re: [obm-l] analisar dizimas sem converter
On Sat, 22 Mar 2003 14:12:18 -0300, maurikleber araujo [EMAIL PROTECTED] wrote: oi pessoal o probleman eh o seguinte analise a natureza das dizimas sem converter:7/12 ,1/21 alem da resolucao gostaria que me indicassem algum material teorico a respeito ,favor responderem Assim, voce deve deixa-la na forma irredutivel e fatorar o denominador. Se aparecerem apenas fatores de 2 e/ou 5, eh uma divisao exata e o numero de casas decimais eh igual ao maior expoente entre os fatores 2 e 5, ex: 1/5 = 1 casa decimal, 1/(2^2*5) = 2 casas decimais Se aparecerem apenas fatores 3, 7, etc, eh uma dizima periodica simples. Se aparecer os 2 casos juntos, eh uma dizima periodica composta e ainda vale a regra das casas decimais, porem agora elas determinam o numero de casas que o anti-periodo possui. Logo, 7/12 = 7/2^2*3, entao eh uma dizima periodica composta com periodo de 2 casas decimais e 1/21 = 1/3*7 eh uma dizima periodica simples. O material que eu usei p/ consulta sobre as dizimas foi a minha apostila de matematica basica do cursinho que estou fazendo, entao fica dificil te mostrar ela.. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] análise combinatória I
On Mon, Mar 03, 2003 at 03:19:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver esta: (UF. UBERLÂNDIA) Em um plano há 12 pontos, dos quais três nunca são colineares, exceto 5 que estão sobre uma mesma reta. O número de retas determinadas por esses pontos é: resp: 56 ---end quoted text--- Esse voce pode fazer assim, C_12,2 - C_5,2, ou seja, o numero de retas que sao formadas no total (2 pontos definem uma reta, por isso 2 a 2, e como uma reta nao tem sentido, tanto faz se vai de A p/ B ou de B p/ A, por isso combinacao) menos o numero de retas coincidentes. Calculando as combinacoes, vc chegara em 6*11 - 5*2 = 66 - 10 = 56 []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] análise combinatória II
On Mon, Mar 03, 2003 at 03:20:53PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver esta: (UE- MT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Calcule o número de triângulos que podem formar com vétices nos pontos marcados. resp: 35 ---end quoted text--- Se eu entendi bem, a resposta eh dada apenas por C(7,3) = 35 []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] análise combinatória III
On Mon, Mar 03, 2003 at 03:20:08PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como resolver esta: (U.C. SALVADOR) Sejam r e s duas retas distintas paralelas. Considere 5 pontos distintos em r e 3 pontos distintos em s. O número de quadrilátero convexos que podem ser formados com vértices nesses pontos é: resp: 54 Obs: Acho que o gabarito está errado. Pois eu tentei calcular e cheguei a 30, e não em 54. Vejam como fiz: C (5,2)*C (3,2) = 30 ---end quoted text--- Neste caso eu concordo com a sua resposta e nao vejo uma forma de ter chego ao numero 54.. me corrijam se eu estiver errado, meio de carnaval, sabe como eh neh.. :) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] sistema de equações
On Mon, Jan 06, 2003 at 12:33:37AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: ---end quoted text--- Resolvendo o sistema pelo caminho que voce adotou e subtraindo a segunda equacao da primeira, isolando y e etc, encontrei sempre o mesmo resultado: x+y=23/61, com x=-110/61 e y=133/61 Como o prof. Morgado salientou, eh estranho um sistema que pede x+y, estar na forma que esta e nao poder ser resolvido por uma simples soma/subtracao. Um possivel erro poderia ser um mal xerox no qual voce/outra pessoa trocou o 6y/7 na primeira equacao por 8y/7, assim seria apenas a soma das 2 equacoes e a resposta seria o procurado 1. -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Correção de enunciado: complexos
On Thu, Jan 02, 2003 at 11:30:05PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, cometi um erro bobo de digitação, desculpem pois foi só por causa de um simples parênteses: Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito. OBS: Em vermelho (no enunciado) está errado, o certo seria z=i + (1/1-i) ---end quoted text--- vermelho? aqui eh tudo igual, mas eu entendi hehehe temos entao z = i + 1/(1-i) z = i + 1(1+i)/[(1-i)(1+i)] z = i + (1+i)/(1^2 - i^2) z = i + (1+i)/2 z = (2i + 1 + i)/2 z = (1+3i)/2 |z| = |1+3i| / |2| |z| = sqrt (1^2 + 3^3) / 2 |z| = sqrt (10) / 2 outro metodo de fazer seria fazer o mmc direto na primeira linha, sem fazer a divisao do numero complexo. Teriamos entao: z = [i(1-i) + 1]/(1-i) z = [i-(-1)+1]/(1-i) z = (2+i)/(1-i) |z| = |2+i| / |1-i| |z| = sqrt (5) / sqrt (2) |z| = sqrt (10) / 2 []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] circunferência
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:30:26AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Porque que quando o comprimento de uma circunferência passa de 1 metros para 2 metros, o raio aumenta de 1/2(pi*metros) ? ---end quoted text--- Se c = 2pir, C = 2piR e C = c + 1, entao 2piR = 2pir + 1 2piR - 2pir = 1 2pi (R - r) = 1 R - r = 1/(2pi) Onde R - r eh a diferenca entre o raio novo (maior) e o antigo (menor), ou seja, o quanto ele aumentou. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] sistema de equações
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:25:56AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Observem o sistema abaixo e no final eu direi minha dúvida: 3a + 4b - 10 = 0 -b = 6a + 1 Se o par (a, b) é solução do sistema, então: a) a+ b= 1/3 d)a - b= 11 b) a^b= -8/9 e) a*b= 2 c) b/a= -9/2 A altenativa certa é a c, eu tentei o método da substituição e adição, mas não consegui chegar no resultado. Para resolver este tipo de questão é necessário olhar o gabarito, ou se chegaria ao mesmo resultado se não tivesse alternativas? Pois a resposta está com incógnita dupla. ---end quoted text--- Eu resolvi esse sistema por substituicao mesmo, jah q jah temos b isolado e cheguei a resposta a = 2/3 e b = -3. Tendo isso eh calcular o que ele pede nas alternativas e comprar os resultados: a) a+b = 2/3 - 3 = (2-9)/3 = -7/3 (alternativa falsa) b) a^b = (2/3)^(-3) (falsa) c) b/a = (-3)/(2/3) = (-3*3)/2 = -9/2 - verdadeira []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] complexos
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:44:32AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Observem o número complexo: z= (1 - i*sqrt3)/(2 + 2*i*sqrt3) O gabarito dá como resultado certo 1/2 só que eu cheguei em 1/16 (que também está no gabarito). Será que errei no conjugado? ---end quoted text--- Uh, o que voce quer aqui? Mesmo assim, note que: z = (1-sqrt(3)*i) / [2*(1+sqrt(3)*i)] ou seja, z = y/[2conjugado(y)] Entao se voce quiser o modulo, temos |z| = |y|/|2|*|conjugado(y)| como |y| = |conjugado(y)|, entao |z| = 1/2 -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] polinômios
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:56:05AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Se 2x + 5 é identico à (x + m)^2 - (x - n)^2, então m^3 - n^3 é igual à: Ps: Meu gabarito está com alguns problemas de correspondência de questões só para vcs terem uma idéia neste exercício ele deu como resposta o seguinte: Pedro lucrou 20%. Incrível, não!? Mas as alternativas são: a) 19 c) 35 b) 28 d) 37 Neste exercício o que eu procurei fazer foi desenvolver os produtos notáveis e procurais a identidade de polinômios, mas o valor que encontrei para m^3 - n^3 não foi um nº inteiro, mas sim uma equação em função de m e n associado ao 15. ---end quoted text--- Note que (x+m)^2 - (x-n)^2 eh uma diferenca de quadrados, logo = (x+m + x-n)(x+m - x+n) = (2x+m+n)(m+n) = 2x(m+n) + (m+n)^2 = 2x + 5 por identidade de polinomios, m+n = 1, (m+n)^2 = 5 - Oops! Foi o que consegui enxergar nesse exercicio.. Espero ter ajudado um pouco, -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Sun, Jan 05, 2003 at 02:00:01AM -0200, larryp wrote: - Original Message - From: Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 12:43 PM Subject: Re: [obm-l] polinômios Note que (x+m)^2 - (x-n)^2 eh uma diferenca de quadrados, logo = (x+m + x-n)(x+m - x+n) = (2x+m+n)(m+n) = 2x(m+n) + (m+n)^2 = 2x + 5 A idéia é essa, mas você trocou um sinal. (x+m)^2 - (x-n)^2 = (x+m+x-n)(x+m-x+n) = (2x+m - n)(m+n) = = 2(m+n)x + (m+n)(m-n) = 2x + 5 == m+n = 1 e (m+n)(m-n) = 5 == m + n = 1 e m - n = 5 == m = 3 e n = -2 == m^3 - n^3 = 3^3 - (-2)^3 = 27 + 8 = 35. ---end quoted text--- OOPS!! fiz e refiz esse exercicio no papel antes de enviar e tropecei 2x no mesmo sinal hehehe Valeu! []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Domínio
On Mon, Dec 16, 2002 at 01:37:10AM -0300, Marcos Reynaldo wrote: Marcelo , nao faltou considerar o caso em que f(x) 0 e g(x) 0 ? Assim tambem se tem f(x)/g(x)0. []'s Marcos ---end quoted text--- Exato, mas, se eu nao me perdi nos parenteses, f(x) estah dentro de uma raiz entao ela eh nao-negativa, e por isso jah considerei g(x) como nao-negativa tambem. Se a raiz englobasse a divisao toda aih seriam as 2 respostas, com as 2 positivas ou as 2 negativas. Aih como g(x) estah no denominador de uma fracao e f(x) no numerador de um log, desconsiderei o 0 em ambas. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Domínio
On Sat, Dec 14, 2002 at 07:26:06PM -0200, Marcelo Leitner wrote:
On Sat, Dec 14, 2002 at 04:10:09PM -0300, pichurin wrote:
Obter o domínio da Função:
ln{[sqrt(pi*x^2 - ( 1+pi^2)*x + pi)]/(-2*x^2 + 3*x)}
---end quoted text---
ln { [sqrt(f(x))]/g(x)}, com
f(x) = pi*x^2 - (1+pi^2)*x +pi
g(x) = -2*x^2 + 3*x
como a raiz é sempre positiva, temos que o diminio serah dado apenas por:
D = (f(x) = 0) interseccao (g(x) 0)
Nota: g(x) nao pode ser 0, pq estah no denominador
---end quoted text---
Ahm corrigindo pequeno errinho :) f(x) tambem nao pode ser 0, pois
estah no numerador de um log, entao
D = (f(x) 0) interseccao (g(x) 0)
[]'s
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Re: [obm-l] Domínio
On Sat, Dec 14, 2002 at 04:10:09PM -0300, pichurin wrote:
Obter o domínio da Função:
ln{[sqrt(pi*x^2 - ( 1+pi^2)*x + pi)]/(-2*x^2 + 3*x)}
---end quoted text---
ln { [sqrt(f(x))]/g(x)}, com
f(x) = pi*x^2 - (1+pi^2)*x +pi
g(x) = -2*x^2 + 3*x
como a raiz é sempre positiva, temos que o diminio serah dado apenas por:
D = (f(x) = 0) interseccao (g(x) 0)
Nota: g(x) nao pode ser 0, pq estah no denominador
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Re: [obm-l] Ajuda Sobre um site (estranho!!)
On Fri, Dec 13, 2002 at 12:28:39AM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Caro Anderson Torres e Marcelo Leitner, muito mais interessante do que fazer um site contendo as provas que contém outros sites (com o do John Scholes) é fazer um site que contém as provas *traduzidas* para o Português. Então acho que o trabalho verdadeiro é o de tradução. Acredito que montar a página seja a tarefa mais simples. Coincidentemente, este trabalho de tradução já está sendo desenvolvido. O Paulo Santa Rita possui muitas questões russas (por exemplo), e eu e ele temos trabalhado na tradução de problemas de nível universitário, por enquanto. A olimpíada Putnam, que está no site do Scholes, já foi praticamente toda traduzida por nós: são mais de 800 problemas. Por enquanto, ainda há muitos erros de tradução, dúvidas quanto ao significado de questões, e coisas do tipo. Se você quiser dar uma olhada, visite www.geocities.com/olimpiadagaucha/putnam.html, onde eu disponibilizei temporariamente algumas delas. Eu e o Paulo iríamos nos empenhar em dar um acabamento final, decidir quais formatos disponibilizar, e fazer um sistema de busca, identificando por assuntos cada questões. Só que iríamos fazer isso em Janeiro (quando começam as férias) e só DEPOIS anunciaríamos o trabalho pronto. Recentemente, eu já comecei a traduzir as IMO's, traduzi muito pouca coisa, só as 5 primeiras. Seria legal - se você(s) estiverem de acordo em trabalhar seriamente conosco - dividir tarefas e trabalho de tradução para que duas pessoas não façam o mesmo serviço repetidas vezes. Não sei se o Paulo vai se incomodar com o fato de eu ter avisado do trabalho sem ele estar pronto... mas achei que seria uma boa idéia unirmos forças em um mesmo sentido, do que ficarmos latindo separadamente um para cada lado... Abraço, Eduardo. ---end quoted text--- Boa boa!! Dividir assim o trabalho o torna muito menos cansativo e poupa tempo das pessoas envolvidas. Quanto a traducoes russas, aih complica, eu nao sei russo.. hehehe apenas ingles e portugues, entao a minha area fica meio restrita.. Mas to aih, se o Paulo concordar no momento nao tenho problemas em ajuda-los. Btw, acho que o conteudo eh _sempre_ a parte mais dificil de se fazer numa homepage hehehehe []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] SENOIDAL
On Fri, Dec 13, 2002 at 12:42:08AM -0300, pichurin wrote: resolva a equação 3sen^2(x) -2sqrt(3)sen(x)cos(x) -3cos^2(x)=0 ---end quoted text--- -3(cos^2(x) - sen^(x)) - sqrt(3)(2senxcosx) = 0 -3cos(2x) - sqrt(3)sen2x = 0 -3cos(2x) = sqrt(3)sen2x tg2x = -3/sqrt(3) tg2x = -sqrt(3) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? quanto a 2. questao eu nao posso ajudar.. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
On Tue, Nov 26, 2002 at 11:00:27PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Em Tue, 26 Nov 2002 21:27:04 -0200, Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] disse: On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i ESSE ARGUMENTO NAO EH VALIDO. -1 = e ^pi = e^(3pi) e nao eh verdade que pi=3pi. A funçao exponencial, no campo complexo, nao eh injetiva. Calma, eu avisei aqui em baixo ---v que eu nao sabia se isto estava certo, 1/2 certo ou totalmente errado, mas valeu, nao havia pensao na possibilidade do 3pi. Como o Caio disse, isto estah certo se pi estiver no contradominio de Arg(z). Gostei mais da explicacao dele.. foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? ---end quoted text--- -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] PAs de ordens1
On Fri, Nov 22, 2002 at 02:02:48AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de
somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de
2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA normal(de 1a ordem)?
Naturalmente temos a[1], R e b[1].
Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os
primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira
ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de
k-ésima ordem?
[]'s
Alexandre Tessarollo
---end quoted text---
Bom, eu infelismente posso ajudar apenas na primeira parte, nao tenho
muitos conhcimentos sobre PA's de ordem 1. Jah vi que jah te ajudaram,
mas achei o metodo que utilizaram p/ resolver a primeira parte mais
complicado do que o necessario, entao resolvi te mandar essa parte em
particular.
Eh assim, adotando Z(1,n) como o simbolo de somatorio de 1 a n, temos:
Z(1,n) k^2 = [Z(1,n) k^2 + k - k)] = [Z(1,n) k^2 + k] - Z(1,n) k
Temos agora 2 termos, o 2. podemos calcular como uma soma de PA de 1. ordem,
de razao 1 e com n termos, com primeiro elemento = 1 e ultimo = n:
Z(1,n) k = (1 + n)*(n/2)
e Z(1,n) [k^2 + k] resolve-se por combinacao:
Z(1,n) [k(k+1)] = Z(1,n) [(k+1)!/(k-1)!] = Z(1,n) [(2!(k+1)!)/(2!(k-1)!)]
e logo, 2! * Z(1,n) C(k+1,2), onde C(k+1,2) eh a combinacao de k+1 elementos
agrupados 2 a 2. Temos a soma de uma coluna entao, lah no triangulo de pascal.
Existe um teorema, soh nao lembro o nome :), mas a soma da coluna eh dada
pelo elemento na diagonal direita abaixo do ultimo termo, assim:
1
1 1.
1 2. 1
1 3 3. 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
somando a 2. coluna, como no nosso caso, e fazendo k=2 (no ex. apenas),
temos 1+2 = 3 (os numeros com os . do lado sao os que foram utilizados)
Entao temos:
Z(1,n) k^2 = 2! Z(1,n) C(k+1, 2) - n(1+n)/2
Z(1,n) k^2 = 2*C(n+2, 3) - n(1+n)/2
Testando p/ n = 1, 2C(3, 3) - 1(1+1)/2 = 2*1 - 1 = 1 = 1^2
Testando p/ n = 2, 2C(4, 3) - 2(1+2)/2 = 2*4 - 2*3/2 = 8 - 3 = 5 = 1^2 + 2^2
n = 3, 2C(5, 3) - 3(1+3)/2 = 2*10 - 3*2 = 20 - 6 = 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2
Resumindo, eh soh somar (+k-k) ao somatorio e fazer aparecer a combinacao.
Com Z(1,n) k^3 eh a mesma coisa, mas aih voce soma (+3k^2-3k^2) se eu nao me
engano.. nao me recordo muito bem, mas era algo +- assim tb, de forma que
voce possa usar o Z(1,n)k^2 como base e tambem fazer aparecer combinacao.
Espero ter ajudado um pouco..
[]'s
--
Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED]
=
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Re: [obm-l] Dúvida
On Thu, Nov 21, 2002 at 11:54:12AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Pergunta:E se for algo essencial,como um desenho de um grafico ou de geometria,e valido?Afinal explicar geometria sem desenho e coisa de enunciado de IMO. Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote:On Tue, Nov 19, 2002 at 07:09:55PM -0200, cfgauss77 wrote: Gostaria de saber se posso enviar questões à Lista por meio de arquivos .DOC anexados. Não. Os motivos para isso estão explicitados em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Se você tentar enviar o seu e-mail será barrado. Se eu estiver de muito bom humor eu devolvo o e-mail com uma explicação mas normalmente eu simplesmente jogo fora. ---end quoted text--- Jah vi outras listas com esse mesmo problema, e algumas o solucionaram criando um sistema em php p/ que o usuario faca o upload de uma imagem/documento lah e poste apenas o endereco de referencia aqui, daih faz algo como: A figura se encontra em http://www.algumlugar/algumdir/figura1.png; daih quem quiser abre lah a figura.. acho que seria legal essa lista tambem ter isso, pois eu uso um leitor de emails q varias vzzz perde alguns caracteres por nao suportar algo que usaram, como fazer o 2 no expoente ao inves de colocarem ^2, aih eu perco.. agora se for complicada, faz no word/latex, passa p/ uma figura e posta lah, aih diz: Alguem sabe como resolver a equacao trigonometrica que estah em http:///equacao.png?; []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais ajuda!
On Tue, Nov 19, 2002 at 11:54:38PM -0300, Sharon Guedes wrote: Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar em mais essas questões: Ola' Sharon, 1) Determine o conjunto solução da equação ÷ z÷ ² + z z .`z = 3 + 3i Resposta : 3 + 3i Nao peguei muito bem essa equacao, tem como posta-la denovo?? 2)Sabendo que z é um número complexo tal que z . `z= 24 ,calcule o módulo de z. Resposta: 2Ö 6 se `z eh o conjugado de z, temos: (a+bi)(a-bi) = 24 a^2 - abi + abi - (bi)^2 = 24 a^2 + b^2 = 24 Como o modulo eh sqrt (a^2 + b^2), temos que o modulo serah: sqrt (24) = 2sqrt(6) (UFRGS) A igualdade (1 + i)^n = (1- i )^n se verifica se e somente se: n = 4K, k Î z n = 0 n é ímpar n é par n é primo. (1+i)^2 = 1 + i + i - 1 = 2i (1-i)^2 = 1 - i - i - 1 = -2i entao de (1+i)^n = (1-i)^n temos que (2i)^(n/2) = (-2i)^(n/2) logo serah verdadeiro somente se (-1)^(n/2) for positivo, ou seja, n/2 tem que ser par, entao n/2 = 2k, n = 4k, com k E Z []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re: [obm-l] equ a=E7=E3o?=
On Thu, Nov 14, 2002 at 11:59:01AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
Em Thu, 14 Nov 2002 10:34:27 -0200, Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] disse:
Exatamente, eu nao tinha enxergado que (-3+4i) = (1+2i)^2, aih
optei pelo metodo mais generico..
Tem algum jeito de identificar essa fatoracao jah de primeira
vista ou eh soh conhecendo elas mesmo?
[]'s
--
Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED]
As formulas de transformaçao de radicais duplos,
sqrt(A+sqrtB) = sqrt{[A+sqrt(A^2 - B)]/2}+ sqrt{[A - sqrt(A^2 - B)]/2}
sqrt(A-sqrtB) = sqrt{[A+sqrt(A^2 - B)]/2}- sqrt{[A - sqrt(A^2 - B)]/2}
podem ser usadas.
sqrt(-3+4i) = sqrt[-3+ sqrt(-16)]= sqrt[(-3+5)/2]+ sqrt[(-3-5)/2]=
= 1 + sqrt(-4) = 1 + 2i
---end quoted text---
H interessante! nao conhecia essas formulas..
Valeu!! :)
[]'s
--
Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Dúvida
On Tue, Nov 12, 2002 at 01:26:25PM -0300, Marcos Reynaldo wrote: Pessoal gostaria de uma ajuda para descobrir o erro da seguinte sequencia: 16-36=25-45 -- 16-36+(9/4)=25-45+(9/4) -- (4-9/2)^2=(5-9/2)^2 -- 4-9/2=5-9/2 -- 4=5 ---end quoted text--- Se resolvermos o quadrado: (4-9/2)^2, temos 16 - 2*4*9/2 + 81/4, que eh 16 - 36 + 81/4, e nao como foi enunciado, 16 - 36 + 9/4 Se utilizarmos 81/4, o resultado aih ficara 0.25, e nao -17.75 De forma semelhante o outro lado tambem, (5-9/2)^2 = 25 - 2*5*9/2 + 81/4, que eh 25 - 45 + 81/4, e nao 25 - 45 + 9/4 A nova expressao equivale a 0.25, ou seja, eh igual a expressao com o (4-...)^2 e positiva Entao agora temos: (4-9/2)^2 = (5-9/2)^2 (somamos 81/4 dos 2 lados, e nao 9/4) Aplicando raiz dos dois lados, tem-se: raiz [ (4-9/2)^2 ] = raiz [ (4-9/2)^2 ] (4-9/2) = |(4-9/2)|, pois raiz de uma potencia par de mesmo indice eh igual ao |modulo| Entao agora temos 2 caminhos: (4-9/2) = +(5-9/2) e (4-9/2) = -(5-9/2) Resolvendo-os, tem-se: 4 = 5 ou 4-9/2 = -5+9/2 o q eh absurdoou 9 = 9, que eh a nossa raiz. o 4 = 5 aparece por termos elevado o grau da equacao, adicionando-se assim raizes estranhas a ela. []s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] equação
On Wed, Nov 13, 2002 at 10:14:09AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Determine as raízes de z^2+2iz+2-4i=0 sendo i a unidade imaginária. No gabarito dá 1+i e -1-3i como soluções e verifica-se que é verdade...mas no braço dá respostas diferentes ...onde estou errando?? Um abraço e um antecipado agradecimento a quem puder elucidar minha duvida. Korshinói, ---end quoted text--- Ola'! Fazendo z=a+bi na equacao aih de cima, obtive o sistema: (I) a^2-b^2-2b+2=0 (II) 2ab+2a-4=0 aih isolando a em (II), tem-se: (III) a=2/(b+1) Substituindo (III) em (I), tem-se uma parada grande, que fatorada sera: (b-1)(b+3)(b+1-i)(b+1+i) = 0 Como b nao deve ser imaginario, pegamos apenas as 2. primeiras raizes, 1 e -3. Substituindo elas em (III), chega-se as respostas dadas, a=1 p/ b=1 e a=-1 p/ b=-3 Aih montando-se o z novamente, tem-se: z=a+bi z_1=1+i e z_2=-1-3i Vale apena relembrar que ao fazer (a+bi)^2, o b^2 fica negativo, devido ao i^2. (relembro aqui agora pq bobiei e fiz o exercicio na primeira vez com b^2 positivo hehehe) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] equação
On Wed, Nov 13, 2002 at 01:13:16PM -0200, Marcelo Leitner wrote: On Wed, Nov 13, 2002 at 10:14:09AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Determine as raízes de z^2+2iz+2-4i=0 sendo i a unidade imaginária. No gabarito dá 1+i e -1-3i como soluções e verifica-se que é verdade...mas no braço dá respostas diferentes ...onde estou errando?? Um abraço e um antecipado agradecimento a quem puder elucidar minha duvida. Korshinói, ---end quoted text--- Ola'! Fazendo z=a+bi na equacao aih de cima, obtive o sistema: (I) a^2-b^2-2b+2=0 (II) 2ab+2a-4=0 aih isolando a em (II), tem-se: (III) a=2/(b+1) Substituindo (III) em (I), tem-se uma parada grande, que fatorada sera: (b-1)(b+3)(b+1-i)(b+1+i) = 0 Como b nao deve ser imaginario, pegamos apenas as 2. primeiras raizes, 1 e -3. Substituindo elas em (III), chega-se as respostas dadas, a=1 p/ b=1 e a=-1 p/ b=-3 Aih montando-se o z novamente, tem-se: z=a+bi z_1=1+i e z_2=-1-3i ---end quoted text--- Ae, nao me pergunte pq isso ocorre, mas nesse caso pelo menos se fizer b=raizes complexas da equacao fatorada lah, vai achar as mesmas 2 raizes complexas da equacao do prblm :) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Editora Mir
On Wed, Nov 13, 2002 at 06:34:15PM -0200, Augusto César Morgado wrote: Insisto (estou desenvolvendo um problema grave de auto-estima; ninguém lê o que eu escrevo!) que mensagens como esta deveriam vir acompanhadas da cidade do remetente! Morgado Renato Lira wrote: Alguém poderia me sugerir nomes de livros(bons para quem quer ITA e IME por ex) de uma editora russa chamada Mir? Já ouvi falar muito bem de seus livros. ---end quoted text--- Aproveitando a deixa entao, sabe de algum lugar em Curitiba? :) Tambem estou atras dos livros dela. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes inteiras e positivas. []s, N. ---end quoted text--- Por que e positivas? E mesmo se P(x) for um polinomio de grau impar? []'s! -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes inteiras e positivas. []s, N. ---end quoted text--- Credo, nao vi o _e em particular_ na linha do meio! Foi mal ae. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
ae, alguem sabe como se relacionam as equações elipticas com as formas modulares? a proposito, alguem pode me definir nao abstratamente formas modulares? segundo Eichler elas estão entre as 5 operações basicas da matematica... falou Henrique Bom Henrique, eu acho que nao entendi muito bem, mas acho que voce procura saber algo como o modulo da equacao x²/25 + y²/9 = 1 eh representado num grafico, certo? Se for, lembramos que a equacao de elipses e de circunferencias nao sao funcoes, sao equacoes, mas nao funcoes, pois para serem funcoes elas devem ter apenas um y p/ cada x, compreende? p/ ser funcao nao posso ter algo como: f(x) e ter f(1) = 1 e ao mesmo tempo f(1) = -1, como acontece nas equacoes das elipses. Entao para fazer o modulo duma equacao de elipse, eu acho que voce deveria isolar uma das variaveis, obter as 2 funcoes que compoe a equacao, e aplicar o modulo em cada uma delas. Aih entao eh que voce pode analizar alguma coisa. Como as elipses sao simetricas em relacao ao qualquer um dos 2 eixos principais dela, a analize da primeira funcao serah igual ao da segunda, entao voce soh precisa analizar uma delas. Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
On Mon, Nov 11, 2002 at 03:16:39PM -0200, Wendel Scardua wrote: Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? ---end quoted text--- Ahm, entao como jah deu p/ notar, por enquanto isso foge do meu conhecimento hehehe malz ae :) []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! ---end quoted text--- Se P(x) = Q(x), entao P(x) - Q(x) = 0 Se tivermos, por exemplo, P(x) = x e Q(x) = k, onde k eh uma constante, teremos P(x) - Q(x) = x - k, equacao do primeiro grau que possue raiz real k. Note que o grau de Q(x) eh 0, e o de P(x) eh 1. Se fizermos isso com um polinomio do 3. grau e do 2, respectivamente, e ainda com coeficientes iguais, teremos P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x + 1 e P(x) - Q(x) = x^3, pois todos os outros termos sao semelhantes. Entao podesse provar por inducao que se P(x) tem grau m e Q(x) tem grau n, sendo m n, P(x) = Q(x) terah _no maximo_ m raizes inteiras, _mas nao necessariamente positivas_. Se m for impar, nada impede de termos, por exemplo: P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x P(x) - Q(x) = x^3 + 1 = 0 logo x = raiz cubica (-1) = -1, as outras 2 raizes sao complexas. Ou os polinimios tem que ser completos ou coisa do tipo? Sempre que voce fizer P(x) - Q(x), e m n, restarah sempre _no minimo_ o termo de gray m de P(x), pq n m, por isso pode ter _no maximo_ m raizes reais, pq nada impede de outras serem complexas, como no ultimo exemplo. sao 2:10 da manha, espero ter ajudado alguma coisa :) []'s! -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
