Re: [obm-l] Combinatória
Lancando 4 dados justos com valores entre 1 e 9, o valor mais provavel no lancamento
eh 20.
Como 18 estah mais proximo de 20 do que o 27...
Will
Cópia [EMAIL PROTECTED]:
> Ok !
>
> Falando novamente sobre o assunto, vejam as equações:
>
> (I): x1 + x2 + x3 + x4 = 27 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos
> os
> valores são naturais)
> (II): x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos
> os
> valores são naturais)
>
> Há como provar que a equação (II) possui mais soluções que (I) sem
> resolvê-las pelo método exposto por você ?
>
> Da para generalizar este problema, ou seja, comparar 2 equações destes
> tipos
> (com cotas superior) e dizer qual a que possui mais soluções ?
>
>
>
>
> Em uma mensagem de 29/9/2004 14:44:33 Hora padrão leste da Am. Sul,
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
>
>
> >
> > On Tue, Sep 28, 2004 at 01:54:07PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> > > > Vocês conhecem a fórmula para resolver
> > > >
> > > > x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que
> > > >
> > > > 0 =< x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] =< a (a < k) ?
> > > >
> > > > Um exemplo do caso geral acima :
> > > >
> > > > Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as
> incógnitas
> > podem
> > > > assumir seja 9, ou seja,
> > > > 0 =< x, y, w, z =< 9
> > >
> > > Eu acho que a pergunta não está muito bem formulada. Eu adivinho que
> você
> > > quer saber *quantas* soluções *inteiras* a equação tem. É isso? Se
> for,
> > > não é difícil.
> > >
> > > O número de soluções de x1 + x2 + ... + xn = k, xi >= 0 é
> binom(k+n-1,n-1).
> > > Agora é só fazer inclusão e exclusão: o número de soluções de
> > > x1 + x2 + ... + xn = k, xi >= 0, x1 >= b é binom(k-b+n-1,n-1):
> > > basta fazer y1 = x1 - b e considerar o problema y1 + x2 + ... + xn =
> k - b.
> > > Assim, para calcular o número de soluções com 0 <= xi < b precisamos
> tirar
> > > fora estas soluções, com o cuidado usual do somar de volta o que for
>
> > excluído
> > > duas vezes e assim por diante:
> > > binom(k+n-1,n-1) - n*binom(k-b+n-1,n-1) +
> binom(n,2)*binom(k-2b+n-1,n-1)
> > -...
> > > = Soma_{i >= 0} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n - 1)
> >
> > O que eu fiz está incompleto: faltou especificar o valor máximo de
> i.
> > É bem claro pelo raciocínio que devemos ter k - i*b >= 0.
> > Se definirmos binom(x,y) da forma usual como um polinômio em x
> > de grau y para cada valor fixo de y então a soma completa dá zero,
> > como podemos facilmente provar.
> > Assim, a resposta é
> > Soma_{i >= 0, i <= k/b} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n -
> 1)
> > ou
> > - Soma_{i >= 0, i > k/b} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n -
> 1)
> > Outra maneira de obter a segunda fórmula é observar que o número
> > de solucões para k é igual ao número de solucões para n*(b-1) - k.
> >
> > No problema proposto com n = 4, k = 27, b = 10 a resposta é
> > binom(27+4-1,4-1) - 4*binom(27-10+4-1,4-1) + 6*binom(27-2*10+4-1,4-1)
> =
> > binom(30,3) - 4*binom(20,3) + 6*binom(10,3) =
> > 4060 - 4*1140 + 6*120 = 220.
> >
> > Observem que a segunda fórmula permite chegar à resposta mais
> rapidamente:
> > 4*binom(0,3) - binom(-10,3) = 4*0 + 220 = 220.
> >
> > Isto pode ser confirmado procurando o coeficiente de x^27 (ou de
> x^9)
> > em ((x^10-1)/(x-1))^4 =
> >
> > 36 35 34 33 32 31 3029
> 28
> > x + 4 x + 10 x + 20 x + 35 x + 56 x + 84 x + 120 x +
> 165 x
> >
> > 272625242322
> 21
> > + 220 x + 282 x + 348 x + 415 x + 480 x + 540 x + 592
> x
> >
> > 201918171615
> 14
> > + 633 x + 660 x + 670 x + 660 x + 633 x + 592 x + 540
> x
> >
> > 1312111098
> 7
> > + 480 x + 415 x + 348 x + 282 x + 220 x + 165 x + 120
> x
> >
> >6 5 4 3 2
> > + 84 x + 56 x + 35 x + 20 x + 10 x + 4 x + 1
> >
> >
> > []s, N.
> >
>
>
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Álgebra_1
> Gostaria de saber como construo um isomorfismo entre um grupo de ordem 8 > não abeliano e grupo Q_8 (quaténios). Primeiro de uma olhada nos elementos de teu grupo e veja se nao tem nenhum elemento de ordem 4. Se tiver, esse grupo (nao abeliano) eh isomorfo ao grupo de isometrias do quadrado. Se todo mundo tiver ordem 2 e o grupo for nao abeliano entao eh isomorfo mesmo aos quaternios. Para construir o isomofismo eu comecaria olhando para o centro do grupo e levando o elemento diferente da identidade no elemento (-1) dos quaternios. O resto dá pra ir por tentativa/investigacao. Como provo que um grupo de ordem > 2p (p primo) é isomorfo a Z/(2p) ou a D_p (grupo dihedral de ordem > 2p). Coisas que sabemos de um grupo de ordem 2p (p diferente de 2) - G tem um subgrupo de ordem 2 - G tem um subgrupo de ordem p - o numero de p-sylows eh congruo a 1 modp e divide 2, logo eh igual a 1 (ou seja, o p-sylow eh normal) - o numero de 2-sylows eh congruo a 1 mod 2 e divide p, logo eh igual a 1 ou p. Se G eh abeliano... Todo subgrupo de G eh normal *pq G eh abeliano* O 2-Sylow sera normal e, portanto, unico. Como os dois subgrupos de sylow sao normais, a unica alternativa aqui eh G isomorfo ao produto direto de Z2 com Zp Se G eh nao abeliano, podemos considerar que o numero de 2-sylow igual a P. A normalidade do p-sylow nos dah condicoes de fazer o produto semidireto de zp por z2. Como Aut(Zp) eh isomorfo a Z(p-1), que é par, isso nem eh tao dificil e o unico produto semidireto possivel serah o dihedral. Mais sobre isso no Elementos de Algebra, do Arnaldo Garcia e Yves LEquain. Há tambem o excelente livro do Herstein, Topicos de Algebra, mas nao me lembro ateh onde ele cobre esse tema. Abracos Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] densidade e abertos.
Gostaria que alguém me ajudasse com a seguinte questão: Sejam A um aberto em M e X denso em M. Prove que fecho da interseção de A com X é igual a A. Obs.: A e X são subconjuntos de M. -- O correto não seria "Prove que o fecho da interseção de A com X contém A ?" Senão eu poderia supor M=R , X=Q , A=(1,2) o fecho de A(inter)X é B= [1,2] , que é diferente de A. Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma dos Quadrados...
Fatore 21... Como o 21 é 3x7 , ou vc faz x+y = 7 e x-y = 3 ou então x+y = 21 e x-y = 1 Boa sorte Will - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 13, 2004 12:06 PM Subject: [obm-l] Soma dos Quadrados... Ola galera!, qual seria um bizu maneiro pra resolver essa questão ? 1) A diferença entre os quadrados de dois numeros naturais é 21. Um dos possiveis valores da soma dos quadrados desses dois numeros é ? a ) 29 b ) 97 c) 132 d ) 184 e ) 252 imaginei x^2 - y^2 = 21 tentei desmembrar ( x + y ) ( x - y ) = 21 , mas nao consegui relacionar com x^2 + y^2 ... Abraços!
[obm-l] Re: [obm-l] O mundo é pequeno, resta provar.
Há um website que calcula a distância até o Kevin Bacon... http://oracleofbacon.org/ Já é alguma coisa. Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, June 01, 2004 8:34 PM Subject: Re: [obm-l] O mundo é pequeno, resta provar. on 01.06.04 18:37, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Certa vez um professor do IMPA disse (logo, é fato) que, dadas quaisquer > duas pessoas no mundo existem outras 7 que ligam essas duas. (É como se > pudéssemos montar um caminho ligando as duas, passando pelas 7, onde > duas pessoas consecutivas se conhecem). > > Bem, ele já estava indo embora e não falou nada a respeito de qualquer > consideração. > > Alguém tem algo a comentar a respeito? > > Abraços, > Wellington > Se isso for verdade (e pode bem ser), entao deve ser comprovado por observacoes empiricas, pois eh muito facil construir um grafo onde dois vertices quaisquer sao separados por um numero arbitrariamente grande de vertices. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] MAIS DIVERSÃO!
Se existe um sujeito que é ao mesmo tempo o mais bonito e o mais inteligente, fica difícil :-) Will - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> Vários rapazes e moças estão participando de uma festa. É possível que cada moça possa sempre dançar a próxima dança com um rapaz ou mais bonito ou mais inteligente que o da dança anterior, e que a cada dança uma das moças esteja dançando com um rapaz mais bonito e mais inteligente que o da dança anterior? (O número de rapazes e de moças é o mesmo e todos estão dançando). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Exercício UFRJ
isole o t na equação (300-v)*t = (300+v)*(4-t) depois escreva D = 2*(300-v)*t , substituindo o t isolado acima. isso te dá a questão a) Feito isso basta olhar o máximo da equação da questão a) Will - Original Message - From: Alan Pellejero To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 21, 2004 12:25 PM Subject: [obm-l] Exercício UFRJ Pessoal, gostaria de uma ajudinha nesse aqui: 1-)Um avião tem combustível para voar durante quatro horas. Na presença de um vento com a velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é (300+v)km/h. Se o avião se desloca em sentido contrário ao vento, sua velocidade é de (300-v)km/h. Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível,n e que durante todo o trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião. a) Determine d como função de v; b) Determine para que valor de v a distância d é máxima. []'s Alan Pellejero Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
- Original Message - From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Ricardo, o que o Artur quer dizer é que, para resolver esse problema do ponto de vista de análise (não pensando mais em monges e montanhas, mas em funções e intervalos) não dá para responder assim, no gogó. O caso é que, pela informalidade do enunciado, cabe dar uma resposta informal. Por isso talvez você (e eu) não tenha problema com a resposta que eu dei. Entretanto, se o problema fosse o seguinte. Considere f e g funções contínuas de [a,b] em R, tal que f(b) = g(a) e f(b)=g(a) . Prove que existe algum c em [a,b] tal que f(c)=g(c) . Daí eu vou lá digo: Ah, função contínua é só não tirar o lápis do papel, é claro que f e g vão se cruzar em algum ponto, senão não ia dar certo ! Bom, foi mais ou menos o que eu disse quando falei que o fato dos monges caminharem na mesma trilha era suficiente para que eles se encontrassem. Isso não é argumento suficiente para provar um fato de Análise, embora seja o bastante para agradar a nossa intuição. Mas voltando ao problema original, acho que solução tosca é digna do enunciado :-) Abraço Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Will - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> Às seis horas da manhã, um monge começa a escalar uma montanha. Segue uma trilha montanha acima, parando ocasionalmente para descansar e meditar. Numa certa hora da tarde do mesmo dia, alcança o cume da montanha e vai dormir. Às seis horas da manhã seguinte, começa a descer pelo mesmo caminho, parando para descansar. Atinge o sopé da montanha logo após o crepúsculo do mesmo dia. Você será capaz de provar, sem recorrer a considerações a respeito da velocidade, que o monge alcançará um determinado ponto na descida, que é exatamente o mesmo ponto alcançado na subida, exatamente aquela mesma hora do dia? NOTA: Charada cunhada por Carl Duncker. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao da Eureka
p tem que ser a soma das raízes :-) ah, e creio eu que o produto das raízes tem que ser 1, não -1. (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - (abc) abc = 1 a+b+c=p Abraço Will - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 17, 2004 12:32 AM Subject: Re: [obm-l] Questao da Eureka Esqueci de aplicar Girard. Entao as raizes serao: Caso 01: x_1 = -1 x_2 = -1 x_3 = -1 OU Caso 02: x_1 = 1 x_2 = 1 x_3 = 1 Atraves do caso 01 temos: x^3 - px^2 + px - 1 = 0 (-1)^3 - p(-1)^2 + p(-1) - 1 = 0 -1 - p - p - 1 = 0 p = -1 (Ja achamos um valor para p) Atraves do caso 02 temos: x^3 - px^2 + px - 1 = 0 (1)^3 - p(1)^2 + p(1) - 1 = 0 1 - p + p - 1 = 0 (Esta equacao eh verdadeira para infinitos valores de p [inclusive complexos], mas isso eh impossivel, pois a resposta eh a alt.b) Onde estou errando ? Em uma mensagem de 17/5/2004 00:02:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Ola pessoal, > > Para quantos valores reais de p a equação x^3 - px^2 + px - 1 = 0 > tem todas as raizes reais e inteiras ? > > a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais O produto das raízes é -1. []s, -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
Re: [obm-l] O que eh "AO ACASO"?
o mathworld tem um texto interessante sobre esse problema http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html O que não ficou claro pra mim foram as observações finais sobre invariancias... Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma certa confusao
Arthur, se tiver como buscar para nós um destes exemplos ou então, se você lembrar, apontar uma bibliografia, seria ótimo :-) Me refiro a funções tal que " restricoes de f a todas as retas que passem por um ponto x sejam continuas mas que f, entretanto, naum seja continua em x." Não estou participando ativamente desta discussão por excesso de ignorância no assunto, mas estou tentando aprender Analise no R^n esse periodo e mais conteúdo é sempre bom ! Abraço Will - Original Message - From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> Um fato que eu naum acho muito intuitivo: Eh possivel que as restricoes de f a todas as retas que passem por um ponto x sejam continuas mas que f, entretanto, naum seja continua em x. Os exemplos que eu jah vi sao um tanto "patologicos", mas matematicamente perfeitos. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral
Alan, essa integral é patológica mesmo. Não sei se você tem em casa algum programa que resolva integrais, suponho que não, mas em todo caso vc sempre pode tentar a sorte no http://integrals.wolfram.com Tanto o Maple quanto este site dão a solução pra essa integral em termos de polylogs, que eu pra te dizer a verdade faço pouca idéia do que seja. Aproveitei pra ler um pouco sobre o assunto, mas não o bastante para poder me arriscar a te explicar o pouco que entendi. Em todo caso, fica a dica. Antes de mandar pra lista uma dúvida assim, na bucha, é bom falar um pouco do quanto você já percorreu antes de empacar no problema. É natural que as pessoas se sintam mais a vontade para ajuda-lo se notarem que você está realmente se esforçando no assunto, ao passo que simplesmente jogando integrais atras de integrais na lista você corre o risco de ser frequentemente ignorado. Vê se dá uma olhada no site das integrais. Muitas vezes você, olhando a solução, consegue entender como se dá o processo de integração. (Não é esse o caso, essa integral é ardilosa mesmo)AbraçoWill- Original Message - From: Alan Pellejero To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 02, 2004 5:05 PMSubject: [obm-l] IntegralOps, esqueci da divisão...Pessoal, até agora não sei direito o que é off-topic, mas já que não consigo resolver essa aqui, gostaria de saber se alguém tem alguma sugestão para:/| x / (senx)dx/Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida
Cara, esse problema está meio mal formulado... Se o enunciado diz "estima-se", não dá pra de fato saber se existe uma cota máxima para o número de cabelos de um indivíduo. Supondo que 99 é o máximo de fios de cabelo que uma pessoa pode ter, basta vc usar o PCP e ver que 100 > 99 e, portanto, alguém tem que ter um número repetido de fios de cabelo. Tente fazer o problema que o jorgeluis acabou de passar, falando sobre uma sala com crianças com avô em comum. ´ Por via das dúvidas PCP = Princípio da Casa do Pombo. ( http://mathworld.wolfram.com/DirichletsBoxPrinciple.html ) Abraços Will - Original Message - From: TSD Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 01, 2004 10:07 AM Subject: [obm-l] dúvida estima-se que uma pessoa possua em sua cabeça cerca de 900 mil fios de cabelo. Sabe-se que em Maceió existem cerca de 1 milhão de pessoas. Mostre que em Maceió deve existir pelo menos 2 pessoas com o mesmo número de cabelos.
Re: [obm-l] ROYAL FLUSH!
640740 ? - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, April 30, 2004 8:32 PM Subject: [obm-l] ROYAL FLUSH! Olá, Pessoal! Tive problemas de comunicação com a lista, mas graças à pessoas de boa vontade estou retornando ao convívio dos colegas. Grato pela atenção! A probabilidade de um royal flush (sequência máxima de cartas de um mesmo naipe) no jogo de pôquer é 1/640740. Qual deve ser o valor de n para que a probabilidade de que não apareça um royal flush em n mãos seja menor do que 1/e aproximadamente igual a 1/3? Observação: Você não precisa fazer cálculos para dar a resposta. Ok! Um abraço à todos e bom feriado! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Não consegui resolver, mas andei um tanto...
Mais abaixo...
- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas funções de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) <= 2003 para todo n <= 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*
Passo a passo, pra não ficar impossível de entender.
Afirmação 1: f(0) = 0
Dem:
f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0)
f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)
0 = f(0)
Afirmação 2: f(n) = f(f(n)) para todo n natural
Dem:
f(n + f(0)) = f(f(n)) + f(0)
f(n) = f(f(n))
Afirmação 3: Se f(n) = k para algum k natural , Então f(k)=k
Dem:
f(n) = f(f(n))
f(n) = f(k)
Afirmação 4: Se f(n) = n para algum n natural, Então f(kn) = kn para todo k
natural
Dem: (indução em k)
hipotese: f((k-1)n) = (k-1)n
f(n + f((k-1)n)) = f(n) + f((k-1)n)
f(n + (k-1)n) = n + (k-1)n
f(kn) = kn
Afirmação 5: f(1) = 0 ou 1 ou 2003
Dem:
Suponha f(1) = b , onde 1 < b < 2003
Então f(b) = b (afir 3)
e também f(kb) = kb (afir 4)
Seja k o maior inteiro tal que kb < 2003
f(1 + f(kb)) = f(1) + f(kb)
f(1 + kb) = b + kb > 2003 (absurdo)
Afirmação 6: Se f(1) = 1 , então f(n) = n para todo n
Dem: Decorre diretamente da afirmação 4.
Suspeito que as outras possibilidades são arranjos de 0´s e 2003´s , o que
dariam mais umas 2^2002 funçoes, mas tá tarde e eu tenho uma prova pra fazer
amanhã de manhã e a cabeça tá pifando. (além do que, acaba de chegar um mail
do Domingos, vou olhar a solução dele e matar a curiosidade...)
Saudações
Will
=
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[obm-l] probabilidade - duelo com dados.
Estou as voltas com esse problema já faz um tempo, mas resolvi aproveitar que estou cursando Probabilidade na PUC para tentar resolve-lo de vez. O problema original tem várias nuances que estou descartando, visando facilitar o entendimento. Vou tentar enunciar o problema de uma maneira inteligivel. 2 Jogadores (A e B) disputam um jogo de azar com dados de 6 lados, com faces equiprovaveis. Cada jogador começa com um certo número de pontos (Va e Vb) Não se trata de um problema usual de ruína, uma vez que ninguém ganha pontos. Perde quem ficar com zero ou menos pontos primeiro. Em cada rodada, os jogadores lançam um dado cada um. O resultado do jogador A, entre 1 e 6, chamamos de Ra. Somamos uma constante K ao resultado de B e esse resultado, entre K+1 e K+6, chamamos de Rb Se Rb > Ra , o jogador A perde |Rb-Ra| pontos ( Va --> Va - |Rb-Ra| ) Se Rb < Ra , o jogador B perde |Rb-Ra| pontos ( Vb --> Vb - |Rb-Ra| ) Se Rb = Ra , nada acontece. Se nenhum dos jogadores "morreu" , joga-se novamente, até a eventual morte de um dos jogadores. Uma vez exposto o problema, como faço para calcular P(A), a chance de A vencer B, em função de Va, Vb e K ? O problema que estou tentando modelar tem mais alguns complicadores, envolve lançamentos de dados com 300 lados de faces não equiprováveis e o "dano" inflingido a cada rodada varia entre 1 e |Rb-Ra| , mas isso por enquanto é o menor dos meus problemas... A constante K, no caso, representa a discrepância entre a perícia individual de cada duelista. É possível, com um K suficientemente grande, que B vença sempre, por exemplo. Se alguém se interessar, posso passar todo o algoritmo de duelo para a lista. Por agora fico contente se alguem tiver alguma pista de como modelo o que postei até agora. Pensei em funções geradoras, mas não consigo vislumbrar uma boa saída usando o que sei do assunto. Espero ter sido claro no enunciado, desde já agradeço Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros primos (ajuda)
Thiago, talvez interesse saber que esses números são chamados repunidades e é sabido que, por exemplo, R19 e R23 (numeros com 19 e 23 algarismos 1, respectivamente) são primos :-) O livro do Paulo Ribenboim "Números Primos, mistérios e recordes" fala um pouco sobre eles. Abraço Will - Original Message - From: Thiago Ferraiol To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 13, 2004 5:20 PM Subject: [obm-l] numeros primos (ajuda) Pessoal, sou novo por aqui... Sou aluno do curso de matemática na Unicamp e gostei bastante desta lista de discussão... Mas o que realmente gostaria, é pedir ajuda a vcs para resolver o seguinte problema... "Seja n um numero de m algarismos iguais a 1 (m>1). Mostre que se n é primos, então m também é primo" (n = 111...1 (m algarismos)) t+... Thiago Ferraiol
[obm-l] Re: [obm-l] Introdução à Álgebra
jerry, o grupo do exemplo 3 é composto pelos
elementos que comutam com o elemento x de G. Perceba que eles não precisam
necessariamente comutar com outros elementos de G.
Já no exemplo 4 isso vale pra todo elemento de G.
Um elemento de Z(G) comuta, necessariamente, com todo elemento de
G.
Observe que se um dado x pertence a Z(G) então x
pertence a Cg(y) para todo y em G.
Abraço
Will
- Original Message -
From:
Jerry Eduardo
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, April 13, 2004 9:23
AM
Subject: [obm-l] Introdução à
Álgebra
O livro Introdução a Algebra (Adilson
Goncalves - quarta edicao)
cita dois exemplos de
subgrupos:
Exemplo 3: Seja G um
grupo e x pertence a G. Entao,
Cg(x) = {y pertence a G: yx=xy} eh um
subgrupo de G.
(Cg(x) eh denominado o centralizador de
x em g)
Exemplo 4: Seja G um
grupo. Entao,
Z(G) = {a pertence a G: a.x=x.a para
todo x pertencente a G}
eh um subgrupo G.
(Z(G) eh denominado de centro do grupo
G)
Qual eh a diferenca entre estes
subgrupos?
Cordialmente,
Jerry
Re: [obm-l] O JOGO DE VINTE-E-UM!
60% ? - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, March 16, 2004 9:47 AM Subject: [obm-l] O JOGO DE VINTE-E-UM! Olá, pessoal! No jogo de vinte-e-um, cada jogador recebe duas cartas para iniciar e procura então fazer um total numérico de 21 da seguinte maneira: as cartas de 2 a 10 valem seu próprio valor, cada figura vale 10 e um ás pode valer 1 ou 11, dependendo da preferência do jogador. O jogador pode tomar mais cartas, procurando chegar tão perto de 21 quanto possível, sem ultrapassar para não perder o jogo. Suponha o leitor que recebeu um 4 e um 9. Se a pessoa que dá as cartas tira-as de um único baralho de 52 cartas, e o 4 e o 9 são as únicas cartas dadas cujo valor você conhece, você deve tirar outra carta? Em outras palavras, qual é a probabilidade de, tirando outra carta, não ultrapassar 21? Abraços! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Baseado (e um participio de verbo, antes que alguem diga algo!) em fatos reais
http://mathworld.wolfram.com/Hardy-RamanujanNumber.html eles chamam esse números de taxi numbers :-)) Will - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 11, 2004 7:18 PM Subject: [obm-l] Baseado (e um participio de verbo, antes que alguem diga algo!) em fatos reais Rezam as lendas (como o Saci, o Curupira...) que Hardy estava fazendo uma visita a Ramanujan na India. Ramanujan, e claro, apresentou alguns pontos turisticos de la. Nisto eles pegam um taxi. Ao olhar o numero do taxi, Hardy o achou desinteressante (o numero, e talvez o taxi...). Ao que Ramanujan replicou dizendo que aquele numero desinteressante era o menor numero natural que era expressavel de dois modos como soma de dois cubos perfeitos positivos (ou seja, era o menor n tal que n=a^3+b^3=c^3+d^3 com a,b,c,d, positivos e diferentes). PERGUNTA: quem era n? (que trocadilho!!). Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Truelo
parece que o melhor nessa situação é errar de propósito, se essa alternativa existir. Senão der pra atirar no nada, o jeito é tentar a sorte no Mr. White... Will - Original Message - From: "André Martin Timpanaro" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 24, 2004 6:17 PM Subject: [obm-l] Truelo Esse problema é um clássico da teoria dos jogos: Três cavalheiros, o sr. Black, o sr. Gray e o sr. White irão se enfrentar em um truelo. O sr. White têm ótima pontaria e acerta sempre o seu alvo. O sr. Gray acerta em 2/3 das vezes e o sr. Black em apenas 1/3 das vezes. Por causa disso, o sr. Black irá atirar primeiro, depois o sr. Gray, o sr. White, novamente o sr.Black e assim por diante até que só sobre um vivo. Qual deve ser o primeiro tiro do sr. Black de modo que ele seja o que tam mais chances de sair vivo dentre os três? André T. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] como fazer?
Observe que K^2+K pode ser escrito como K*(K+1). Espero ter ajudado Will - Original Message - From: "elton francisco ferreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 24, 2004 7:56 PM Subject: [obm-l] como fazer? Se K é um numero inteiro, K^2 + K é necessariamente um: a) multiplo de 2. b) mutiplo de 3. c) produto de dois inteiros impares. d) produto de dois inteiros primos. __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
o legal é que ela já te permite emendar na demonstraçao de que é possível encontrar primos "consecutivos" arbitrariamente distantes :-) Will - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, January 21, 2004 10:23 AM Subject: [obm-l] Uma belissima demonstracao Ola Pessoal ! Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado. Vou repassa-la pra voces : Uma maneira de mostrar que ha infinitos primos e provar que, dado um natural N qualquer, existe um numero primo P maior que N, isto e, P > N. Prova : Para um natural N qualquer, seja M = 1*2*3*...*N + 1 = N ! + 1. Se M for primo entao facamos P=M. Logo : P e primo e P > N. Se M nao for primo entao existe um primo P que divide M. Esse primo P e necessariamente maior que N, pois nenhum numero Q =< N divide M=N! + 1. Logo : P e primo e P > N Assim, seja M = N ! + 1 primo ou nao, existe P primo tal que P > N. Portanto, existem infinitos numeros primos. Belissima, nao ? Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1123,210104 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] HawKing tambem percebeu ...
Fiz uma busca no google que achei referencia ao texto em http://noticias.uol.com.br/inovacao/ultimas/ult762u1204.jhtm Will - Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, January 15, 2004 6:05 PM Subject: Re: [obm-l] HawKing tambem percebeu ... On Thu, Jan 15, 2004 at 06:31:25PM +, Paulo Santa Rita wrote: > Vejam abaixo como o Stephen Hawking percebe as coisas ... Eu não entendi bem de onde saiu o texto. É de autoria do próprio Paulo Santa Rita? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades
lembre que os naturais estão contidos nos inteiros e nem por isso eles tem cardinalidades diferentes :-) Will - Original Message - From: "André Martin Timpanaro" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 10, 2004 11:51 AM Subject: [obm-l] Enrolado com cardinalidades Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo: -Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos de C é sempre maior que a cardinalidade de C. PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0. Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P. Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M. Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C, logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está associado a nenhum elemento de C. Absurdo! Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de P é maior que a de C. CQD. -A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de que M pertencesse a P antes de começar a construir M? Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor: "The Art of Infinity" André T. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão de nº complexos
a= -b também. (1-i)^4 = -4 , por exemplo. Will - Original Message - From: Ariel de Silvio To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, December 20, 2003 4:28 PM Subject: Re: [obm-l] questão de nº complexos essa questao ja foi resolvida... eu mandei ela ha alguns meses... ((a+bi)^2)^2 (a^2-b^2+2abi)^2 a condicao eh: a=b []s Ariel *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 12:01 de 20/12/2003 [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma questão do livro fundamentos.qual a condição para que o número (a+bi)^4, a e b reais, seja estritamente negativo ?alguem por favor mande a resolução.obrigado .
Re: [obm-l] como provar isso?
O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro de Teoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria. Prove que N^5 - N é divisível por 30 :-)) Will - Original Message - From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, December 19, 2003 12:52 AM Subject: Re: [obm-l] como provar isso? Robson Jr wrote: > Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam > sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). Isso em base 10 né ? Se você não souber o pequeno teorema de Fermat, então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você souber, então fica bem mais fácil! k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo: k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5) A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar, então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares. Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p) sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então: k^(5-1)=1 (mod 5) k^4=1 (mod 5) e portanto: k^5=k (mod 5) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte
Esse problema é conhecido como "problema de Josephus" e está destrinchado em detalhes no excelente "Concrete Mathematics", do Knuth (e Patashnik, creio eu). A solução enxuta envolve converter n para binário e "girar" um bit, por exemplo. 99 prisioneiros = 64+32+2+1 -> 1100011 (em binário) "girando" o bit da esquerda, temos 1000111, que é 64+4+2+1 = 71 Logo basta estar na posição 71 :-) Em particular quando o número é da forma 2^n é trivial ver que vence o primeiro a dar uma espadada. Lógico que não estou explicando muito em apenas mostrar o resultado, mas está tudo explicado no Concrete. (Eu mesmo não sei o argumento agora, de cabeça) Will - Original Message - From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, December 11, 2003 11:11 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte É verdade... só que eu sem querer propus errado. Desculpe ehehehhe Alem do que creio que você se enganou, no caso seria 1/100 porque o príncipe é o 100º participante do circulo. Na hora que eu escrevi estava com um pouco de pressa e acabei me enganando... Corrigindo a proposição da probabilidade: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos "k" prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: quinta-feira, 11 de dezembro de 2003 17:33 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Círculo da Morte hmmm... a c) pareece facil de responder...tao facil ki deve estar errado... vamos supor ki o principe entra na posicao x... essa posicao so sobrevive se o prisioneiro que receber a espada estive em uma outra posicao y (relativa a x)... portanto as chance sao 1/99 de sobreviver, ja que tem 99 prisioneiros e so uma resultaria em sucesso para o principe >From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Círculo da Morte >Date: Thu, 11 Dec 2003 16:53:09 -0300 > >Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou >contar a historia como me foi proposta... > >Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 >dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não >queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de >casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que >aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de >muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei >disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o >Rei lhe explicou qual era a situação: > >"Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em >forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá >adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a >espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o >próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. >Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim >sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o >último terá então a mão da minha filha." > >a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua >esquerda o nº 2, e assim por diante, Em que posição do círculo o >príncipe deverá ficar para permanecer vivo? >b) E se o círculo tivesse "k" pessoas? Qual o que permaneceria >vivo? > >Essa aqui não faz parte da questão mas eu fiquei curioso e resolvi >propô-la: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos 99 >prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a >probabilidade dele ficar vivo no final? > >Eu resolvi o a) e o b) na época que me foram propostos, mas obtive a >fórmula geral por tentativas e queria uma solução mais "higiênica". A >outra pergunta que eu propus não soube como resolver. > >Abraços, Douglas _ Take advantage of our best MSN Dial-up offer of the year - six months @$9.95/month. Sign up now! http://join.msn.com/?page=dept/dialup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DOS BODES!
uma detalhe simples que diferencia um jogo do outro e talvez te convença é que no original você sempre sobrevive à primeira rodada. Nessa variação você corre risco já na primeira rodada, tanto é que um dos participante é limado logo de cara. No meu entender é justamente essa "isenção" na primeira rodada que muda tudo. Se tá difícil de engolir o que o Rogério disse, talvez ajude dourar a pílula com esses fatos. Will - Original Message - From: "Rogerio Ponce" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, December 11, 2003 7:34 AM Subject: Re: [obm-l] PROBLEMA DOS BODES! Olá "qwerty" , como falei antes, neste caso não adianta trocar, pois as chances são as mesmas : 50% para cada um. Isso é completamente diferente se uma das pessoas é você , e o programa faz questão de não te mostrar a porta com o carro. Mas se as portas são abertas aleatoriamente, e sobram 2 pessoas ( vc poderia ser uma delas ) , então tanto faz mudar de porta , que a chance é de 50% para cada um. Satisfeito ? acho que não ...:-) Mas esta é a solução pela simetria , puramente lógica , e imediata. Agora façamos o trabalho braçal ( mas convincente , na maioria das vezes ) : A chance de vc ter um bode é 2/3 , mas são duas portas com bode , portanto vc tem a chance de 50% de não ter sua porta aberta . Portanto a sua chance de ter um bode , e continuar no jogo é de 2/3 * 50% = 1/3 . Também sabemos que sua chance de ter um carro é de 1/3 . Portanto, quando vc entra no jogo , a chance de vc continuar no jogo , tendo escolhido um bode, é igual a chance de você continuar no jogo, tendo escolhido um carro , ou seja , sua chance de ganhar o carro , permanecendo na mesma porta , caso vá até o final do programa , é de (1/3) / (1/3 + 1/3) = 50% . Exemplificando : de cada 99 vezes que vc vai ao programa , em 33 delas vc permanece porque tem o carro , e em outras 33 vc permanece porque tem o bode atrás da porta fechada . Portanto , das 66 vezes em que vc permaneceu no jogo , em 33 delas vc estava com o carro , e na outra metade estava com o bode. Portanto , se nunca trocar de porta , por exemplo , ganhará o carro na metade das vezes em que chegou ao final do jogo . Abraços, Rogério. -- >From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> > >Nao acredito ki o problema morreu tao cedo dessa vez... sem querer criar >confusao vou apenas >discordar da seguinte passagem: > >"tem que ser igual porque o que vale para um, também vale para o outro"... > > >Ki tal um novo problema... 'O prisioneiro dos bodes' ou 'Os bodes do >prisioneiro' como vc preferir. > >A emissora resolve reeditar o progama de calouros, so que dessa vez existe >a garantia que sempre alguem ganha... o set-up e o mesmo dos bodes, 3 >pessoas da platea sao chamadas...cada uma escolhe uma porta... o host abre >uma porta com bode... a pessoa que escolheu aquela porta perdeu...mas e as >outras duas pessoas devem trocar de porta? > >segundo o comentario acima nao, mas eu nao vejo nada que invalide o >raciocinio do problema original do bode... e se fossem 1000 portas e mil >pessoas... quando sobram so duas as pessoas nao iam querer trocar? > >- Auggy > > > >- Original Message - >From: "Rogerio Ponce" <[EMAIL PROTECTED]> > >>Olá Jorge Luis, >> >>o problema dos prisioneiros é ótimo quando a gente já conhece o problema >>dos bodes , pois somos tentados a pensar na mesma estratégia . >> >>A solução é simplíssima ( o Nicolau nem deu tempo do pessoal ler) devido à >>simetria existente. Esta é a solução de que mais gosto. Mas é puramente >>lógica , e os amigos acabam se sentindo logrados : afinal , vc não fez >>nenhuma conta - "tem que ser igual porque o que vale para um, também vale >>para o outro"... >>A outra solução, em que você "mostra tudo o que está em jogo" , é a que >>mais convence aqueles (influenciados pelos bodes) que julgam estar diante >>de um paradoxo . Também gosto dela . >> >>Ainda na análise combinatória, o problema que achei mais atraente até hoje >>é o do "Sorteio de amigo oculto" , em que se pergunta >>"Qual a probabilidade de haver alguma troca mútua de presentes em um >>sorteio válido de amigo oculto , com N pessoas ? " , >>onde sorteio válido é aquele em que ninguém sorteia a si mesmo. >> >>Acho que justamente esse daí motivou dois dos problemas que o Cáudio nos >>propôs... >> >> >>Abraços e ótimo fim de semana pra todos! >>Rogério. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com =
Re: [obm-l] Analise em R
escrevi errado. 1/x pra x racional -1/x pra x irracional 0 pra x=0 O "menor que zero" era de outra coisa que eu estava pensando, desculpem. Will - Original Message ----- From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, December 06, 2003 1:26 PM Subject: Re: [obm-l] Analise em R 1/x pra x < 0 racional -1/x pra x <0 irracional 0 pra x=0 Me parece que essa função é uma bijeção descontínua em todos os pontos. (zero inclusive) Will - Original Message - From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, December 06, 2003 11:59 AM Subject: Re: [obm-l] Analise em R > Esta funcao eh continua em x =0...Para todo eps>0, basta fazermos d=eps > e, > para todo x tal que |x| < delta, temos |f(x) - f(0)| = |f(x)|< eps. Para > x<>0 a funcao eh de fato descontinua. É verdade, mas a do Cláudio corrige isso. > Mas um classico exemplo eh a famosa funcao de Dirichlet: f(x) =1 se x eh > racional e f(x) = 0 se x for irracional. Como entre dois reais distintos > hah > uma infinidade de racionais e de irracionais, torna-se impossivel > satisfazer aa condicao eps- delta de continuidade qualquer que seja o > real > x. Tive esta idéia mas não serve porque não é bijeção. > Artur -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise em R
1/x pra x < 0 racional -1/x pra x <0 irracional 0 pra x=0 Me parece que essa função é uma bijeção descontínua em todos os pontos. (zero inclusive) Will - Original Message - From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, December 06, 2003 11:59 AM Subject: Re: [obm-l] Analise em R > Esta funcao eh continua em x =0...Para todo eps>0, basta fazermos d=eps > e, > para todo x tal que |x| < delta, temos |f(x) - f(0)| = |f(x)|< eps. Para > x<>0 a funcao eh de fato descontinua. É verdade, mas a do Cláudio corrige isso. > Mas um classico exemplo eh a famosa funcao de Dirichlet: f(x) =1 se x eh > racional e f(x) = 0 se x for irracional. Como entre dois reais distintos > hah > uma infinidade de racionais e de irracionais, torna-se impossivel > satisfazer aa condicao eps- delta de continuidade qualquer que seja o > real > x. Tive esta idéia mas não serve porque não é bijeção. > Artur -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] [u] - Espaços Top.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%f6f_space http://en.wikipedia.org/wiki/Separable_(topology) Will - Original Message - From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, November 13, 2003 8:48 PM Subject: [obm-l] [u] - Espaços Top. Olá pessoal! Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma topologia, isto é: 1) vazio e X estão em T 2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T 3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T. Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as unições possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo elemento de T tem interseção não-vazia com D. Minha pergunta. Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B enumerável? Abração a todos! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ?
desculpem o flood, acabo de ver que falei bobagem. o certo seria z^(2k+1) = -1 mod(z+1) z^(2k+1) = 1 mod(z-1) Will - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, November 03, 2003 12:17 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ? Putz... se eu chamo (x+y) de z o problema fica mais ao meu alcance... z^(2k+1) = -1 mod(2k +2) z^(2k+1) = 1 mod(2k) será que agora eu consigo resolver ? Will - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, November 02, 2003 11:43 PM Subject: [obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ? Estava brincando com o Maple e fatorando uns binomiais, quando percebi essa aparente propriedade. Na fatoração de 1 + (x + y)^n , com n ímpar, parece que sempre aparece o termo (x + y + 1) ... Testei com uma certa quantidade de valores de n, mas isso (claro) não é prova de nada. Testei também (desta vez apenas para n=3, n=5, n=33 e n=45) fatorar -1 + (x + y)^n e o termo que aparece é (x + y - 1), o que já não me surpreende em nada. :P Alguem tem algo pra me dizer sobre esse fato ? Qual seria o caminho para provar isso ? Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ?
Putz... se eu chamo (x+y) de z o problema fica mais ao meu alcance... z^(2k+1) = -1 mod(2k +2) z^(2k+1) = 1 mod(2k) será que agora eu consigo resolver ? Will - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, November 02, 2003 11:43 PM Subject: [obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ? Estava brincando com o Maple e fatorando uns binomiais, quando percebi essa aparente propriedade. Na fatoração de 1 + (x + y)^n , com n ímpar, parece que sempre aparece o termo (x + y + 1) ... Testei com uma certa quantidade de valores de n, mas isso (claro) não é prova de nada. Testei também (desta vez apenas para n=3, n=5, n=33 e n=45) fatorar -1 + (x + y)^n e o termo que aparece é (x + y - 1), o que já não me surpreende em nada. :P Alguem tem algo pra me dizer sobre esse fato ? Qual seria o caminho para provar isso ? Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] (x + y + 1) sempre dividide 1 + (x+y)^n se n é impar ?
Estava brincando com o Maple e fatorando uns binomiais, quando percebi essa aparente propriedade. Na fatoração de 1 + (x + y)^n , com n ímpar, parece que sempre aparece o termo (x + y + 1) ... Testei com uma certa quantidade de valores de n, mas isso (claro) não é prova de nada. Testei também (desta vez apenas para n=3, n=5, n=33 e n=45) fatorar -1 + (x + y)^n e o termo que aparece é (x + y - 1), o que já não me surpreende em nada. :P Alguem tem algo pra me dizer sobre esse fato ? Qual seria o caminho para provar isso ? Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!!
Bom... vamos observar uma coisa de cada vez, primeiro o d, depois o h, ok ? se temos uma equacao do tipo : (a/d)x^2 + bx + dc vale que o delta é b^2 - 4ac , certo ? as raízes, por sua vez, vão ser ( -b +- raiz(delta) ) / 2(a/d) mas dividir por (a/d) é o mesmo que multiplicar por (d/a). daí segue que as raizes vão ser d(-b +- raiz(delta)) / 2a acabamos de aprender um truque para multiplicar as raízes por d !! :-) Agora observe a equação ax^2 + hbx + h^2c delta = (hb)^2 - 4ah^2c = h^2( b^2 - 4ac) raizes = ( -hb +- raiz( h^2(b^2 - 4ac) ) ) / 2a ou seja raizes = h ( -b +- raiz(b^2 - 4ac) ) / 2a Aprendemos OUTRO truque para multiplicar as raízes, desta vez por h !!! Espero ter sido mais claro ! Abraços Will - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 31, 2003 6:54 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!! O trinômio ax^2+bx+c tem duas raízes reais e distintas, ""d" e "h" são dois números reais e não nulos. O que se pode afirmar sobre as raízes do trinômio (a/d)x^2+(hb)x+dh^2c? Will... Não consegui acompanhar seu raciocínio. Tem como você me explicar novamente... ou mais detalhado. Se outra pessoa também poder dá uma ajudinha fico agradecido. Obrigado.Will <[EMAIL PROTECTED]> wrote: ok, vamos lá Quando colocamos 2(a/d) no quociente, o termo d "sobe" pro numerador. O termo h^2 do delta sai da raiz, que fica h*(raiz de delta A) Como a raiz é [ -(hb) +- h*(raiz de delta A) ]/ 2(a/d) dá pra manipular um tantinho e temos [dh ( -b +- (raiz de delta A)]/2a Acho que nós dois menosprezamos o problema e paramos antes, mas ainda assim dá pra chegar lá né :-)) Abraço Will - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 30, 2003 10:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!! Will... Eu também presumi o mesmo que você... mas no final do livro a resposta é: Conclui se que as raízes são as mesmas da ax^2+bx+c, só que multiplicadas por "dh". Não conseguir chegar nisso. E as outras duas questões eu não consigo fazer!!! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!!
ok, vamos lá Quando colocamos 2(a/d) no quociente, o termo d "sobe" pro numerador. O termo h^2 do delta sai da raiz, que fica h*(raiz de delta A) Como a raiz é [ -(hb) +- h*(raiz de delta A) ]/ 2(a/d) dá pra manipular um tantinho e temos [dh ( -b +- (raiz de delta A)]/2a Acho que nós dois menosprezamos o problema e paramos antes, mas ainda assim dá pra chegar lá né :-)) Abraço Will - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 30, 2003 10:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!! Will... Eu também presumi o mesmo que você... mas no final do livro a resposta é: Conclui se que as raízes são as mesmas da ax^2+bx+c, só que multiplicadas por "dh". Não conseguir chegar nisso. E as outras duas questões eu não consigo fazer!!!
Re: [obm-l] Ajuda Urgente!!!
Observe que o delta de primeira é estritamente positivo ( b^2 - 4ac > 0 ) Calcule o delta da segunda. Observe que o delta da segunda é o delta da primeira vezes H^2 Conclua que o delta da segunda também é positivo. Abraço Will - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 30, 2003 5:58 AM Subject: [obm-l] Ajuda Urgente!!! Bom pessoal, estou estudando a coleção do IEZZI. E encontrei, alguns exercícios que estou com dificuldades. São esses: O trinômio ax^2+bx+c tem duas raízes reais e distintas, ""d" e "h" são dois números reais e não nulos. O que se pode afirmar sobre as raízes do trinômio (a/d)x^2+(hb)x+dh^2c? Mostre que na equação do segundo grau ax^2+bx+c=0, de raízes x1 e x2, temos para a soma S das raízes S=x1+x2=-b/a e para o produto P=x1.x2=c/a. --- As raízes da equação 2x^2 - 2mx + 3=0 são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de m. Se alguém poder estar me ajudando com tais exercícios eu ficaria agradecido. Desde já agradeço pelo vossa atenção. Grato, Carlos Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Re: [obm-l] Nºs Complexos (Mr. Crowley)
Mr Crowley, se você é o responsável por um website que se propoe a tirar dúvidas de vestibulandos, era de se esperar que você (ou alguem de sua equipe) fosse capaz de lidar com os problemas de matematica. Puxa vida, já faz tempo que você só faz enviar questões pra cá, pedindo para que os outros resolvam. Me diz uma coisa, vc de fato tenta resolve-las antes de pedir que alguma boa alma da lista as resolva ? As pessoas aqui são incrivelmente prestativas, mas as vezes me dá a impressão de que alguns se aproveitam dessa boa índole para, em outras praias, fazer papel de prestativo. Em todo caso, lá vai o teu problema : Escreva os complexos na forma a + bi e c +di , onde a,b,c,d são Reais e i é a "raiz de -1" Usando a sua notação (com asteriscos) *(a + bi + c + di) = *( (a+c) + (b+d)i) = (a+c) - (b+d)i Por outro lado... *(a + bi) + *(c + di) = (a - bi) + (c - di) = (a+c) - (b+d)i Saudações Will - Original Message - From: "paraisodovestibulando" <[EMAIL PROTECTED]> To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, October 23, 2003 2:28 AM Subject: [obm-l] Nºs Complexos (Mr. Crowley) Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Prove que *(Z[1] + Z[2]) = *Z[1] + *Z[2], onde Z[1] e Z [2] E C. obs: *(Z[1] + Z[2]) => le-se conjugado de Z[1] mais Z[2] *Z[1] + *Z[2] => le-se conjugado de Z[1] mais conjugado de Z[2] Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
Os lados de um triangulo são expressos por X+10, 2X+4 e 20-2X. Sabendo-se que x é um número inteiro, conclui-se que a soma de todos os valores possiveis de x é: Bom, o lado 20-2X já nos diz que X deve ser algum inteiro estritamente menor que 10 já que não queremos brincadeira com lados negativos ou nulos Já o lado 2X+4 nos diz que X deve ser estritamente maior que -2 pelos mesmos motivos. Como o problema tem um intervalo tão pequeno (inteiros entre -1e 9) bastaria escrever tudo e checar os que podem pertencer a um triangulo... X + 102X+420-2X 9 2 22 104 20 116 18 128 16 1310 14 141212 151410 16168 17186 18204 19222 Bom, os triangulos que estão ok são os em que X é igual a 2,3,4,5,6,7,8 , cuja soma é 35. Outra alternativa (mais higienica) é escrever as inequações que os valores devem respeitar, do tipo |A+B| > C > |A-B| (se não me engano é isso). Mas como o intervalo de resultados possíveis é pequeno, prefiro escrever tudo... Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da (segunda fase) obm-u 2002
Ô Domingos, são dois dias de prova. Se é pra se concentrar em um problema apenas, nem precisa aparecer no dia seguinte :PP Brincadeira. Eu acho que, se for algo relevante, vale a pena escrever mesmo de forma incompleta. A banca julga o seu desenvolvimento e a sua abordagem ao problema, não só o seu resultado. A julgar pela dificuldade das edicoes anteriores, é importante dedicar tempo aos problemas que vc se julga capaz de fazer. Mas é absurdo também demorar menos de 20 minutos para desistir de um problema aparentemente incompreensível. Isso tudo, claro, é só a minha opinião. Abraço Will PS: Também passei, fiquei contente ! - Original Message - From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, October 08, 2003 2:58 PM Subject: [obm-l] Problema da (segunda fase) obm-u 2002 Olá! Estava vendo os problemas do ano passado (segunda fase) pra treinar pra segunda fase deste ano (eu passei!!!) e peguei pra resolver o problema 2, de matrizes. Acho que consegui resolver uma generalização do problema... gostaria que o povo da lista desse uma olhada: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/obm-u-p2.pdf A propósito, qual seria a estratégia para a segunda fase, concentrar esforços num único problema? (se resolver um inteiro já é algo notável?) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] de quantas maneiras pode-se ler a palavra?
Seguinte: O seu alfabeto só tem 6 letras. 2 tem apenas um caractere 4 tem dois caracteres... A mensagem enviada tem, portanto, qualquer coisa entre 6 e 12 letras. Vamos chamar de U as letras de apenas um caractere Vamos chamar de D as letras com dois caracteres. A mensagem tem 12 caracteres e pode, portanto, ser escrita das maneiras que eu descrevi na mensagem anterior. Vou dar alguns exemplos: 1 palavra com 12 letras de 1 caractere -- essa é a única palavra possível. Não importa aqui o fato de que existem dois tipos de letras com dois caracteres, porque a mensagem que recebemos é que vai determinar quem são os 12 caracteres. Cabe a nós dispor os espaços, formando as letras. 11 palavras com 10 letras de 1 caractere e 1 letra de 2 caracteres DUU UDU UUD UUUDUUU DUU UDU UUD UUUDUUU DUU UDU UUD Vou pular as maneiras com muitas variações, mas são combinações de U´s e D´s. (Anagramas) Só para explicar mastigado, mais uma 21 palavras com 2 letras de 1 caractere e 5 letras de 2 caracteres UUD UDU UDDUDDD UDDDUDD UUD UDU DUU DUDUDDD DUDDUDD DUDDDUD DUU DDUUDDD DDUDUDD DDUDDUD DDUDDDU DDDUUDD DDDUDUD DDDUDDU UUD UDU DUU Esse número (21) pode ser obtido tanto somando a PA 1,2,3,4,5,6 como fazendo a conta ( 7! )/( 5!x2! ) Agora, se a sua confusão é com a minha hipotese de que os 12 caracteres da mensagem já me são dados, tudo bem. Se vc acha que no enunciado é "para todas as mensagens possíveis de 12 caracteres" aí vc tem que multiplicar o resultado por 2^12, que é o número de possíveis mensagens de 12 caracteres usando apenas dois símbolos. Abraço e espero ter ajudado. Will - Original Message - From: guilherme S. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 07, 2003 8:49 AM Subject: Re: [obm-l] de quantas maneiras pode-se ler a palavra? Valeu Will, mas a sua soluçao nao ficou clara pra mim...Will <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 1 palavra com 12 letras de 1 caractere (pq nao 2 paavras)11 palavras com 10 letras de 1 caractere e 1 letra de 2 caracteres (pq 11 palvras?)45 palavras com 8 letras de 1 caractere e 2 letras de 2 caracteres63 palavras com 6 letras de 1 caractere e 3 letras de 2 caracteres70 palavras com 4 letras de 1 caractere e 4 letras de 2 caracteres21 palavras com 2 letras de 1 caractere e 5 letras de 2 caracteres1 palavra com 6 letras de dois caracteresTotal: 212 palavras distintas (ou maneiras de se ler o mesmo string)é sempre bom conferir, porque eu tenho um talento distinto para errar nascontas.AbraçoWill- Original Message -From: "guilherme S." <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Suunday, October 05, 2003 12:33 AMSubject: [obm-l] de quantas maneiras pode-se ler a palavra?beleza pessoal, sera que podem me ajudar nessaquestão?:certo alfabeto e´ composto por seis letras , que aoserem transmitidas por tele´grafo se codificam daseguinte maneira:. ; - ; .. ; -- ;.- ; -.ao transmitir uma palavra nao deixaram os intervalosque separam as letras, resultando assim uma cadeiaccontinua de pontos e traços com 12 simbolos.De quantasmaneiras se podera ler a palavra transmitida.___Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vaidar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muitomais! www.cade.com.br/antizona=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] de quantas maneiras pode-se ler a palavra?
1 palavra com 12 letras de 1 caractere 11 palavras com 10 letras de 1 caractere e 1 letra de 2 caracteres 45 palavras com 8 letras de 1 caractere e 2 letras de 2 caracteres 63 palavras com 6 letras de 1 caractere e 3 letras de 2 caracteres 70 palavras com 4 letras de 1 caractere e 4 letras de 2 caracteres 21 palavras com 2 letras de 1 caractere e 5 letras de 2 caracteres 1 palavra com 6 letras de dois caracteres Total: 212 palavras distintas (ou maneiras de se ler o mesmo string) é sempre bom conferir, porque eu tenho um talento distinto para errar nas contas. Abraço Will - Original Message - From: "guilherme S." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, October 05, 2003 12:33 AM Subject: [obm-l] de quantas maneiras pode-se ler a palavra? beleza pessoal, sera que podem me ajudar nessa questão?: certo alfabeto e´ composto por seis letras , que ao serem transmitidas por tele´grafo se codificam da seguinte maneira: . ; - ; .. ; -- ;.- ; -. ao transmitir uma palavra nao deixaram os intervalos que separam as letras, resultando assim uma cadeia continua de pontos e traços com 12 simbolos.De quantas maneiras se podera ler a palavra transmitida. ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Ô Claudio, valeu você pelo retorno :-)) Foi mal os dias de silêncio, estive fora no fim de semana. Mas vc entendeu o que eu quis dizer com "mal definida" :-) Abraço Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 03, 2003 10:40 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Oi, Will: Tambem notei esse problema. O que a sua construcao faz eh o seguinte: Dado um intervalo aberto qualquer (a,b) contido em [0,1], eh possivel iterar o processo um numero finito de vezes ateh que se obtenha um intervalo de comprimento 1/3^n, contido em (a,b) e tal que ele possua uma infinidade enumeravel de pontos de A e de B. Ou seja, resolveria o problema se o enunciado fosse: "Dado um intervalo aberto I - arbitrario mas de comprimento >= d, para algum d positivo e FIXO, exibir uma particao de R = A U B tal que A inter I e B inter I sejam nao-enumeraveis." Infelizmente, isso nao eh a mesma coisa que exibir uma particao "pronta" de [0,1] = A U B tal que A e B tenham interseccao nao-enumeravel com todo e qualquer sub-intervalo de [0,1]. O Gugu mostrou uma, mas ela usa alguns resultados que eu nao domino muito. De qualquer jeito, valeu a tentativa! Acho que aprendi algo no processo. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 08:34, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Acho que minha idéia está meio estranha... > > Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal > de que a minha contrução está mal definida... > > Will > > - Original Message - > From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM > Subject: Re: [obm-l] Particao de R > > > Pensei na seguinte construção... > > Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. > > Divida-o em três pedaços. > Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. > > Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um > pouco. > Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, > pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo > Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. > > Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso > de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) > > Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações > pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. > > - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... > > Will > > > - Original Message - > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM > Subject: [obm-l] Particao de R > > > Oi, pessoal: > > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter > I sao nao-enumeraveis? > > Um abraco, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Acho que minha idéia está meio estranha... Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal de que a minha contrução está mal definida... Will - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Artur,
Espero não estar falando bobagem, mas me parece que
A é composto só de números algébricos e, portanto, enumerável...
Will
- Original Message -
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, October 02, 2003 10:59 PM
Subject: RE: [obm-l] Particao de R
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
> To: Lista OBM
> Subject: [obm-l] Particao de R
>
> Oi, pessoal:
>
> Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
> conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
> inter
> I sao nao-enumeraveis?
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação
Nossa ! Escrevi uma bobagem enorme ! --- a^2 - 4a >= 0 O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4 -- Esse intervalo é justamente quando a^2 - 4a =< 0 !!! Bom, mas deixa pra lá. - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, October 01, 2003 12:23 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação pensei também na seguinte solução. Vamos chamar ambos os termos de "a". XY = X + Y = a Então a equação de segundo grau x^2 -ax +a tem raízes reais, com soma e produto iguais. Fazendo (delta)>=0 , temos a^2 - 4a >= 0 O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4 Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4. Descartamos a=1 por razões óbvias... chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as duas respostas que já temos. Will Antes tarde do que nunca... - Original Message - From: "Carlos" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM Subject: [obm-l] Equação Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas. Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo: XY = X + Y Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação. Teria como ter uma saída algébrica? Agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
pensei também na seguinte solução. Vamos chamar ambos os termos de "a". XY = X + Y = a Então a equação de segundo grau x^2 -ax +a tem raízes reais, com soma e produto iguais. Fazendo (delta)>=0 , temos a^2 - 4a >= 0 O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4 Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4. Descartamos a=1 por razões óbvias... chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as duas respostas que já temos. Will Antes tarde do que nunca... - Original Message - From: "Carlos" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM Subject: [obm-l] Equação Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas. Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo: XY = X + Y Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação. Teria como ter uma saída algébrica? Agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Meus chutes... (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é racional e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem. (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto enumerável denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário que, dado um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo [x,infinito] no subconjunto da forma descrita acima. Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude resistir :-) Aguardo as pedradas Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM Subject: [obm-l] Valores de aderencia Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k)
céus ! acabo de chegar em casa e ainda vou levar um tempo pra digerir todos esses fatos ! Valeu pelo feedback :-) Abraços Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, September 18, 2003 1:31 AM Subject: [obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k) Oi, Will: Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns: 1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a: [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [x] = maior inteiro <= x. 2) Binom(n,k) eh impar <==> as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo "1" nas mesmas posicoes <==> NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k) one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m. 3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0<=k<=n) <==> n = 2^m - 1 para algum inteiro positivo m. 4) Binom(n,k) eh par para todo k (1<=k<=n-1) <==> n = 2^m para algum inteiro positivo m. 5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n. 6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0<=k<=n) que sao impares eh igual a 2^NURB(n). Um abraco, Claudio. on 17.09.03 23:21, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar > quantos "dois" aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos. > > Encontrei a seguinte sequência: > > 1 (2 contém exatamente um 2) > 2 (4 contém dois 2...) > 1 > 3 (8 tem 3, deu pra entender né) > 1 > 2 > 1 > 4 > 1 > 2 > 1 > 3 > 1 > 2 > 1 > 5 > (...) > > Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi > em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em > posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !! > Ex: > Somando até 4: > 1+2 = 3 > > Somando até 8: > 1+2+1+3 = 7 > > Somando até 32: > 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 > > Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado, > já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de > 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em > binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma > (....)base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo > 2^n -1 !! > > Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas > achei válido mandar pra lista assim mesmo :-)) > > Saudações > Will > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Fatorial <> Quadrado
Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar quantos "dois" aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos. Encontrei a seguinte sequência: 1 (2 contém exatamente um 2) 2 (4 contém dois 2...) 1 3 (8 tem 3, deu pra entender né) 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 (...) Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !! Ex: Somando até 4: 1+2 = 3 Somando até 8: 1+2+1+3 = 7 Somando até 32: 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado, já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma ()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo 2^n -1 !! Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas achei válido mandar pra lista assim mesmo :-)) Saudações Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, September 17, 2003 9:24 PM Subject: [obm-l] Re: Fatorial <> Quadrado on 16.09.03 16:46, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Oi, pessoal: > > Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado > perfeito que nao use o postulado de Bertrand? > > Um abraco, > Claudio. O que eu acho estranho eh que a demonstracao do postulado de Bertrand (pelo menos a que eu conheco) baseia-se numa analise dos fatores primos de Binom(2n,n) = (2n)!/n!^2. Assim, seria de se esperar que uma analise dos fatores primos de n! fosse mais simples do que a dos fatores de Binom(2n,n) e, portanto, que existisse uma demonstracao do resultado acima que nao envolvesse o postulado de Bertrand. Eh fato (decorrente do postulado de Bertrand) que se p eh o maior primo <= n, entao n < 2p e, portanto, o expoente de p em n! eh 1, o que impede que n! seja um quadrado perfeito. O problema eh que sem Bertrand eu nao consigo provar que n < 2p, ou seja, que a situacao em que os numeros: p+1, p+2, ..., 2p-1, 2p, ..., n (n >= 2p) sao todos compostos nunca ocorre. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] SOLUÇÃO ALGÉBRICA?
jorge, dê uma olhada nos seguintes links http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html http://mathworld.wolfram.com/MiceProblem.html http://www.mathpages.com/home/kmath492.htm Abraço Will - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, September 08, 2003 9:18 PM Subject: [obm-l] SOLUÇÃO ALGÉBRICA? Companheiros! Gostaria de conhecer uma possível e talvez complicadíssima solução algébrica já que o raciocínio aritmético é bastante simples. OK! Quatro generais belicistas ocupam as quatro cidades localizadas nos vértices de um quadrado. Cada lado desse quadrado mede 20 Km. Devido a uma notável coincidência, os quatro disparam um míssil antimíssil ao mesmo tempo. A dispara contra B, B dispara contra C, C contra D e D contra A. Todos viajam à mesma velocidade constante e possuem sofisticados sensores que lhes permitem apontar permanentemente para o alvo. Depois da perseguição em cadeia, eles terão descrito quatro espirais e se chocarão simultaneamente na cidade E, no centro do quadrado. Que distância cada míssil terá percorrido? Um abraço e até breve! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Como eu faço isso ??
O legal do problema (me parece) é encontrar algumas fórmulas extras mesmo. O número em questão f(4,1984) é astronomico, mas vale pelo menos investigar o resto do problema. Minha abordagem foi mais ou menos assim: Fato: f(1,y) = y+2 Dem: f(1,y) = f(0,f(1, y-1)) = f(1,y-1) + 1 Como f(1,0) = f(0,1) = 2, basta usar indução e ver que se f(1,y-1) = y+1 então f(1,y) = y+2 Fato: f(2,y) = 2y +3 Dem: f(2,y) = f(1,f(2,y-1) ) = f(2,y-1)+2 Como f(2,0) = f(1,1) = 3, basta usar indução e ver que se f(2,y-1) = 2(y-1) + 3 = 2y +1 então f(2,y) = 2y + 3 Fato: f(3,y) = [2^(y+3)] - 3 Dem: f(3,y) = f(2,f(3,y-1) ) = 2[f(3,y-1)] + 3 Como f(3,0) = f(2,1) = 5, basta usar indução e ver que se f(3, y-1) = [2^(y+2)] -3 então f(3,y) = [2^(y+3)] - 3 Fato: f(4,y) = [2^2^2^2^(...)^4] - 3 (onde o 2 aparece y+1 vezes ) Dem: f(4,y) = f(3,f(4,y-1) ) = [2^(f(4,y-1) +3)] - 3 Como f(4,0) = f(3,1) = 13, basta usar indução e ver que se f(4,y-1) = [2^2^2^2^(...)^4] - 3 (onde o 2 aparece y vezes ) então f(4,y) = [2^2^2^2^(...)^4] - 3 (onde o 2 aparece y+1 vezes ) Finalmente f(4,1984) = [2^2^2^2^(...)^4] - 3 (onde o 2 aparece 1985 vezes ) Aguardo correções :-) Abraços Will PS: "basta usar indução e ver que" é o tipo de frase que eu detesto ler... desculpem. - Original Message - From: "yjl" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, September 07, 2003 4:33 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Como eu faço isso ?? > Ae Galerinha.. Alguem poderia ajudar- me a resolver esse probleminha!! > > A funçao f(x;y) satisfaz: > > 1-) f(0;y) = y+ 1 > 2-) f (x+1;0) = f (x,1) > 3- ) f (x+1; y+1) = f (x ; f (x+1;y) para x, y inteiros nao- negativos > > Determine f (4;; 1981) > > > OBRIGADO A função será determinada pela seguinte relação recursiva: f(4;0)=13 f(4;y+1)=2exp[f(4;y)].5 +(2exp[f(4,y)-1].3 Esse número é grande demais! __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Anderson, vc fez tudo certo, so errou aqui ó (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) O certo seria (24R)(3R)=2 72(R^2)=2 R^2 = 2/72 = 1/36 R=1/6 Daí segue o triangulo 1/2-2/3-5/6 , que inclusive eh semelhante ao bom e velho 3-4-5, presença marcante nos problemas de triangulos com lados em PA. Note que, de fato, (1/2)(2/3)(1/2)=1/6 :-) Abraço Will Abraço Will - Original Message - From: "Anderson Sales Pereira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 02, 2003 9:05 AM Subject: [obm-l] P.A. Bom dia a todos, Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area 'e 1/6?" Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO Por Pitagoras temos: (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 x^2 - 4xR = 0 x (x - 4R) = 0 ou x=0 ou x-4R = 0 x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) Da relacao de area temos: 1/6 = x(x-R) / 2 1/6 = (x^2 - Rx)/2 6x^2 - 6Rx = 2 6x (x-R) = 2 (equacao II) Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: 6x (x-R) = 2 6(4R) (4R - R) = 2 (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) Substituindo (III) em (I): X=4R X=4(36) X=144 Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. Agradeco qualquer esclarecimento. Um abraco, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade
Acabo de ver que falei bobagem... o problema não incluia o zero... (saída pela direita!) Will - Original Message - From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, July 18, 2003 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] probabilidade 1) Ha 9 modos de escolher o primeiro algarismo, 9 de escolher o segundo... A resposta eh 9*9*9*9= 6561 2) Seu livro estah errado e voce tambem. Ha 4 modos de escolher o ultimo algarismo (so pode ser 2, 4, 6 ou 8); depois disso ha 8 modos de escolher o primeiro algarismo (nao pode ser igual ao ultimo) e 7 modos de escolher o do meio. A resposta eh 4*8*7 = 224 elton francisco ferreira wrote: >Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9: > >a) quantos numeros naturais de 4 algarismos podem ser >formados? 6561 >b) Quantos numeros naturais pares de 3 algarismos >distintos podem ser escritos? > >Na letra b) o livro diz que é 504 mas eu só consigo >achar como valor 448. Vcs podem ajudar-me? > > >___ >Yahoo! Mail >Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. >http://br.mail.yahoo.com/ >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade
Falando um pouco da letra b) ... Concordo com vocês quanto ao erro na resposta, até porque já é consideravelmente dificil encontrar 504 numeros pares de 3 algarismos, imagine encontrar pares com algarismos distintos... Mas me parece que o calculo do Morgado não contou os números terminados em zero (72 possibilidades) e os que tem o zero no meio (32 possibilidades). Somando tudo dá 304, o que é até parecido com o tal 504 do livro, que deve ser um maldito erro tipográfico. Espero não estar falando nenhuma bobagem, mas é o que me parece a primeira vista. Saudações Will - Original Message - From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, July 18, 2003 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] probabilidade 1) Ha 9 modos de escolher o primeiro algarismo, 9 de escolher o segundo... A resposta eh 9*9*9*9= 6561 2) Seu livro estah errado e voce tambem. Ha 4 modos de escolher o ultimo algarismo (so pode ser 2, 4, 6 ou 8); depois disso ha 8 modos de escolher o primeiro algarismo (nao pode ser igual ao ultimo) e 7 modos de escolher o do meio. A resposta eh 4*8*7 = 224 elton francisco ferreira wrote: >Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9: > >a) quantos numeros naturais de 4 algarismos podem ser >formados? 6561 >b) Quantos numeros naturais pares de 3 algarismos >distintos podem ser escritos? > >Na letra b) o livro diz que é 504 mas eu só consigo >achar como valor 448. Vcs podem ajudar-me? > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Congruência
Fabio, dê uma olhada como eu resolvi as duas primeiras. Veja se você entende o que fiz, da mesma maneira é possível resolver as outras. Se quiser, eu passo a solução completa, abraço. Vou usar o caractere ~ para congruencias, para evitar problemas nos leitores de mail. (1) Verdadeira 2^4 ~ 1 (mod5) --> (2^4)^25 ~ 1 (mod5) 3^4 ~ 1 (mod5) --> (3^4)^25 ~ 1 (mod5) (2) Falsa 2^3 ~1 (mod7) --> (2^3)^33 ~ 1 (mod7) --> (2^99).2 ~ 2 (mod7) 3^6 ~1 (mod7) --> (3^6)^16 ~ 1 (mod7) --> (3^96).3^4 ~ 3^4 ~ 4 (mod7) Will - Original Message - From: Fabio Bernardo To: obm Sent: Wednesday, July 09, 2003 11:17 PM Subject: [obm-l] Congruência Pessoal, não consegui fazes esses. Alguém pode me ajudar? 1) Considere as afirmativas: (1) 21003100(mod5) (2) 21003100(mod7) (3) 21003100(mod13) (4) 21003100(mod211) O número daquelas que são falsas é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Re: [obm-l] logica I
Victor, acho que o coerente é usar (18/19)(95/100)(24/25)(x)=(1296/100) na questão 2. Observe que, depois de molhar, a largura não fica 19 vezes menor, na verdade ela fica (18/19) vezes menor, sacou ? E quanto a questão 3, achei a resposta 500, 200, 200, 50, 20, 20, 5, 2, 2, 1. Resta saber se é a única. Alguém sugere alguma heurística para averiguar ? (além de força bruta) Will - Original Message - From: "Victor Luiz" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, July 09, 2003 10:00 PM Subject: Re: [obm-l] logica I -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 1) Vinte e oito pessoas contrataram um almoco; porem sete delas nao compareceram, e as outras arcaram com mais reais cada uma para pagar a conta. Em quanto importou a despesa? 1/21 - 1/28 = 28/84 - 21/84 = 7/84 = 1/12 1/12 ~= 8,3% Cada um pagou aproximadamente 8,3% a mais. 2) Um tecido, ao ser molhado, encolhe 1/25 de seu comprimento e 1/19 de sua largura. Sabendo-se que a largura desse tecidoeh de 0,95m, pergunta-se: que comprimento se deve tomar para que, depois demolhado, uma peca desse tecido, a area seja de 12,96 m^2 ? Sendo x a largura do tecido: x/25 * 0,95/19 = 12,96 x/25 * 0,05 = 12,96 x/25 = 259,2 x = 6480 3) Admitindo que no Brasil ha notas (cedulas)em dinheiro de: 500, 200, 100,50,20,10, 5, 2 e 1 real, pede-se que com 10 dessas notas obtenha um total de 1000 reais, sem entretanto, usar as notas de10 e de 100 reais. -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1 iD8DBQE/DLqfpBwZ7xrHmVsRAqUdAJsHTM4Qy9zgC3pj7pvJg1KDWV+WzgCdEz1m 8a6MTlHdXZWaCIo63D/00hc= =YVfs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função (ajuda)
Moreira, esses caras são senh e cosh (seno e cosseno hiperbólicos). O caso é que o enunciado de teu problema deveria ser [f(x)]^2 - [g(x)]^2 = 1 O que, alias, é bem tranquilo de provar. Se de fato o teu problema é provar f^2 -g = 1, aí lance mão de um contra exemplo como x=ln2 e pronto. f(ln2) = 5/4 g(ln2) = 3/4 f^2 - g = 13/16 f^2 - g^2 = 1 Espero ter ajudado. Will - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, July 07, 2003 10:22 PM Subject: [obm-l] Função (ajuda) > Olá pessoal, estou com dificuldades em resolver essa questão, estarei sinceramente grato por qualquer esclarecimento. > > Dado F(x) = (e^x + e^-x)/2 e g(x) = (e^x - e^-x)/2, x E R. > Prove que: > [f(x)]^2 - [g(x)] = 1 "qualquer que seja"x E R > > Abraços > Moreira > > _ > Quer ajudar o Brasil e não sabe como? > AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sugestao para solucao
Peraí, o enunciado não diz "Anel com unidade", diz apenas "Anel"... De qualquer forma, o caminho me parece ser mais ou menos este, mas é melhor não usar "uns" e "menos uns" no argumento. Saudações Will (mais tarde me apresento, aliás) - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, July 07, 2003 1:26 AM Subject: Re: [obm-l] Sugestao para solucao Olhem o que eu escrevi no meio da msg -Mensagem original- De: Domingos Jr. <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 6 de Julho de 2003 23:57 Assunto: Re: [obm-l] Sugestao para solucao >1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh >comutativo. >A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + >y. >Desenvolvendo, temos: >x.x + x.y + y.x + y.y = x + y. >x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y. >Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a >xy = -(yx) >Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei? > >que tal: >-(yx) pertence a A, então >-(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx Aqui você não pode fazer isso : [-(yx)]² = (yx)² , pois [-(yx)]² =(-yx)*(-yx) e vc ñ sabe ainda q x e y comutam... o seu argumento abaixo mostra que (-1)^2 = 1 e como -1 está em A, temos que 1=(-1)^2=-1, portanto xy = -yx = (-1)*yx = 1*yx = yx >para ver que (-a)² = a², temos >0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) => a.(-a) = -a² >da mesma forma >0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a => (-a).a = -a² >tb temos: >(a - a)² = 0 >a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0 >a² - a² - a²+ (-a)² = 0 >- a²+ (-a)² = 0 => (-a)² = a² > >acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade... Abraços, Villard >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
