Re: [obm-l] off topic: cursinho preparatorio
Ponto de Ensino Em 20/09/07, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Bom dia, preciso indicar a um amigo o melhor curso preparatório para o > concurso do IME - ITA na cidade do Rio de Janeiro. > Gostaria da opinião dos senhores dessa lista. > Obrigado > Cabri > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE
Já trabalhei lá. Não achei que emitir minha opinião fosse causar tamanha confusão. De qualquer forma, peço desculpas. Em 27/09/07, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Por favor, calma, Tio Cabri, > > Como eu me manifestei contra este tipo de off topic, gostaria de > esclarecer minha posição. > > Veja se você concorda: > > Indicar livros na Lista para alguém que solicita dicas sobre um > determinado tema, me parece perfeitamente adequado; até dizer onde o livro > pode ser encontrado, especialmente se é um clássico difícil de achar. Não > vejo nada de mais. > > Mas acho diferente, por exemplo, como já aconteceu aqui mais de uma vez, > mandarem um email para a lista, "do nada", dizendo que um determinado livro > foi publicado e está à venda em algum lugar. Você não concorda? Haveria, > subliminarmente, uma ação de marketing através da Lista, que não é adequado. > > Assim, penso que da mesma maneira, indicar Colégios, Cursos, etc, por > melhor que seja sua causa (ajudar um amigo, como você disse) gera uma > situação desconfortável na lista, pois muitos e muitos participantes já > cursaram tais instituições, ou as cursam, ou até trabalham nas mesmas. > Assim, mesmo uma pergunta aparentemente banal como a sua, gera uma situação > quase de enquete e não é adequada. > > Veja, você mesmo foi testemunha, recentemente, de um email enviado por > mim, infelizmente inadequado, por ter deixado margem a interpretações > igualmente inadequadas.Como diz meu filho, sempre atento a NetEtiqueta > (acredite, existe isto!) pisei na bola. E pedi desculpas. > > Uma maneira de resolver questões como a que você propôs seria talvez > escrever em off para pessoas da lista com quem você mais se identifica e > fazer sua "enquete" fora da Lista. Eu já fiz isto dezenas de vezes e também > já recebi dezenas de emails por "fora"... > > Finalizo apenas reafirmando que discordância não significa falta de > respeito. Significa apenas, entre pessoas de bem, que somos diferentes e > pensamos diferente. > > Um grande abraço, > Nehab > > > > Tio Cabri st escreveu: > > Tem alguém nessa lista que está de saca... e esse não sou > eu.itamentepertinente; > O uso do off topic não pode ser direcionado a alguém como deseja o Sr > Anselmo. > O uso do off topic é algo fora da lista mas que muitos daqueles que usam a > lista podem responder. > E vou falar outra coisa: vocês estão com o testosterona a mil, perguntei > uma coisa importante para mim e sei que muitos dessa lista podem ajudar. > Mas tem gente que gosta de criticar, acha bonito saca... os outros, vou > fazer o quê? > Quando eu morava no rio em 1970 poderia dizer que o curso impacto era um > bom curso preparatório para ime ita. > Hoje eu desconheço, e por isso perguntei na lista. > Ora qual o problema disso? > Muitos às vezes perguntam um bom livro e cada um dá a sua opinião e não me > lembro de alguém sair em defesa dos autores desses livros citados. > Fala sério, chega desse assunto, vamos voltar para o trabalho e para os > estudos que é o fim dessa lista e àqueles que detestam o off topic > simplesmente é só não ler. > Abraços > Cabri > > - Original Message - > *From:* Anselmo Sousa <[EMAIL PROTECTED]> > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Wednesday, September 26, 2007 10:26 PM > *Subject:* RE: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE > > ACHO QUE ESSE NEGÓCIO DE OFF TOPIC CHEGOU A UM LIMITE... > > PODERÍAMOS PARAR, POR GENTILEZ, COM ESSA PRAGA... > > TODOS SABEMOS E-MAILS UNS DOS OUTROS... > > OFF TOPIC DEVE SER MESMO OFF TOPIC E, POR ISSO MESMO, NÃO DEVE APARECER > AQUI... > > > NÃO AO OF TOPIC!!! > > > > > -- > Date: Wed, 26 Sep 2007 21:39:14 -0300 > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE > > Oi, gente, > > Com TODA franqueza, eu acho que por melhor que sejam as intenções de > atender a algum amigo, este tipo de informação é mais do que OFF TOPIC: é > absolutamente INCONVENIENTE e sem qualquer cabimento. > > Há nesta lista, naturalmente, inúmeros profissionais sérios que trabalham > nestas instituições e, nestas condições, solicitações desta natreza sequer > deveriam ser formuladas. > > Nehab > > > fabio henrique teixeira de souza escreveu: > > Ponto de Ensino > > Em 20/09/07, *Tio Cabri st* <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Bom dia, preciso indicar a um amigo o melhor curso preparatório para o > concurso do IME - ITA na cidade do Rio de Janeiro. > Gostaria da opinião dos senhores dessa lista. > Obrigado > Cabri > > ===
[obm-l] PSSC
Alguém sabe onde posso comprar o PSSC, livro sensacional de física. Um abraço. Fabio
Re: [obm-l] PSSC
Obrigado. Em 18/11/07, João Luís Gomes Guimarães <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Uma alternativa é procurar em sebos, você vai achar uma edição em > português. Um ótimo site para procurar livros usados é um que congrega > centenas de sebos por todo o país: > > www.estantevirtual.com.br > > Espero tê-lo ajudado. Um abraço, > > João Luís > > ----- Original Message - > *From:* fabio henrique teixeira de souza <[EMAIL PROTECTED]> > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Saturday, November 17, 2007 11:11 AM > *Subject:* [obm-l] PSSC > > > Alguém sabe onde posso comprar o PSSC, livro sensacional de física. > > Um abraço. > > Fabio > >
[obm-l] Questão de Probabilidade - CESPE
Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória de A e de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a fizesse para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o retorno. Analise em certo ou errado: A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. 109 A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro jogo é de 20%.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Probabilidade - CESPE
Salhab, agradeço a ajuda. No entanto, acho que vc cometeu um engano. Não podemos calcular a chance de A ser campeão por 2 casos favoráveis em um total de 5, posto que os 5 não são equiprováveis. Estou errado? Abraço. 2009/1/23 Marcelo Salhab Brogliato > Olá Fábio, > dado que A perdeu o primeiro jogo, temos as seguinte possiveis > configuracoes para os demais jogos: > vamos convencionar: 1 = A venceu, 0 = B venceu (ou A perdeu). > 0 (neste caso B é campeao) > 11 (neste caso A é campeao) > 100 (neste caso B é campeao) > 1010 (neste caso B é campeao) > 1011 (neste caso A é campeao) > logo, temos 2/5 = 40% de chance de A ser campeão. > > Outra maneira seria calcular: P(A ser campeao | A perdeu a primeira > partida) = P(A ser campeao e A perder a primeira partida)/P(A perder a > primeira partida) > > P(A perder a primeira partida) = 1/2 > P(A ser campeao e A perder a primeira partida) = 2/10 [basta ver que temos > 2 casos favoraveis em 10, pois temos que considerar os casos em que A ganhou > a primeira partida, que sao analogos aos acima] > > assim: P = (2/10)/(1/2) = 2/5 = 40% > > acho que é isso!! > abraços, > Salhab > > > > > 2009/1/22 fabio henrique teixeira de souza > > Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. >> De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória de A e >> de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito >> oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a fizesse >> para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o >> retorno. >> >> >> >> >> Analise em certo ou errado: >> >> A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os >> >> times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas >> >> seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos >> >> que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma >> >> que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. >> >> 109 >> A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro >> >> jogo é de 20%. >> > >
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ques tão de Probabilidade - CESPE
Ralph, valeu pela moral e pela resposta. 2009/1/23 Ralph Teixeira > Concordo com o Fábio. "Não são equiprováveis" é a pedra no sapato de > 98% dos problemas de probabilidade que dão errado... :) > > Então, usando o raciocínio do Marcelo, temos as seguintes opções (dada > a primeira derrota de A, daqui para a frente): > >> 0 (neste caso B é campeao) com probabilidade 1/2 > >> 11 (neste caso A é campeao) com probabilidade 1/2.1/2=1/4 > >> 100 (neste caso B é campeao) com probabilidade 1/2.1/2.1/2=1/8 > >> 1010 (neste caso B é campeao) com probabilidade 1/2.1/2.1/2.1/2=1/16 > >> 1011 (neste caso A é campeao) com probabilidade 1/2.1/2.1/2.1/2=1/16 > > Note que eu fiz as seguintes hipóteses que o enunciado não deixa > claras, mas que creio serem as mais razoáveis possíveis: > i) A e B têm 50% de chance cada de vencer cada partida (que o próprio > Fábio já havia destacado que não estava explícito no enunciado, e, na > minha opinião, devia) > ii) Partidas distintas são independentes entre si -- ou seja, que não > interessa se A está para ser campeão ou B está desesperado, os times > continuam com 50% de chance cada em cada partida, independentemente da > história passada. Por isso que eu posso usar que p(1011) é o produto > 1/2.1/2.1/2.1/2. > > Então, p(A ser campeão)=p(11)+p(1011)=5/16. Tô com o Fábio (que, > afinal, é da família Teixeira, então **não podia** estar enganado :) > ). > > Abraço, > Ralph > > > 2009/1/23 fabio henrique teixeira de souza : > > Salhab, agradeço a ajuda. No entanto, acho que vc cometeu um engano. > Não > > podemos calcular a chance de A ser campeão por 2 casos favoráveis em um > > total de 5, posto que os 5 não são equiprováveis. Estou errado? > > Abraço. > > > > 2009/1/23 Marcelo Salhab Brogliato > >> > >> Olá Fábio, > >> dado que A perdeu o primeiro jogo, temos as seguinte possiveis > >> configuracoes para os demais jogos: > >> vamos convencionar: 1 = A venceu, 0 = B venceu (ou A perdeu). > >> 0 (neste caso B é campeao) > >> 11 (neste caso A é campeao) > >> 100 (neste caso B é campeao) > >> 1010 (neste caso B é campeao) > >> 1011 (neste caso A é campeao) > >> logo, temos 2/5 = 40% de chance de A ser campeão. > >> > >> Outra maneira seria calcular: P(A ser campeao | A perdeu a primeira > >> partida) = P(A ser campeao e A perder a primeira partida)/P(A perder a > >> primeira partida) > >> > >> P(A perder a primeira partida) = 1/2 > >> P(A ser campeao e A perder a primeira partida) = 2/10 [basta ver que > temos > >> 2 casos favoraveis em 10, pois temos que considerar os casos em que A > ganhou > >> a primeira partida, que sao analogos aos acima] > >> > >> assim: P = (2/10)/(1/2) = 2/5 = 40% > >> > >> acho que é isso!! > >> abraços, > >> Salhab > >> > >> > >> > >> > >> 2009/1/22 fabio henrique teixeira de souza > >>> > >>> Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. > >>> De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória > de A e > >>> de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito > >>> oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a > fizesse > >>> para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o > >>> retorno. > >>> > >>> > >>> > >>> > >>> Analise em certo ou errado: > >>> > >>> A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os > >>> > >>> times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas > >>> > >>> seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos > >>> > >>> que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma > >>> > >>> que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. > >>> > >>> 109 > >>> > >>> A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro > >>> > >>> jogo é de 20%. > > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Dúvida de lógica
Amigos, cá venho eu com mais um pepino. Ontem, um amigo me perguntou: - "2 é primo e 3 é primo" é uma proposição simples ou composta? Prontamente respondi que é composta. A seguir, perguntou: - e a proposição "2 e 3 são números primos"? É simples ou composta. Desta feita, não tive certeza, apenas a convicção de que é uma proposição simples. No entanto, gostaria de sair da convicção para a certeza e, se possível, descobrir alguma referência bibliográfica que embase esta certeza. A importância dessa distinçaõ se dá por conta da negação. Se, de fato, for simples, a negação de "2 e 3 são números primos" será "2 e 3 não são números primos" e não, "2 não é primo ou 3 não é primo". Parece-me que a chave da questão é que o e que une 2 e 3 na expressão "2 e 3 são números primos" não é um conectivo lógico-matemático e sim uma conjunção da língua portuguesa para construir um sujeito composto. Aguardo as opiniões. Um forte abraço. Fabio Henrique TEIXEIRA de Souza (Olha aí, Ralph! Agora só vai em caixa alta.) :)
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ques tão de Probabilidade - CESPE
Valeu. Um abraço. 2009/1/24 Marcelo Salhab Brogliato > Olá Fábio, > eita, realmente não são equiprováveis. Desculpe pela falha.. hehehe > Acho que é só multiplicar as probabilidades dos casos favoráveis e somar: > 11 .. neste caso, temos: 1/2*1/2 = 1/4 > 1011 .. neste caso, temos: 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16 > > logo, P = 1/4 + 1/16 = 5/16 > > espero nao ter errado novamente ;) hehe > mas desta vez bateu com sua resposta... acho que acertamos!! :D > > abraços, > Salhab > > > 2009/1/23 fabio henrique teixeira de souza > > Salhab, agradeço a ajuda. No entanto, acho que vc cometeu um engano. Não >> podemos calcular a chance de A ser campeão por 2 casos favoráveis em um >> total de 5, posto que os 5 não são equiprováveis. Estou errado? >> Abraço. >> >> 2009/1/23 Marcelo Salhab Brogliato >> >> Olá Fábio, >>> dado que A perdeu o primeiro jogo, temos as seguinte possiveis >>> configuracoes para os demais jogos: >>> vamos convencionar: 1 = A venceu, 0 = B venceu (ou A perdeu). >>> 0 (neste caso B é campeao) >>> 11 (neste caso A é campeao) >>> 100 (neste caso B é campeao) >>> 1010 (neste caso B é campeao) >>> 1011 (neste caso A é campeao) >>> logo, temos 2/5 = 40% de chance de A ser campeão. >>> >>> Outra maneira seria calcular: P(A ser campeao | A perdeu a primeira >>> partida) = P(A ser campeao e A perder a primeira partida)/P(A perder a >>> primeira partida) >>> >>> P(A perder a primeira partida) = 1/2 >>> P(A ser campeao e A perder a primeira partida) = 2/10 [basta ver que >>> temos 2 casos favoraveis em 10, pois temos que considerar os casos em que A >>> ganhou a primeira partida, que sao analogos aos acima] >>> >>> assim: P = (2/10)/(1/2) = 2/5 = 40% >>> >>> acho que é isso!! >>> abraços, >>> Salhab >>> >>> >>> >>> >>> 2009/1/22 fabio henrique teixeira de souza >>> >>> Senhores, ao fazer a questão abaixo, encontrei como probabilidade 5/16. >>>> De saída, o problema não deixa claro que as probabilidades de vitória de A >>>> e >>>> de B são iguais. Considerei-as iguais (a 1/2). No entanto, o gabarito >>>> oficial diz que a declaração é CERTA. Gostaria que alguém também a fizesse >>>> para que eu possa ter idéia se estou errando ou acertando. Aguardo o >>>> retorno. >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> Analise em certo ou errado: >>>> >>>> A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os >>>> >>>> times A e B, e o campeão será o time que vencer duas partidas >>>> >>>> seguidas ou um total de três partidas. Considerando que os jogos >>>> >>>> que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma >>>> >>>> que sempre haja um vencedor, julgue os itens que se seguem. >>>> >>>> 109 >>>> A chance de o time A ser campeão tendo perdido o primeiro >>>> >>>> jogo é de 20%. >>>> >>> >>> >> >
[obm-l] Concurso Pré Vestibular CEDERJ
Peço aos amigos que divulguem no Estado do Rio de Janeiro: Concurso para seleção de tutores do Pré Vestibular do CEDERJ. Inscrições on-line até 31/01 para graduados e graduandos não só de matemática mas de todas as disciplinas. Informações em http://www.pvs.cederj.edu.br/professores/ Um abraço e obrigado. Fabio Henrique
[obm-l] FRAÇÕES - conceito
Senhores, 1/(raiz de 2) é uma fração?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] FRAÇÕES - conceito
Ralph, obrigado. Além de aprender com você, ainda me divirto. EMMOSC (em minha modesta opinião sobre convenções): - fração é exatamente o que diz a SMO; - 0 é natural; - futebol com jogadores de madeira é "totó"; - a fruta é "tangerina" Mas não, não vou encarar. Até porque você é maior, mais velho e mais inteligente do que eu. Forte abraço. Fabio Henriqu Em 23 de março de 2011 18:18, Ralph Teixeira escreveu: > Minha resposta é "diplomática" -- depende do que você chamar de > fração. Defina do seu jeito, que seja conveniente para o que você quer > fazer, e deixe claro a todos o que você está fazendo. Depois, seja > coerente. > > (Ou seja, enrolei enrolei e não respondi.) > > Em Minha Modestíssima Opinião, fração é qualquer expressão do tipo a/b > onde a e b são números ou até mesmo outras expressões. Então 1/(raiz > de 2) é uma fração tanto quando 7/1 ou 25/pi ou (x+cos(y))/(z+w^2). Eu > também diria que 3 não é uma fração, mas pode ser escrito como 3/1, > que é uma fração... para mim, 45.78 não é fração, mas PODE SER ESCRITO > como uma fração, 4578/100. > > Mas isso tudo é EMMO... Não, minto, é EMMC (Em Minha Modestíssima > Convenção). Poxa, EMMC, 0 é natural, 0^0=1, aquele futebol com > jogadores de madeira é "pebolim" e aquela fruta é "mixirica" Não > gostou? Vai encarar? :) :) :) :) > > Abraço, > Ralph > > 2011/3/21 fabio henrique teixeira de souza : > > Senhores, 1/(raiz de 2) é uma fração? > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Fwd: Identidade de Euler
-- Mensagem encaminhada -- De: fabio henrique teixeira de souza Data: 28 de abril de 2011 08:52 Assunto: Identidade de Euler Para: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou batendo cabeça e não consigo demonstrar que C(m,0).C(n,p) + C(m,1).C(n,p-1) + C(m,2).C(n,p-2) + ... + C(m,p).C(n,0) = C(m+n,p) Alguém pode me dar uma dica?
[obm-l] Identidade de Euler
Pessoal, estou batendo cabeça e não consigo demonstrar que C(m,0).C(n,p) + C(m,1).C(n,p-1) + C(m,2).C(n,p-2) + ... + C(m,p).C(n,0) = C(m+n,p) Alguém pode me dar uma dica?
Re: [obm-l] Fwd: Identidade de Euler (OFFTOPIC)
Obrigado a todos pela ajuda. Em 28 de abril de 2011 19:44, Carlos Nehab escreveu: > Oi, querido amigo. > Grande abraço > Nehab > > Em 28/4/2011 17:40, Carlos Victor escreveu: > >> Oi Mestre Nehab , >> Gostei da sugestão e mais ainda das n pessoas que moram em Nilópolis ( >> minha terrinha). >> >> Abraços >> >> Carlos Victor >> >> Em 28 de abril de 2011 17:21, Carlos Nehab >> escreveu: >> >> Oi, Fábio, >>> >>> Não resisti: >>> >>> Resolva os seguinte problema de duas maneiras (uma técnica básica e útil >>> para resolver identidades deste tipo). >>> De quantas maneira posso formar comissões de p pessoas, a partir de um >>> total de m + n pessoas, sendo m o total de pessoas que moram no Maracanã >>> e n >>> as pessoas que moram em Nilópolis? >>> >>> Abraços, >>> Nehab >>> >>> Em 28/4/2011 13:24, fabio henrique teixeira de souza escreveu: >>> >>> -- Mensagem encaminhada -- >>> >>>> De: fabio henrique teixeira de souza >>>> Data: 28 de abril de 2011 08:52 >>>> Assunto: Identidade de Euler >>>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >>>> >>>> >>>> Pessoal, estou batendo cabeça e não consigo demonstrar que >>>> C(m,0).C(n,p) + C(m,1).C(n,p-1) + C(m,2).C(n,p-2) + ... + C(m,p).C(n,0) >>>> = >>>> C(m+n,p) >>>> >>>> Alguém pode me dar uma dica? >>>> >>>> >>>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >>> > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Note que i(i+1) = 2.[Combinação de i+1 escolhidos 2 a 2] Em seguida, use uma das propriedades do Triângulo de Pascal-Tartaglia. Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos escreveu: > Olá Pessoal, > > Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: > > Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 > Alguém póderia ajudar? > > Abraços, > > -- > Bastos >
Re: [obm-l] Descobrir formula geral e provar f(n+1)=2f(n) +3
Considere a(n) uma solução de f(n+1) = 2f(n) Há infinitas soluções para tal, mas a(n) sempre será uma PG de razão 2. Assim, uma solução é a(n) = 1.2^(n-1) Vamos promover a mudança de variável f(n) = g(n).a(n) Assim, f(n+1) = 2f(n) + 3 se transforma em g(n+1).a(n+1) = 2.g(n).a(n) + 3 g(n+1).2^n = 2.g(n).2^(n-1) + 3 g(n+1).2^n = g(n).2^n + 3 g(n+1) = g(n) + 3.2^(-n) Portanto, g(1) = g(0) + 3.1 g(2) = g(1) + 3.(1/2) g(3) = g(2) + 3.(1/4) ... g(n) = g(n-1) + 3.(1/2^(n-1)) Somando: g(n) = g(0) + 3.(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1)) g(n) = g(0) + 3.[1/2^n - 1]/[1/2 - 1] g(n) = g(0) - 6.[1/2^n - 1] Note que f(0) = g(0).a(0) ==> 0 = g(0).2^(-1) ==> g(0) = 0 g(n) = 6.[1 - 1/2^n] g(n) = 6.[2^n - 1]/2^n f(n) = a(n).g(n) = 2^(n-1) . 6.[2^n - 1]/2^n f(n) = 6.[2^n - 1]/2 f(n) = 3.[2^n - 1] Em 6 de maio de 2011 12:43, Julio Teixeira escreveu: > Pessoal, a um tempo acho que vi essa questao aki e por acaso, ontem me > deparei com ela em alguns foruns, e o pessoal estava com dificuldades..entao > vou por aki a minha resolucao.. > > questao 157 do Vol. 1 da colecao do G. Iezzi - Fundamentos de matematica > elemtentar > > 157 - Seja f uma funcao, definida no conjunto dos numeros naturais, tal > que, f(n+1)=2f(n) +3 > com f(0) = 0. Achar a formula geral de f(n) e prova-la por inducao.. > > equacao: f(n+1)=2f(n) + 3 e f(0)=0 > > para.. > n=0 => f(0+1)=2f(0)+3 => f(1)=3 > n=1 => f(1+1)=2f(1)+3 => f(2)=9 > n=2 => f(2+1)=2f(2)+3 => f(3)=21 > n=3 => f(3+1)=2f(3)+3 => f(4)=45 > n=4 => f(4+1)=2f(4)+3 => f(5)=93 > > observando os valores retornado pelas imagens e pondo em produto de um > fator por 3.. > f(1)=3 => f(1)=3*1 > f(2)=9 => f(2)=3*3 > f(3)=21 => f(3)=3*7 > f(4)=45 => f(4)=3*15 > f(5)=93 => f(5)=3*31 > > agora observando os segundos fatores dos produtos acima nas imagens... > comecamos com 1, depois 3, depois 7, e > > assim temos: > a diferenca entre 3 e 1 = 2 > a diferenca entre 7 e 3 = 4 > a diferenca entre 15 e 7 = 8 > a diferenca entre 31 e 15 = 16 > > obrservando essas diferencas, nota-se que temos uma PG, de razao 2, e com o > primeiro termo sendo igual a 1 > > assim a formula ja comeca a ficar evidente.. sendo 3 vezes essas > diferencas... > > agora se montarmos essa PG, teremos.. > > a1 = 1 > a2 = 2 > a3 = 4 > a4 = 8 > a5 = 16 > > opa.. entao a proxima observacao a ser feita eh que, com os resultados > obtidos temos que,por exemplo, > f(1)=3*( a1 de nossa PG) > f(2)=3*( a soma de a1 com o a2 de nossa PG) > f(3)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 de nossa PG) > f(4)=3*( a soma de a1 com o a2 e a3 e a4 de nossa PG) > > agora a formula do somatorio de nossa PG seria: > Sn = a1 * (q^n - 1)/ (q - 1) > > onde substituindo, obteriamos: > 2^n -1 > > agora deduzimos entao que a formula geral seria: f(n)= 3 * ( 2^n - 1) > > para provarmos por inducao, vamos provar que eh valido para n=1 > f(1) = 3 * ( 2^1 -1) > f(1) = 3 * ( 1 ) => f(1) = 3 ( OK, provamos para n=1 ) > > agora substituimos por n, por um k, qualquer e obtemos: > f(k)= 3 * (2^k -1) > > agora substituimos por k+1 > f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1) > > ok, agora note que se pegarmos a formula inicial e aplicarmos n=k, > obteremos o seguinte.. > f(k+1)=2 * f(k) + 3 > > ja que obtemos f(k+1) de nossa formula e f(k+1) da formula original, para > provarmos que descobrimos a formula geral > entao o resultado de f(k+1), tem que ser igual, assim tb testamos se eh > valida para qualquer elemento, provando isso para qualquer sucessor de k, ou > seja (k+1) > entao temos o seguinte.. > f(k)= 3 * (2^k -1) > f(k+1)= 3 * (2^(k+1) -1) > f(k+1)=2 * f(k) + 3 > > agora igualando os f(k+1), obtemos.. > 2 * f(k) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1) > substituindo f(k), pelo valor conhecido tb.. ( da nossa formula geral ) > 2 * (3 * (2^k -1)) + 3 = 3 * (2^(k+1) -1) > 6 * (2^k -1) + 3 = 3 * (2^(k+1)) -3 > agora, dividimos amobs os lados por 3 > 2 * (2^k -1) + 1 = 2^(k+1) - 1 > 2^(k+1) -2 + 1 = 2^(k+1) - 1 > 2^(k+1) - 1 = 2^(k+1) - 1(OK) > obtemos assim, a nossa prova... > > > > >
