[obm-l] Desafio?
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[obm-l] Desafio!
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[obm-l] ITA 1990 (QUESTAO INTERESSANTE)
COLEGAS DA LISTA GOSTARIA DE SABER SE ALGUEM PODERIA RESOLVER ESTA BELA QUESTAO. DESDE JA MUITO OBRIGADO.. JCCARDOSOS. (ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a idéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então o número de moedas que havia originalmente no baú era: a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a. _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] ITA 1990 (QUESTAO INTERESSANTE)
COLEGAS DA LISTA GOSTARIA DE SABER SE ALGUEM PODERIA RESOLVER ESTA BELA QUESTAO. DESDE JA MUITO OBRIGADO.. JCCARDOSOS. (ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a idéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então o número de moedas que havia originalmente no baú era: a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a. _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] retorno no email
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[obm-l] * Carta Convite *
Esta é uma mensagemautomática. Por favor, não responda! OláVocê recebeu um cartão virtual, para visualizar seucartãoclique no link abaixo. Baixe seu cartãoaqui _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] segue algumas perguntas sobre seu currículo
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[obm-l] segue algumas perguntas sobre seu currículo
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RE: [obm-l] Probabilidade!
E isso aí! Gostei da explicaçao! Valeu! Mais uma vez muito obrigado! jccardosos Date: Wed, 8 Oct 2008 17:30:14 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! Argh, escrevi uma besteira! Tem um erro no meu raciocínio, no denominador daquela probabilidade! Explico: do jeito que eu estava pensando no problema, **não interessa** de quantos jeitos a CEF pode sortear as bolinhas -- eu estava fingindo que eles **já sortearam** as r bolinhas, e a gente tem que descobrir de quantas maneiras EU posso fazer a minha cartelinha de maneira que EU acerte s palpites. Bom, EU tenho C(N,p) maneiras de fazer minha cartelinha, então o denominador é C(N,p); como EU tenho que escolher s das r sorteadas, e p-s das N-r não sorteadas, temos: Prob(N,r,p,s) = C(N-r,p-s).C(r,s)/C(N,p) (agora com denominador correto!) Antes que alguém reclame, existe sim uma segunda maneira de pensar, que é assim: eu JÁ FIZ a minha cartelinha com p palpites, e agora a CEF é que vai sortear r bolinhas. ELES é que tem que acertar exatamente s das MINHAS bolinhas. Bom, se você pensar assim, então, agora sim, eles têm, C(N,r) possibilidades de sorteio e este é o denominador... mas, para ELES acertarem exatamente s bolinhas das minhas, ELES tem que sortear s das p da minha cartelinha, e ELES têm que sortear as outras r-s das N-p que eu não escolhi. Então a probabilidade é: Prob = C(p,s).C(N-p,r-s)/C(N,r) É divertido escrever tudo em forma de fatoriais e notar que ambas as fórmulas são, de fato, a mesma coisa. Ler ambos os raciocínios é legal, pois eles mostram que os papéis de p e s são intercambiáveis -- há N=100 bolinhas no total, e você quer acertar s=7; então tanto faz você fazer uma cartelinha com 15 e eles sortearem 10 ou você fazer uma cartelinha com 10 e eles sortearem 15, a chance de você acertar 7 é a mesma! Para ajudar a lembrar tais fórmulas, note que a soma dos dois primeiros índices das combinações do numerador dá o primeiro índice da combinação do denominador, e o mesmo para os segundos índices. Em suma, (N-r)+r=N e (p-s)+s=p na primeira fórmula, ou p+(N-p)=N e s+(r-s)=r na segunda fórmula. Quando eu fiz seu problema, eu conferi isso na resposta numérica (que está correta por acidente, pois p=r no seu problema), mas esqueci de conferir na minha resposta com letrinhas! Abraço, Ralph 2008/10/7 jose silva [EMAIL PROTECTED] Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu imaginava!Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.Muito obrigado!jccardosos Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! A palavra chave para procurar no Google eh distribuicao hipergeometrica (hypergometric distribution). Funciona assim: Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas (digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s) Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar EXATAMENTE s, voce tem que escolher s das r sorteadas E TEM QUE ESCOLHER p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). Entao a resposta eh: Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r) (ARGH! NÃO É r AQUI EMBAIXO NÃO!) Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah: Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ... Abraco, Ralph 2008/10/7 jose silva [EMAIL PROTECTED] Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme esta disponivel no endereço: www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp . jccardosos Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de ALGUM dos alunos e não de UM qualquer dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: José vou te quebrar o galho. Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760. Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15. Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 2008/10/2, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]: Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números
RE: [obm-l] Probabilidade!
Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme esta disponivel no endereço: www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp . jccardosos Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! Jose Airton e Leandro,Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de ALGUM dos alunos e não de UM qualquer dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: José vou te quebrar o galho. Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760. Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15. Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 2008/10/2, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]: Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] Probabilidade!
Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme esta disponivel no endereço: www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp . jccardosos Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! Jose Airton e Leandro,Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de ALGUM dos alunos e não de UM qualquer dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: José vou te quebrar o galho. Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760. Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15. Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 2008/10/2, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]: Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] Probabilidade!
Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu imaginava! Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil. Muito obrigado! jccardosos Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! A palavra chave para procurar no Google eh distribuicao hipergeometrica (hypergometric distribution). Funciona assim: Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas (digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s) Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar EXATAMENTE s, voce tem que escolher s das r sorteadas E TEM QUE ESCOLHER p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). Entao a resposta eh: Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r) Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah: Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ... Abraco, Ralph 2008/10/7 jose silva [EMAIL PROTECTED] Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme esta disponivel no endereço: www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp . jccardosos Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de ALGUM dos alunos e não de UM qualquer dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: José vou te quebrar o galho. Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760. Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15. Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 2008/10/2, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]: Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] Probabilidade!
Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu imaginava! Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil. Muito obrigado! jccardosos Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! A palavra chave para procurar no Google eh distribuicao hipergeometrica (hypergometric distribution). Funciona assim: Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas (digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s) Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar EXATAMENTE s, voce tem que escolher s das r sorteadas E TEM QUE ESCOLHER p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). Entao a resposta eh: Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r) Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah: Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ... Abraco, Ralph 2008/10/7 jose silva [EMAIL PROTECTED] Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme esta disponivel no endereço: www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp . jccardosos Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de ALGUM dos alunos e não de UM qualquer dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: José vou te quebrar o galho. Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760. Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15. Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 2008/10/2, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]: Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.
Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram as probabilidades no endereço: http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp. Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.
Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram as probabilidades no endereço: http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp. Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Probabilidade! Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
[obm-l] Probabilidade!
Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] Probabilidade! Interessante!
Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 números? Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Probabilidade!
Em uma urna sao colocados 25 numeros distintos entre si. Aos participantes e dado uma folha com estes 25 numeros, e destes sao marcados apenas 15 numeros. Qual a probabilidade de apos a retirada aleatoriamente e sem reposiçao de 15 numeros, um dos participante acertar os 15 numeros? De um dos participantes acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 numeros numeros? _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] Probabilidade!
Em uma urna sao colocados 25 numeros distintos entre si. Aos participantes e dado uma folha com estes 25 numeros, e destes sao marcados apenas 15 numeros. Qual a probabilidade de apos a retirada aleatoriamente e sem reposiçao de 15 numeros, um dos participante acertar os 15 numeros? De um dos participantes acertar 14 ou 13 ou 12 ou 11 numeros numeros? _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
RE: [obm-l] MEDALHAS
Vc poderia me indicar, o outro forum? jccardosos Date: Wed, 7 May 2008 13:33:27 -0300Subject: Re:[obm-l] MEDALHASFrom: [EMAIL PROTECTED]: obm-l@mat.puc-rio.br PESSOAL, CONSEGUI A RESOLUÇÃO TIRADA DE OUTRA FORUM, SEGUE A RESOLUÇÃO: O enunciado fala que foram 60 pontos disputados e que a EN venceu a competição por 1 ponto de vantagem sobre a AFA e 2 sobre a AMAN. Assim, a EN conseguiu 21 pontos, a AFA 20 pontos e a AMAN 19 pontos. Foram disputadas 30 medalhas. A AMAN ganhou 1 medalha a mais do que a AFA e 2 a mais do que a EN. Logo, a AMAN ganhou 11 medalhas, a AFA ganhou 10 e a EN ganhou 9. A AMAN ganhou mais medalhas de ouro do que qualquer uma das outras. Deduz-se que a AMAN ganhou 4 medalhas de ouro. Vamos calcular quanto de cada medalha cada Academia Militar ganhou. A grande chave da questão está na seguinte informação: A AMAN ganhou mais medalhas de ouro do que cada uma de suas adversárias. Se foram disputadas 10 provas, a AMAN ganhou 4 medalhas de ouro e cada uma de suas adversárias ganhou 3 medalhas de ouro. Antes do cálculo, uns lembretes: X - Quantidade de medalhas de ouro ganha. Vale 3 pontos. Logo: 3x. Y - Quantidade de medalhas de prata ganha. Vale 2 pontos. Logo: 2y. Z - Quantidade de medalhas de bronze ganha. Vale 1 ponto. Logo: z. Para a AMAN: 3X + 2Y + Z = 19 (Lembre-se que a AMAN ganhou 19 pontos). X + Y + Z = 11 (Lembre-se que a AMAN ganhou 11 medalhas). Como sabemos que ela ganhou 4 medalhas de ouro: 3(4) + 2Y + Z = 19 12 + 2Y + Z = 19 2Y + Z = 7 (1) 4 + Y + Z = 11 -- Y + Z = 7 (2) Y = 0 e Z = 7. Logo, a AMAN ganhou 4 medalhas de ouro e 7 medalhas de bronze. Para a AFA: 3X + 2Y + Z = 20 (Lembre-se que a AFA ganhou 20 pontos). X + Y + Z = 10 (Lembre-se que a AFA ganhou 10 medalhas). Como sabemos que ela ganhou 3 medalhas de ouro: 3(3) + 2Y + Z = 20 9 + 2Y + Z = 20 2Y + Z = 11 (1) 3 + Y + Z = 10 -- Y + Z = 7 (2) Y = 4 e Z = 3. Logo, a AFA ganhou 3 medalhas de ouro, 4 medalhas de prata e 3 medalhas de bronze. Para a EN: 3X + 2Y + Z = 21 (Lembre-se que a EN ganhou 21 pontos). X + Y + Z = 9 (Lembre-se que a EN ganhou 9 medalhas). Como sabemos que ela ganhou 3 medalhas de ouro: 3(3) + 2Y + Z = 21 9 + 2Y + Z = 21 2Y + Z = 12 (1) 3 + Y + Z = 9 -- Y + Z = 6 (2) Y = 6 e Z = 0. Logo, a EN ganhou 3 medalhas de ouro e 6 medalhas de prata. Resposta: D. mvgcsdf mvgcsdf Peço muito obrigado aos feras da lista que responderam minhas questões. Aproveito para mandar uma cascuda. Desde já agradeço a todos. (EN-91/92) A EN, a AMAN e a AFA disputaram 10 provas de atletismo. Em cada prova se outorga uma medalha de ouro (que vale 3 pontos), uma de prata (2 pontos) e uma de bronze (1 ponto). A AMAN ganhou mais medalhas de ouro que cada uma de suas adversárias e ganhou também, no total, uma medalha a mais que a AFA e duas medalhas a mais que a EN. Apesar disso, a EN venceu a competição com 1 ponto de vantagem sobre a AFA e 2 pontos de vantagem sobre a AMAN. Quantas medalhas de prata a EN conquistou? a) 3. b) 4.c) 5.d) 6.e) 7. _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
RE: [obm-l] off: Livro de Análise II do Elon
Voce poderia digitalizar algumas listas de exercicios, e coloca-la a disposiçao dos participantes deste site. Acredito que, possivelmente, algumas soluçoes irao aparecer... jccardosos From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] off: Livro de Análise II do ElonDate: Fri, 30 Nov 2007 15:12:35 +0300 Olá! Desde minha graduação (em matemática) que estudo análise pelos livros do Elon. Em particular o Curso de Análise - Vol. II . Este último possui uma infinidade de problemas. No entanto, até hoje há muitos e muitos exercícios que não consegui resolver. Assim, gostaria de saber se alguém aqui na lista conhece algum manual contendo soluções/sugestões para alguns problemas daquele livro. Agradeço desde já e peço desculpas pelo off, Francisco Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Teoria dos numeros!
Se possivel, gostaria de contar com a ajuda de voces, para resolver este problema. Mostre que se g e uma raiz impar primitiva de p^m (pelevado a m) com p maior que 2, entao g e uma raiz primitiva de 2p^m (2p elevado a m). Desde ja, muito obrigado! jccardosos. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
[obm-l] Problema!
Um grupo de trabalhadores tinha a tarefa de realizar a colheita de dois campos de trigo, um dos quais tinha o dobro da área do outro. Durante meio dia todo o pessoal do grupo trabalhou no campo de trigo grande. Depois do almoço, metade do pessoal continuou no campo de trigo grande e a outra metade trabalhou no campo de trigo pequeno. Durante a tarde acabaram ambos as tarefas exceto uma pequena área do campo de trigo menor, em cuja colheita se ocupou todo o dia seguinte apenas um trabalhador. Quantos trabalhadores haviam neste grupo? Claudio. _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matematica!
Parabens, companheiro! Muito obrigado. Claudio. From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema de matematica! Date: Wed, 29 Aug 2007 20:59:48 +0200 Chame de x a qtd retirada do primeiro barril e y a do segundo. Agora é só escrever exatamente o que diz o enunciado: x + y = 14 12/(12 + 18)*x + 9/(9+3)*y = 7 Agora vc resolve o sistema: x + y = 14 2/5 * x + 3/4 * y = 7 ... Abraço Bruno 2007/8/29, jose silva [EMAIL PROTECTED]: Se possivel, gostaria que me ajudem a resolver o seguinte problema Num barril ha 12 litros de vinho e 18 de agua. Num segundo barril ha 9 litros de vinho e 3 litros de agua. Sabe-se que todas as misturas sao homogeneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos primeiro e segundo barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de agua e 7 de vinho, sao: Resposta:10 e 4 _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com e^(pi*i)+1=0 _ Verifique já a segurança do seu PC com o Verificador de Segurança do Windows Live OneCare! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas de matematica!
Se possivel, gostaria que me ajudasssem resolver os seguinte problemas Uma empresa de transporte estabelece, por viagem, o preço individual da passagem (p) em funçao da quantidade (q) de passageiros, atraves da relaçao p= -0,2+100, com q maior que zero e menor que quinhentos. Nestas condiçoes, para que a quantidade arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja maxima, o preço da passagem deve ser, em reais, igual a: Dividindo-se o numero x por 5 obtem-se o resto 2. Dividindo-se o numero y por 5, obtem-se resto 4. O menor numero inteiro, nao negativo, que se deve somar ao produto, x elevado a 5 multiplicado por y elevado a 5, para se obter um multiplo de 5 e: Desde ja, muito obrigado! Claudio. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas de matematica! Desculpa! Correça o: p= -0,2q+100
Se possivel, gostaria que me ajudasssem resolver os seguinte problemas Uma empresa de transporte estabelece, por viagem, o preço individual da passagem (p) em funçao da quantidade (q) de passageiros, atraves da relaçao p= -0,2q+100, com q maior que zero e menor que quinhentos. Nestas condiçoes, para que a quantidade arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja maxima, o preço da passagem deve ser, em reais, igual a: Dividindo-se o numero x por 5 obtem-se o resto 2. Dividindo-se o numero y por 5, obtem-se resto 4. O menor numero inteiro, nao negativo, que se deve somar ao produto, x elevado a 5 multiplicado por y elevado a 5, para se obter um multiplo de 5 e: Desde ja, muito obrigado! Claudio. _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de matematica!
Se possivel, gostaria que me ajudem a resolver o seguinte problema Num barril ha 12 litros de vinho e 18 de agua. Num segundo barril ha 9 litros de vinho e 3 litros de agua. Sabe-se que todas as misturas sao homogeneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos primeiro e segundo barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de agua e 7 de vinho, sao: Resposta:10 e 4 Claudio. _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de matematica!
Se possivel, gostaria que me ajudem a resolver o seguinte problema Num barril ha 12 litros de vinho e 18 de agua. Num segundo barril ha 9 litros de vinho e 3 litros de agua. Sabe-se que todas as misturas sao homogeneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos primeiro e segundo barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de agua e 7 de vinho, sao: Resposta:10 e 4 _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] reciclando
Caro colega, na minha opiniao a melhor coleçao de matematica para o segundo grau, e a coleçao matematica elementar, que voce pode encontra-la na integra no site: www.4shared.com. Com relaçao a calculo, os melhores livros respectivamente, na minha opiniao sao: Antone (Novo Horizonte), Shokovisk, Thomas e por ultimo Leithold. Com relaçao a Algebra Linear indico a Coleçao Shaum, que tem bastante exercicios interessantes resolvidos. From: fabio fortes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] reciclando Date: Mon, 27 Aug 2007 13:10:51 -0700 (PDT) Voltei a estudar matemática através de livros de raciocínio lógico e gostaria de continuar meus estudos com algo mais consistente, por hobby e por necessidades profissionais. Estou querendo indicações de livros de matemática que englobem toda a matéria do 2º grau. Fiz uma faculdade em que a matemática como um todo era pouco usada e hoje me ressinto de uma base mais sólida. Quero dar uma revisada na matéria de segundo grau e avançar por assuntos que sinto falta de uma base sólida, como cálculo e álgebra linear. A coleção do Iezzi não me agrada muito, prefiro coleções em que o número de questões comentadas seja maior. Não acho muito atraente a coleção visualmente também. Quanto a cálculo o que pesquisei é que a melhor coleção do momento é a dos professores da PUC-RIO, estou correto? Agradeço a atenção Luggage? GPS? Comic books? Check out fitting gifts for grads at Yahoo! Search http://search.yahoo.com/search?fr=oni_on_mailp=graduation+giftscs=bz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] reciclando
Caro colega, na minha opiniao a melhor coleçao de matematica para o segundo grau, e a coleçao matematica elementar, que voce pode encontrala na integra no site: www.4shared.com. Com relaçao a calculo, os melhores livros respectivamente, na minha opiniao sao: Antone (Novo Horizonte), Shokovisk, Thomas e por ultimo Leithold. Com relaçao a Algebra Linear indico a Coleçao Shaum, que tem bastante exercicios interessantes resolvidos. From: fabio fortes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] reciclando Date: Mon, 27 Aug 2007 13:10:51 -0700 (PDT) Voltei a estudar matemática através de livros de raciocínio lógico e gostaria de continuar meus estudos com algo mais consistente, por hobby e por necessidades profissionais. Estou querendo indicações de livros de matemática que englobem toda a matéria do 2º grau. Fiz uma faculdade em que a matemática como um todo era pouco usada e hoje me ressinto de uma base mais sólida. Quero dar uma revisada na matéria de segundo grau e avançar por assuntos que sinto falta de uma base sólida, como cálculo e álgebra linear. A coleção do Iezzi não me agrada muito, prefiro coleções em que o número de questões comentadas seja maior. Não acho muito atraente a coleção visualmente também. Quanto a cálculo o que pesquisei é que a melhor coleção do momento é a dos professores da PUC-RIO, estou correto? Agradeço a atenção Luggage? GPS? Comic books? Check out fitting gifts for grads at Yahoo! Search http://search.yahoo.com/search?fr=oni_on_mailp=graduation+giftscs=bz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] CONE SUL 1996
Caros colegas, se possivel, gostaria que me ajudassem a resolver este
problema de matematica!
O triangulo ABC, retangulo em Â, e tal que A^BC A^CB. Abissetriz
interna de  intercepta o lado BC em D. Seja HD perpendicular a BC (H entre
A e C). Nestas condiçoes podemos afirmar que o angulo H^BD mede, em graus:
From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] CONE SUL 1996
Date: Mon, 27 Aug 2007 13:20:30 -0700 (PDT)
Dado um inteiro m1, seja n a soma dos elementos de um subconjunto de
{1,2...m}. Ache todos os pares (m,n) de tais inteiros para os quais.
(m^4+mn)/((m^2)*n + 1) é inteiro.
Grato.
Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/
_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança
do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] CONE SUL 1996
Meus parabens, companheiro! Muito obrigado. Jose Claudio. From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] CONE SUL 1996 Date: Mon, 27 Aug 2007 20:47:31 -0300 Oi, José, Caros colegas, se possivel, gostaria que me ajudassem a resolver este problema de matematica! O triangulo ABC, retangulo em Â, e tal que A^BC A^CB. Abissetriz interna de  intercepta o lado BC em D. Seja HD perpendicular a BC (H entre A e C). Nestas condiçoes podemos afirmar que o angulo H^BD mede, em graus: Propriedade: Uma bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos dois outros lados. Assim, dividir a proporcionalmente a b e c determina em a os segmentos a x b/(b+c) e a x c/(b+c), ok? Ou seja: BD = ac/(b+c) e DC = ab/(b+c). (1) Mas os triângulos HDB e BAC são ambos retângulos e têm um ângulo em comum (C). Logo, são semelhantes. Então HD/DC = c/b. (2) Logo, substituindo (1) em (2) obtemos HD = ac/(b+c). Logo, HD = BD e seu ângulo HBD vale 45o. Abraços, Nehab _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
