[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] OBM, fase 2, nível 3, última questão
Ola O gabarito no site diz: Mostrou, por meio de um exemplo, que para n = 190 não é possível e concluiu que n deve ser pelo menos 191: [2 pontos] Acho que quem corrigir vai dar os 2 pontos. - Original Message - From: Otávio Menezes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 21, 2007 3:36 PM Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] OBM, fase 2, nível 3, última questão Minha solução não tem quase nenhum rigor matemático, é muito intuitiva, mas dá o resultado correto. O enunciado diz independentemente de como as estradas forem construídas. Na pior das hipóteses, teríamos 20 cidades 3 a 3 não colineares. Construindo todas as estradas possíveis entre essas 20 cidades, faríamos 190 estradas. A 21ª cidade estaria isolada. A próxima estrada invarialvelmente conectará essa cidade à rede, cumprindo as condições do enunciado. Logo, o menor valor de n é 191. Acham que consigo faturar alguns pontinhos com essa solução?
[obm-l] Limites com 2 variáveis
Olá Estou começando a estudar cálculo com várias variaveis e estava com uma dúvida em alguns limites. Meu professor disse que em alguns casos uma estratégia boa pra cálcular o limite quando trabalhamos com 2 variaveis é substituir por coordenadas polares fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo ele, é suficiente mostrar que o valor do limite existe e independe de t, ou que o limite não existe. Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu falou que essa estratégia só serve pra provar que o limite não existe, porque pra provar que um limite existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para qualquer caminho que usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as coordenadas polares consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros caminhos. Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado muito claro: lim(x,y)-(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa substituição: lim r-0+ [(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r-0+ [r(sen³t+cos³t)]. Como r-0+, r(sen³t+cos³t)-0 e o limite independe de t. A dúvida é: isso é suficiente pra provar que o limite é 0? Obrigado Rafael.
Re: [obm-l] ATLETAS
Oi Vou tentar fazer essa. Se eu fizer alguma besteira alguem me corrige por favor. O numero de pares que da pra formar com os 19 atletas é 19*18/2=171 distintos. Cada time de 4 atletas tem 4*3/2=6 pares distintos. No total os 57 times tem que ter 6*57=342 pares mas não são todos distintos. Mas como o problema fala que todos participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número x de vezes podemos pensar que dentro dos 342 pares, o número de vezes que cada um deles se repete é o mesmo para todos os pares. Logo, x=342/171=2. abraços. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, August 27, 2007 11:08 AM Subject: [obm-l] ATLETAS Alguém pode resolver, por favor, esta A partir de um conjunto de 19 atletas, formam 57 times de 4 atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número x de vezes. O valor de x é: a) 1.b) 2. c) 3. d) 4. e) 6. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EPCAR
Oi Bom, como é uma prova teste, pra não perder tempo é só fazer n=2. Aí pode fazer 3 solutos: 1 com cada comprimido e 1 com os dois. Sobra só a alternativa D. Acho que uma resolução simples é pensar que cada comprimido pode estar ou não dissolvido nesse copo. Então há 2 opções pra cada comprimido. O número total de formas de dissolver esses comprimidos é 2*2*2*2.n vezes, ou seja, 2^n. Mas o problema fala um ou mais comprimidos. Então não pode ter apenas água. Tirando esse caso fica 2^n - 1. abraços - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Friday, August 10, 2007 3:28 PM Subject: [obm-l] EPCAR Alguém pode resolver essa, por favor; (EPCAR-2000) Têm-se n comprimidos de substâncias distintas solúveis em água e incapazes de reagir. Quantos solutos distintos podem ser obtidos, dissolvendo num copo d'água um ou mais desses comprimidos? a) 2n. b) n!. c) n.d) 2n - 1. DESDE JÁ OBRIGADO
Re: [obm-l] Saida Lateral
É...esqueci desse pequeno detalhe... Agora eu já posso fazer companhia pro Lucas no grupo de pessoas que não param pra ler direito. abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 11, 2007 2:55 AM Subject: Re: [obm-l] Saida Lateral Olá Rafael, vc esqueceu que o segundo termo é: An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) e nao: An+1 = ( (4*An) - 1 ) se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) se An==2(MOD 3) [note que o correto eh dividir por 3] abracos, Salhab On 7/11/07, rgc [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Essa sequencia não só termina para todo M. Ela sempre tem 2 termos. Suponha que M==1 mod 3. Então podemos escrever M=3k+1. Logo A2= 4*(3k+1)-1=(12k+3)==0 mod 3. Suponha que M==2 mod 3. Então podemos escrever M=3k+2. Logo A2= 2*(3k+2)-1=(6k+3)==0 mod 3. Assim, sempre termina no segundo termo. - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 10, 2007 5:03 PM Subject: [obm-l] Saida Lateral Ola Pessoal ! Considerem a seguinte questao : A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte sequencia : A1 = M An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? OBS : usei == para significar E CONGRUO A Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,1604,101007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Saida Lateral
Oi Essa sequencia não só termina para todo M. Ela sempre tem 2 termos. Suponha que M==1 mod 3. Então podemos escrever M=3k+1. Logo A2= 4*(3k+1)-1=(12k+3)==0 mod 3. Suponha que M==2 mod 3. Então podemos escrever M=3k+2. Logo A2= 2*(3k+2)-1=(6k+3)==0 mod 3. Assim, sempre termina no segundo termo. - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 10, 2007 5:03 PM Subject: [obm-l] Saida Lateral Ola Pessoal ! Considerem a seguinte questao : A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte sequencia : A1 = M An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? OBS : usei == para significar E CONGRUO A Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,1604,101007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão Da OBM Nível 3
Bom...Não sei como fazer uma explicação melhor que a do Lucas. Acho que agora ficou bem claro. - Original Message - From: Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, July 07, 2007 3:35 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão Da OBM Nível 3 Explicando os valores: Se temos um número de 4 dígitos, então o primeiro algarismo não pode ser 0, restando 9 possibilidades para o primeiro algarismo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). O segundo, o terceiro e quarto algarismo podem ser qualquer número de 0 a 9, ou seja 10 possibilidades assim 9x10x10x10 = a quantidade de números de quatro dígitos Vamos então calcular a quantidade de números não-peroba Primeiro caso: O número não-peroba é escrito no formato IPIP (ímpar, par, ímpar, par; como 3214); O primeiro algarismo pode ser qualquer ímpar (1, 3, 5, 7, 9): 5 possibilidades O segundo algarismo pode ser qualquer par (0,2,4,6,8): 5 possibilidades O terceiro algarismo pode ser qualquer ímpar (1, 3, 5, 7, 9): 5 possibilidades O quarto algarismo pode ser qualquer par (0,2,4,6,8): 5 possibilidades São 5x5x5x5 números não-peroba do primeiro caso. Segundo caso: O número não peroba é escrito no formato PIPI (par, ímpar, par, ímpar, como 2341) O primeiro algarismo pode ser qualquer par exceto o zero (2,4,6,8): 4 possibilidades O segundo algarismo pode ser qualquer ímpar (1, 3, 5, 7, 9): 5 possibilidades O terceiro algarismo pode ser qualquer par (0,2,4,6,8): 5 possibilidades O quarto algarismo pode ser qualquer ímpar (1, 3, 5, 7, 9): 5 possibilidades São 4x5x5x5 números não-peroba do segundo caso. []'s Em 06/07/07, Rodolfo Braz[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Rafael primeiramente muito obrigado por está me ajudando! Cara me explica mais detalhadamente de onde veio os 9000 e os outros dois valores? Abraço! rgc [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Eu pensei assim, veja se da pra entender: Só existem dois tipos de números de 4 digitos nesse problema: os perobas e os não perobas. O jeito mais simples é contar quantos números de 4 digitos existem, depois tirar os não perobas. Há 9*10*10*10=9000 números de 4 algarismos. Para que um número não seja peroba deve ter todos os digitos vizinhos com paridade diferente. Representando par=P e ímpar=I, se o primeiro digito é P o segundo é I, o 3° é P e o 4° é I. Lembrando que o primeiro não pode ser zero há 4*5*5*5=500. Se o 1° digito é I, o segundo é P, o 3° é I e o quarto é P. Logo há 5*5*5*5=625. Somando achamos que os não perobas são 1125. Então os perobas são 9000-1125=7875. - Original Message - From: Rodolfo Braz To: Lista De Discussão OBM Sent: Friday, July 06, 2007 11:53 AM Subject: [obm-l] Questão Da OBM Nível 3 Pessoal gostaria se possível que alguém solucionasse essa questão detalhadamente para mim por favor pois não consigo entender a solução proposta pelo pessoal da OBM. Desde já fico muito grato! Um número de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo menos dois dígitos vizinhos com a mesma paridade. Quantos números perobas existem? A) 8999 B) 8874 C) 7875 D) 8000 E) 7750 Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão Da OBM Nível 3
Oi Eu pensei assim, veja se da pra entender: Só existem dois tipos de números de 4 digitos nesse problema: os perobas e os não perobas. O jeito mais simples é contar quantos números de 4 digitos existem, depois tirar os não perobas. Há 9*10*10*10=9000 números de 4 algarismos. Para que um número não seja peroba deve ter todos os digitos vizinhos com paridade diferente. Representando par=P e ímpar=I, se o primeiro digito é P o segundo é I, o 3° é P e o 4° é I. Lembrando que o primeiro não pode ser zero há 4*5*5*5=500. Se o 1° digito é I, o segundo é P, o 3° é I e o quarto é P. Logo há 5*5*5*5=625. Somando achamos que os não perobas são 1125. Então os perobas são 9000-1125=7875. - Original Message - From: Rodolfo Braz To: Lista De Discussão OBM Sent: Friday, July 06, 2007 11:53 AM Subject: [obm-l] Questão Da OBM Nível 3 Pessoal gostaria se possível que alguém solucionasse essa questão detalhadamente para mim por favor pois não consigo entender a solução proposta pelo pessoal da OBM. Desde já fico muito grato! Um número de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo menos dois dígitos vizinhos com a mesma paridade. Quantos números perobas existem? A) 8999 B) 8874 C) 7875 D) 8000 E) 7750 -- Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Ajuda
Veja se o enunciado está certo porque eu cheguei num absurdo: seja x = -2 -- 2p(-2) - 2p(4) = 16 seja x = 4 -- 2p(4) - 2p(-2) = 34 Somando: 0=50 --absurdo!!! - Original Message - From: Marcelo Costa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 03, 2007 12:24 AM Subject: [obm-l] Ajuda Alguém poderia me auxiliar nesta??? Dado o polinômio p(x) tal que 2p(x) - 2p(2 - x) = 3x^2 - 3x - 2 para todo x real, o valor de p( - 2) + p(4) é: a) 4 b) 16 c) 34 d) 50 e) 66 Valeu, obrigado
Re: [obm-l] Como se resolve?
Oi Pra resolver eu considerei que se V(k) é divisivel por 4 então as raças receberam a mesma quantidade. Mas pelo que eu entendi do problema não tem nada que garante que isso é verdade.No primeiro dia, por exemplo, o volume foi 16 mas as raças podem ter recebido 5,3,2,6... Pra achar quantos dias V(k) é divisivel por quatro, ou seja, k^3/4 + k^2/2 -k/4 + 7/2 é um numero inteiro: primeiro, seja k um multiplo de quatro. Então k^3/4+k^2/2-k/4 é um numero inteiro, mas 7/2 não é. Portanto, em nenhum multiplo de 4 a quantidade foi igual. Seja k um multiplo de 2 (mas não de 4). Então k^3/4 + k^2/2 é um numero inteiro e k/4 deixa resto 1. Mas 7/2 também deixa resto 1. Logo, em todo multiplo apenas de 2 a quantidade foi igual e entre 1 e 58 há 15 deles. Seja k um número impar. Fazendo k=2n+1 fica: (8n³ + 12n² + 6n + 1)/4 + (4n² + 4n + 1)/2 + 7/2 - (2n + 1)/4 = (8n³ + 12n² + 4n)/4 + (4n²+4n+8)/2 que é inteiro. Então em todo dia impar as raças receberam a mesma quantidade de ração e há 29 dias impares. Assim: 29+15=44 dias. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 01, 2007 3:06 PM Subject: [obm-l] Como se resolve? Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O veterinário dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k), em metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por V(k)= k^3+2k^2-k+14, k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos) de ração dada a cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros, pode-se concluir que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume de ração foi: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto
Oi. Seja x o número de alunos que visitaram o museu de ciência e y o número de alunos que visitaram o museu de história. Então o número de alunos que visitaram os dois museus é x*0,2=y*0,25. Mas 48 alunos foram em pelo menos um dos museus. Então o número de alunos que foram ao de ciência somado com os que foram ao de história, menos o número de alunos que foram aos dois deve dar 48. Assim: x + y - x/5 = 48. Substituindo a primeira na segunda: x + 4x/5 - x/5 = 48. Portanto x=30 alunos e y=24 alunos. - Original Message - From: Rodolfo Braz To: Lista De Discussão OBM Sent: Friday, June 29, 2007 12:12 PM Subject: [obm-l] Conjunto Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. -- Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral!
Oi. Acho que integrando por partes da certo. Seja u=ln x, dv=x^2 dx. Então du=dx/x e v=(x^3)/3. Assim fica: ((x^3)*ln x)/3 - integral (x^3)dx/3x Mas integral (x^3)dx/3x = integral (x^2)dx/3 = (x^3)/9 Logo: integral (x^2)* ln x dx = ((x^3)*ln x)/3 - (x^3)/9 Espero não ter errado as contas. - Original Message - From: Camilo Damiao [EMAIL PROTECTED] To: Lista da obm obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 22, 2007 12:09 AM Subject: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral! Por favor... gostaria q alguem conseguisse me ajudar o mais rapido possivel na resoluçaum dessa integral... eh ateh um tanto simples... mas estou tendo problemas com ela... integral (x^2)* ln x dx ... Grato pela atenção! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Racionalizar
Oi. Vamos ver um caso um pouco mais geral (pra provar é só desenvolver): (a + b) = (³√a + ³√b)*(³√a² - ³√ab + ³√b²) Então: (³√a + ³√b) = (a+b)/(³√a² - ³√ab + ³√b²) Aplicando na expressão, fazemos 2 = ³√8: 2/(³√8 + ³√2) = 2/( (8+2)/(³√64 - ³√16 + ³√4) ) = 2*(4 - ³√16 + ³√4)/10 = (4 - ³√16 + ³√4)/5. Na verdade podemos provar que (a + b) = (n√a + n√b)*( Sum(i=0 - n-1)( n√(ai * bn-i-1)*( (-1)^i) ) ) Esse monte de parenteses ficou confuso mas espero que de pra entender. - Original Message - From: Taciano Scheidt Zimmermann To: OBM Sent: Thursday, June 14, 2007 3:31 PM Subject: [obm-l] Racionalizar Como se racionaliza essa expressão? 2 2 + ³√2 - - - Taciano Scheidt Zimmermann [EMAIL PROTECTED]
[obm-l] Re: determinantes
Oi Eu tentei provar isso mas não consegui. Resolvi colocar uns numeros pra testar. Seja a=30°, b=45° e c=60°. Então supomos que: | cos^2(30°) 2sen^3(30°) 1 | | cos^2(45°) 2sen^3(45°) 1 | = 0 | cos^2(60°) 2sen^3(60°) 1 | Então: | 3/4 1/4 1| | 1/2 raiz(2)/21| = 0 | 1/4 3raiz(3)/4 1| Assim o determinante vai ser: 3raiz(2)/8 + 1/16 + 3raiz(3)/8 - raiz(2)/8 -1/8 - 9raiz(3)/16 = = raiz(2)/4 - 1/16 -3raiz(3)/16 = -0,0337... Se eu não errei nenhuma conta essa hipótese é falsa. Veja se não copiou alguma coisa errada ou faltou alguma restrição. On 6/12/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Provar que: | cos^2(a) 2sen^3(a) 1 | | cos^2(b) 2sen^3(b) 1 | = 0 | cos^2(c) 2sen^3(c) 1 | -- Atenciosamente Júlio Sousa
[obm-l] Re: [obm-l] Fatorial -Difícil
Oi Veja se da pra entender desse jeito que eu pensei. 1)Se a maior potencia de 5 que divide n! é 5^84 então n! deve ter o fator 5 multiplicado 84 vezes. Veja que 5! tem apenas 1 vez o fator 5 porque nenhum numero menor que 5 é divisivel por 5. 10! tem 2 vezes o fator 5, 15! tem 3 vezes. Vamos tentar então um numero que temos certeza que possui pelo menos 84 vezes o fator 5. Fazendo 84*5 = 420. Assim 420! tem pelo menos 84 vezeso fator 5. Mas algumas vezes esse fator aparece mais de uma vez no mesmo numero, por exemplo, 25= 5*5. Então em 420! há alguns cincos a mais do que queremos. Veja que 5^3 = 125 e 5^4 = 625. Então a maior potencia de 5 que é menor que 420 é 5^3. Assim devemos ter no máximo o fator 5 repetido 3 vezes num numero. Vamos tentar estimar qual seria o numero n desejado: n/5 + n/25 + n/125 = 84 (porque n/5 encontra quantos multiplos de 5 há entre 1 e n, n/25 encontra quantos multiplos de 5*5 há entre 1 e n e n/125 encontra quantos multiplos de 5*5*5 há entre 1 e n). Resolvendo temos n = 10500/31 = 338,70. Aproximando para o inteiro multiplo de 5 mais próximo temos n=340. Vamos ver quantos cincos há em 340!: Multiplos de 5: 340/5=68. Multiplos de 25: 65/5 = 13. Multiplos de 25: 10/5 = 2. Então há 68+13+2 = 83 vezes que o fator 5 é repetido. Logo falta apenas uma vez. Encontrando o próximo n que é multiplo de 5 temos n=345. Assim os outros numeros que tem essa propriedade são: 345, 346, 347, 348 ,349. 2)Seguindo o mesmo raciocionio: 3! tem uma vez o fator 3. 6! tem 2 vezes. 9! tem 4 vezes 12! tem 5 vezes 15! tem 6 vezes 18! tem 8 vezes. Portanto não existe n inteiro tal que 3^7 seja a maior potencia de 3 que divide n!. - Original Message - From: Rhilbert Rivera To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 26, 2007 7:09 AM Subject: [obm-l] Fatorial -Difícil Colegas, estou enrolado com vários problemas envolvendo fatorial. Estou pedindo auxílio em dois pra começar. Obrigado por qualquer ajuda. 1) Ache o menor valor de n, de modo que a maior potência de 5 que divide n! seja 5^84. Quais são os outros números que gozam dessa propriedade? 2) Mostre que não há nenhum número natural n tal que 3^7 seja a maior potência de 3 que divide n! -- Ligue para os amigos com a Chamada de PC para PC - GRATUITO Experimente já!
[obm-l] Re: [obm-l] questão fácil - segunda fase fuvest
Oi Vou usar != significando diferente. mx/4 -(x-2)/m = 1 = xm^2 - 4x + 8 = 4m = x(m^2 - 4) = 4(m-2) = x = 4(m-2)/(m^2 - 4) = x = 4(m-2)/((m+2)*(m-2)). Veja que se m != 2 e m != -2, x tem solução única (item a). Vamos ver o que acontece com m = -2 e m = 2. Para m = 2: 2x/4 -(x-2)/2 = 1 = x/2 - x/2 + 1 = 1 = 1=1. Logo com m=2 a expressão independe de x portanto há infinitas soluções.(item c). Para m = -2: -2x/4 -(x-2)/-2 = 1 = -x/2 + x/2 -1 = 1 = -1=1 Absurdo. Logo: para m = -2 não há solução.(item b). - Original Message - From: Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 24, 2007 11:11 AM Subject: [obm-l] questão fácil - segunda fase fuvest Cabeças, dêem uma maozinha pra mim: Defina os valores de m para os quais a equação: mx/4 -(x-2)/m = 1 a) Determine uma única solução b)Não admita solução. c)Admite infinitas soluções. valeu! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivar e Provar
Oi É só fazer por indução. Faz n=1 e prova que isso vale pra primeira derivada. Depois faz n=k e supõe que isso seja verdadeiro. Depois faz n=k+1 e mostra que se a fórmula vale pra n=k então vale pra n=k+1 também. Nessa ultima parte é só derivar a expressão que você achar pra n=k. - Original Message - From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS To: Lista _OBM Sent: Saturday, May 19, 2007 3:07 PM Subject: [obm-l] Derivar e Provar Olá, Vi essa qstão e ñ consegui fazê-la, ñ me veio nenhuma ideia... Dado f(x) = 1/x prove que a n-ésima derivada f^(n)(x) de f eh: f^(n)(x) = [n!*(-1)^n]/x^(n+1) Obrigado desde já! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Derivar e Provar
Sim. Nesse caso prova só pra n=1, 2, 3. Mas n tem que ser inteiro. O x pode ser qualquer real. - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 19, 2007 4:38 PM Subject: Re: [obm-l] Derivar e Provar Mas a inducao nao prova so para os inteiros? Como que se extende ela para os reais? On 5/19/07, rgc [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi É só fazer por indução. Faz n=1 e prova que isso vale pra primeira derivada. Depois faz n=k e supõe que isso seja verdadeiro. Depois faz n=k+1 e mostra que se a fórmula vale pra n=k então vale pra n=k+1 também. Nessa ultima parte é só derivar a expressão que você achar pra n=k. - Original Message - From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS To: Lista _OBM Sent: Saturday, May 19, 2007 3:07 PM Subject: [obm-l] Derivar e Provar Olá, Vi essa qstão e ñ consegui fazê-la, ñ me veio nenhuma ideia... Dado f(x) = 1/x prove que a n-ésima derivada f^(n)(x) de f eh: f^(n)(x) = [n!*(-1)^n]/x^(n+1) Obrigado desde já! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida ( área mínima )
Oi Se o triangulo é retangulo entao a area S = AB*AC/2. Seja D o ponto que a reta t corta a reta r e E o ponto que t corta s. Faça tambem F o ponto que AC intercepta r. Vou chamar teta de x pra facilitar. Se x é o angulo que AC forma com a reta s, (AFD) = x (porque r e s são paralelas). Veja que (ADF)=(BAF)=90°. Entao (ABD) + x + 90° = (ABD) + 90° + (BAD). Então (BAD) = x. Portanto podemos escrever: AE/AC = sen x = AC = AE/sen x e AD/AB = cos x = AB = AD/cos x. Assim S = AD * AE/2*sen x * cos x. Mas 2*sen x * cos x = sen 2x e se A é ponto fixo, AD e AE são constantes e independem de x. Assim, para minimizar a area devemos maximizar sen 2x. Como o maior seno possivel é 1 fazemos: sen 2x = 1 = 2x = 90° = x=45° ou pi/4. - Original Message - From: cleber vieira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 12:12 AM Subject: [obm-l] Dúvida ( área mínima ) Amigos gostaria da ajuda de vocês neste seguinte problema. Duas retas r e s são parelelas, os pontos B de r e C de s são móveis e o ponto A, entre as retas é fixo; dentre todos os triângulos ABC, retângulos em A, teremos o de área mínima quando? a) teta = pi/3 b) teta = pi/4 obs: teta é o angulo que AC forma com a reta s. c) teta = pi/5 d) teta = pi/6 e) n.d.a Obrigado Vieira __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11
Oi Não ficou muito formal mas acho que consegui achar o numero. Deem uma confirida pra ver se está tudo certo. Seja n o numero: n deve ser divisivel por 5, 8 e 11. Pra ser por 5 deve acabar em 5 ou 0. Mas pra ser por 8 deve ser par. Logo acaba em 0. Como os algarismos devem ser distintos vamos tentar colocar os menores algarismos perto do 0 pra n ser o maior possivel. Fazendo n terminar em 210 não é divisivel por 8. Invertendo a ordem temos: n termina em 120. Isso faz n ser divisivel por 8. Vamos tentar colocar os outros algarismos: tentando o maior possivel temos n = 9.876.543.120. Mas pra ser divisivel por 11 a soma dos algarismos de ordem impar subtraida da soma dos algarismos de ordem par deve ser divisivel por 11. Nesse caso: 26-19=7 e n não é o procurado. Vamos tentar fazer essa subtração ser divisivel por 11. Veja que o modo mais facil é igualar ao proprio 11. Pra isso precisamos trocar alguns algarismos para mudar suas ordens. Pra achar o maior numero começamos a fazer isso pela direita: invertendo o 4 com o 3. Assim aumentamos pra 9 a diferença. Trocamos mais uma vez, agora 6 com 5. Devemos ter o numero desejado: n = 9.875.634.120 - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 2:39 PM Subject: RES: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 Também naop consegui achar o máximo de A -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno França dos Reis Enviada em: quarta-feira, 16 de maio de 2007 13:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 0 pertence a A, logo A é não vazio 9876543210 é cota superior de A. A é fechado (pois é formado apenas por pontos isolados). Assim temos que A admite máximo. Agora, como achar esse máximo, sem usar força bruta, não estou conseguindo! Podemos determinar o maior múltiplo comum de 5, 8 e 11 menor do que 9876543210 facilmente, chamêmo-lo k. Se k pertence a A, acabou. Senão, queremos então achar n tal que: (5*8*11) * n = 440n = k e 440n possua apenas algarismos distintos Dá pra fazer certas observações (imediatas) que reduzem em muito o número de testes que teríamos que fazer, mas deve ter alguma solução não braçal que nao consigo encontrar! Abraço Bruno 2007/5/16, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Gostaria de uma sugestão neste problema de teoria dos numeros Seja A o conjunto dos multiplos comuns de 5, 8, 11 compostos por algarismos distintos (base 10, conforme usual). A tem um elemento máximo? Se tiver, qual? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] combinatória
Oi Eu li sua resolução mas não entendi muito bem seu raciocinio. De qualquer forma tem um jeito muito simples de resolver esse tipo de problema. Imagine quais são todas as ordens que E I e O podem aparecer(não necessariamente juntas). Podemos ter: EIO, EOI, OEI, OIE, IEO, IOE. Veja que apenas a primeira delas nos interessa mas o número de vezes que cada uma delas aparece é igual: EIO deve aparecer em 1/6 de todos os anagramas. Como o total de anagramas é 6! , devemos ter EIO nessa ordem em 6! /6 anagramas = 5! = 120. - Original Message - From: Pedro Costa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 03, 2007 5:13 PM Subject: [obm-l] combinatória Amigos da lista, esta solução está correta? (AMAM -2004/2005) Quantos anagramas da palavra ÉTNICOS apresentam as vogais em ordem alfabética? a) 360 b) 30 c) 60d) 240 e) 120 Solução EIOTNC 4!=24 fixando E e variando IO 3.3!=18 fixando EI e variando O 3.3!= 18 fixando E e alternado I e O 3.3!=18 fixando uma consoante e alternar EI 3.3!=18 TENIOC 3!=6 TNECIO 3!=6 TENICO 3!=6 TNECIO 3!=6 Total =120 anagramas ou 6!/3!=120 este 6! representa todas as permutações da palavra ÈTNICO e como são 3 consoante e 3 vogais -- Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11
É verdade. Eu considerei que os tres ultimos ja estavam prontos e não me preocupei com eles. Obrigado pela correção. Abraços - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 7:46 PM Subject: Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 Oi, Rafael, Você não deveria ter aberto mão de ir da esquerda para a direita para tentar preservar ao máximo os algarismos em ordem decrescente. Note que é possível você ter 98765abcd0 e ajeitar o 4, 3, 2 e 1 para obter o múltiplo de 8 e 11. Assim, se eu também não me distrai, 9.876.513.240 deve ser o maior. Abraços, Nehab PS: Este problema é mais simples que outro que já caiu Olimpíada de Maio de 2003 (e não me engano) e cuja solução também usa uma certa força bruta: qual o menor múltiplo (naturalmente positivo) de 56 cuja soma dos algarismos é 56 e que termina em 56... At 18:44 16/5/2007, you wrote: Oi Não ficou muito formal mas acho que consegui achar o numero. Deem uma confirida pra ver se está tudo certo. Seja n o numero: n deve ser divisivel por 5, 8 e 11. Pra ser por 5 deve acabar em 5 ou 0. Mas pra ser por 8 deve ser par. Logo acaba em 0. Como os algarismos devem ser distintos vamos tentar colocar os menores algarismos perto do 0 pra n ser o maior possivel. Fazendo n terminar em 210 não é divisivel por 8. Invertendo a ordem temos: n termina em 120. Isso faz n ser divisivel por 8. Vamos tentar colocar os outros algarismos: tentando o maior possivel temos n = 9.876.543.120. Mas pra ser divisivel por 11 a soma dos algarismos de ordem impar subtraida da soma dos algarismos de ordem par deve ser divisivel por 11. Nesse caso: 26-19=7 e n não é o procurado. Vamos tentar fazer essa subtração ser divisivel por 11. Veja que o modo mais facil é igualar ao proprio 11. Pra isso precisamos trocar alguns algarismos para mudar suas ordens. Pra achar o maior numero começamos a fazer isso pela direita: invertendo o 4 com o 3. Assim aumentamos pra 9 a diferença. Trocamos mais uma vez, agora 6 com 5. Devemos ter o numero desejado: n = 9.875.634.120 - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 2:39 PM Subject: RES: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 Também naop consegui achar o máximo de A -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno França dos Reis Enviada em: quarta-feira, 16 de maio de 2007 13:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 0 pertence a A, logo A é não vazio 9876543210 é cota superior de A. A é fechado (pois é formado apenas por pontos isolados). Assim temos que A admite máximo. Agora, como achar esse máximo, sem usar força bruta, não estou conseguindo! Podemos determinar o maior múltiplo comum de 5, 8 e 11 menor do que 9876543210 facilmente, chamêmo-lo k. Se k pertence a A, acabou. Senão, queremos então achar n tal que: (5*8*11) * n = 440n = k e 440n possua apenas algarismos distintos Dá pra fazer certas observações (imediatas) que reduzem em muito o número de testes que teríamos que fazer, mas deve ter alguma solução não braçal que nao consigo encontrar! Abraço Bruno 2007/5/16, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] : Gostaria de uma sugestão neste problema de teoria dos numeros Seja A o conjunto dos multiplos comuns de 5, 8, 11 compostos por algarismos distintos (base 10, conforme usual). A tem um elemento máximo? Se tiver, qual? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] taxas
Oi O problema pede a taxa de variação da posição da ponta da sombra pelo tempo. Então, chamando p a distancia da ponta da sombra para o poste, x a distancia do rapaz para o poste e t o tempo temos que achar dp/dt. Veja que há 2 triangulos: um que tem como catetos o poste e o chão e outro que tem como catetos o rapaz e chão. Desenhando voce vai ver que eles são semelhantes. Então: (p-x)/p = 5/16 = p = 16x/11. Fazendo p e x como funções do tempo e derivando dos dois lados temos: dp/dt = 16/11 * dx/dt. Mas dx/dt é a taxa de variação da posição do rapaz em relação ao poste pelo tempo, e isso foi dado: 4 pes/s. Logo dp/dt = 16/11 * 4 = 64/11 pes/s. Acho que é isso. - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 10, 2007 10:29 PM Subject: [obm-l] taxas Uma lampada está no topo de um poste de 16 pes de altura. Um rapaz de 5 pés de altura afasta-se do poste à razao de 4pes/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele está a 18 pes do poste? 64/11 pes/s. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] É único?
Oi
Eu estava com uma duvida nesse problema: no enunciado fala 3 inteiros.
Então eu posso usar numeros negativos. Nesse caso está certo falar que o
conjunto
{-2, 3, 7} também satisfaz as condições do problema??
-2*3 = -6 = -1*7 + 1 = deixa resto 1
-2*7 = -14 = -5*3 + 1 = deixa resto 1
3*7 = 21 = -10*(-2) + 1 = deixa resto 1
Se isso estiver certo então não existe só um conjunto.
- Original Message -
From: Carlos Gomes
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, May 07, 2007 12:09 AM
Subject: [obm-l] É único?
Alguem pode me ajudar com essa?
O conjunto {2,3,5} é o único conjunto com 3 inteiros tais que o produto de
quaisquer dois de seus membros deixa resto 1 quando dividido pelo 3°, ou existe
um outro conjunto de inteiros que satisfaz isto?
Valew, Cgomes
Re: [obm-l] Duvida em Derivada(HELP)
Oi Pra esse problema vc só precisa aplicar as regras pra derivada. Por exemplo: pra achar a segunda derivada é só fazer: f '' (x) = (1/2)* d/dx ((sqrt(x+1))^(-1)). Ai chama f(u) = u^(-1) e g(t) = sqrt(t+1). Então vc fica com f '' (x) = (1/2)*d/dx f(g(t)). Faz t=x, aplica a regra da cadeia e termina de resolver. Agora...se vc ainda não viu regras de diferenciação e quer fazer isso pela definição de derivada por limite isso vai da um trabalho medonho... - Original Message - From: Leandro Morelato To: OBM-I Sent: Sunday, May 06, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Duvida em Derivada(HELP) Derivar sucessivamente até a ordem 4 a seguinte função: f(x) = sqrt(x+1); f ' (x) = 1 / 2 . sqrt(x+1) ... (cheguei até aqui apenas!) f '' (x) = ? f ''' (x) = ? f (x) = ? O resultado eu já tenho, queria que me ajudassem na resolução, Obrigado, Leandro
[obm-l] Re: [obm-l] Interseção entre curvas
Oi O item a) eu pensei em fazer assim: existe um valor de a que faz a reta y=x não apenas intersectar mas tangenciar a curva y=a^x. Para calcular esse valor de a: a derivada nesse ponto deve ter a mesma inclinação da reta. Seja x=b no ponto em que isso ocorre. Então: a^b*ln a = 1. Também podemos escrever: (a^b - 0)/(b - 0) = a^b/b = 1(porque a reta deve passar por esse ponto e pela origem). a^b/b = a^b*ln a == ln a = 1/b == a = e^(1/b). Mas a^b/b = 1 == (e^(1/b))^b/b = 1== e/b = 1 == b = e. Logo a = e^(1/e). Mas se para esse valor de a a reta é tangente à curva, com valores maiores a curva y=a^x vai crescer muito rapido e não vai intersectar a reta. Então devemos ter a= e^(1/e). - Original Message - From: Ricardo J.Fernandes To: obm-l Sent: Saturday, May 05, 2007 7:46 AM Subject: [obm-l] Interseção entre curvas Alguém pode me ajudar com essa questão Desde já obrigado a)Para quais números positivos a a curva y=a^x intersecta a reta y=x? b)Para quais valores de c existe uma reta que intercepta a curva y=x^4+cx^3+12x^2-5x+2 em quatro pontos distintos? Abraços,Ricardo J.F.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente
Oi Derivando a equação voce tem y' = e^x. Se a reta passa pela origem o ponto (0,0) está na reta. Então precisamos de um ponto P pertencente à curva e que a reta que passa por P e por (0,0) tangencie e^x em P. Como P está na curva fazemos P = (a, e^a). Assim a inclinação da reta será (e^a - 0)/(a - 0) = e^a/a. Mas esse deve ser o valor da derivada em a logo: e^a = e^a/a == a=1. Então P = (1, e), y' em P será e^1 = e, e a reta será y - 0 = e(x - 0) == y = e*x. - Original Message - From: Diego Alex Silva To: obm-l Sent: Friday, May 04, 2007 2:56 PM Subject: [obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente Será que alguém poderia me ajudar com a seguinte questão: Encontre uma equação para uma reta tangente ao gráfico de y=e^x e que passa pela origem. Grato, Diego
Re: [obm-l] geometria de novo
oi O perímetro P de ADE é P = AD + DE + AE. Mas se a reta paralela a BC passa por I, DE = DI + IE. Se I é incentro, BI e CI são bissetrizes dos ângulos nos vértices B e C e os ângulos (DBI) = (IBC) e (ICB) = (ICE). Mas a reta que passa por DE é paralela a BC. Logo: (DIB) = (IBC) = (DBI) e (EIC) = (ICB) = (ICE). Então os triangulos DIB e EIC são isósceles. Assim: DB = DI e EI = EC. Como P = AD + DI + IE + AE temos: AD + DI = AD + DB = AB = 6 e AE + IE = AE + EC = AC = 8. Então P = 6 + 8 == P = 14. - Original Message - From: Anna Luisa To: OBM Sent: Friday, May 04, 2007 3:00 PM Subject: [obm-l] geometria de novo Por favor alguém pode me ajudar de novo. Seja ABC qualquer e I seu incentro. Considere uma reta paralela a BC que passa por I, cortando AB e AC em D e E, respectivamente. Sabendo que AB = 6 e AC = 8, determine o perímetro do triângulo ADE. De qq forma agradeço desde já. Anna.
[obm-l] Re: [obm-l] ENC: [obm-l] ajuda G. Analítica
oi O jeito que eu pensei pra resolver vai dar um monte de conta então vou falar como eu faria. No item a): Se voce quer um triangulo equilatero a altura do triangulo é perpendicular a AB e passa pelo ponto médio de AB. Então voce calcula o coeficiente angular dessa altura e faz uma equacão pra essa reta. Depois: a medida dessa altura deve ser L*raiz(3)/2 sendo L a medida de AB. A partir da equação da reta que é altura desse triangulo e da medida que deve ter a altura voce descobre os pontos. No item c): A mediana que parte de A encontra BC em (9/2 , 3/2) como vc calculou. Então já tem 2 pontos e pode calcular a equação dessa mediana. Depois escolhe qualquer ponto de AB (menos o ponto que AB e a mediana se encontram) e acha o simétrico dele em relação à mediana como voce fez no (b). A reta simétrica que vc quer passa por esse ponto e pelo ponto que AB e a mediana se cruzam. Veja se com isso já da pra resolver. - Original Message - From: Mário Pereira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 04, 2007 2:53 PM Subject: [obm-l] ENC: [obm-l] ajuda G. Analítica Olá! Já consegui resolver a letra b, somente preciso de uma ajuda para os demais problemas: Dado o triângulo de vértices A (0,1) B (3,5) e C (6,-2), a) calcular as coordenadas dos pontos J e K que formam com os vértices A e B um triângulo eqüilátero. b) calcular as coordenadas do ponto simétrico de L (3, 2), em relação à reta que passa pelos vértices B e C. OK. c) calcular a equação da reta r simétrica a reta que passa pelos pontos A e B, em relação à mediana que parte do vértice A. Neste caso (c) , a mediana que parte do vértice A encontra as coordenadas (9/2 e 3/2) A reta que passa pelos pontos A e B é: m = 4/3 reta AB : y = 4/3x + 1 e fiquei por aí . . . . . Obrigado pela atenção. Mário.
Re: [obm-l] Ajuda
oi AB/AC = 2BC/AB Mas se B é um ponto do segmento então AB + BC = AC. Substituindo: AB/(AB+BC) = 2BC/AB == AB² = 2BC(AB+BC) == AB² = 2BC*AB + 2BC² == AB² - 2BC*AB - 2BC² = 0. Agora considera essa igualdade como sendo uma equação de segundo grau e resolve para AB: delta = 4BC² + 8BC² = 12BC² == AB = (2BC + 2*raiz(3)BC)/2 (descarta a raiz negativa porque é medida de segmento) == AB = BC + raiz(3)BC == AB = BC*(1+raiz(3)) Então BC/AB = BC/BC*(1+raiz(3)) == BC/AB = 1/(1+raiz(3)) - Original Message - From: Anna Luisa To: OBM Sent: Wednesday, May 02, 2007 6:36 PM Subject: [obm-l] Ajuda Olá. Será que alguém pode me dar uma ajuda por favor. No segmento AC, toma-se um ponto B de forma que AB/AC é igual a 2 x BC/AB. Então o valor de BC/AB é? De qq forma agradeço desde já. Anna.
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
oi Ficou bem longo e o ralonso provou de um jeito bem mais curto mas fica como uma outra solução. Veja que quando o binomio (raiz(2)-1)^n for desenvolvido, para qualquer n, depois de somar os termos teremos um numero inteiro multiplicando raiz(2) e outro somado a isso. Digamos que para n=k (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b com a e b inteiros. Se fizermos m = b^2 ou m = b^2 + 1 sempre teremos raiz(m) ou raiz(m-1) um inteiro igual a b e m será inteiro. Logo devemos provar que escolhendo um desses valores para m sempre teremos a outra raiz (raiz(m) ou raiz(m-1), ou seja, a que não for igual a b) igual a a*raiz(2) e, nesse caso provamos que para todo n, m pode assumir valor inteiro. Vou tentar provar isso por indução: Seja n=1. Para esse n temos b = -1 então m deve ser igual a (-1)^2 + 1 = 2 ou (-1)^2 = 1. Resovendo achamos m = 2 então provamos para n=1. Seja n=k. Então (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b. Vamos assumir por hipótese que seja verdade que fazendo m = b^2 ou m = b^2 + 1 temos a outra raiz igual a a*raiz(2). Nesse caso, se m=b^2, raiz(m) = raiz(b^2) = b e raiz(m-1) = raiz(b^2 - 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Da mesma forma se m=b^2 + 1, raiz(m-1) = raiz(b^2+1-1) = b e raiz(m) = raiz (b^2 + 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Logo: (b^2 + 1) = a*raiz(2) ou (b^2 - 1) = a*raiz(2). Seja n=k+1. Chamando os coeficientes de c e d temos: (raiz(2)-1)^(k+1) = (raiz(2)-1)*(a*raiz(2) + b) = raiz(2)*(b-a) + 2a - b Fazemos c = b -a e d = 2a - b. Devemos provar que se m = d^2 ou m = d^2 + 1 a outra raiz (que não for igual a d) deve ser c*raiz(2). Vamos testar primeiro com m = d^2. Temos que mostrar que raiz(m-1) = raiz(d^2 -1) = c*raiz(2) == (raiz(d^2-1))^2 = 2c^2 == (2a -b)^2 - 1 = 2(b-a)^2 == 4a^2 - 4ab + b^2 - 1 = 2b^2 - 4ab + 2a^2 == 2a^2 = b^2 + 1 Mas tomamos por hipótese que raiz (b^2 + 1) = a*raiz(2) == b^2 + 1 = 2a^2. Portanto provamos para m=d^2. Agora é só repetir para n = d^2 + 1 pra completar a demonstração. - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 02, 2007 1:27 PM Subject: [obm-l] Teoria dos números Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao vi. Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m -1), sendo m=1 um inteiro. Artur
