Re: [obm-l] Cantor

[Anderson Torres]

Em 18 de abril de 2018 07:47, Claudio Buffara
 escreveu:
> Agora, uma pergunta:
>
> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
> que termina por ...)?
> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter (0,1)
> é enumerável?

Sim.

> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
> lista).
> Como pode?
>

O número gerado por este método de diagonal não pode ser racional.

Bem, a demonstração é a mesma: se este número fosse racional, ele
apareceria em algum momento, o que é impossível dado que ele nunca
será igual a nenhum dos números. Esta é a resposta do seu "deveria
falhar".


> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Ronei!
>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> >
>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
>> > wrote:
>> >>
>> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>>
>> Sim, é este o nome.
>>
>> >>
>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
>> >>> :
>> >>> > Olá, amigos!
>> >>> > Bom dia!
>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
>> >>> > que
>> >>> > eu
>> >>> > reproduzi abaixo.
>> >>> >
>> >>> >
>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> >>> > possível
>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> >>> > (...)
>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> >>> > termos
>> >>> > são iguais a zero ou um.
>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> >>> > sequência de
>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> >>> > sequência s
>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se
>> >>> > o
>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> >>> > senão, é
>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
>> >>> > de s
>> >>> > é 1;
>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>> >>> > como
>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
>> >>> > assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
>> >>> > Logo,
>> >>> > não
>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> >>> > elementos de
>> >>> > C aparecessem como imagem!
>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> >>> > construir uma
>> >>> > bijeção de N em C.
>> >>> >
>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>> >>>
>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>> >>>
>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> >>> 1 -> 0100101010101
>> >>> 2 -> 010101010101
>> >>> 3 -> 11001
>> >>> 4 -> 
>> >>> 5 -> 1110111010101
>> >>>
>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> >>> cada um dos elementos, um a um:
>> >>>
>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>> >>>
>> >>> s = 1
>> >>>
>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é
>> >>> 1):
>> >>>
>> >>> s = 10
>> >>>
>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> >>> O quarto, s = 1001...
>> >>> O quinto, s = 10010
>> >>>
>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> >>> a sequência dos opostos.
>> >>>
>> >>> Abraços,
>> >>> --
>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> >>> =
>> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>>
>> >>> =
>> >>
>> >>
>> >> --
>> 

Re: [obm-l] Cantor

[Anderson Torres]

Em 18 de abril de 2018 08:56, Claudio Buffara
 escreveu:
> Com certeza!
> Mas o que eu quero é uma prova DIRETA de que é impossível escolher os b(i)
> de modo que o número 0,b(1)b(2)b(3)... seja irracional.

Isso me parece bem mais chato, e daria a mesma volta. Parece
absurdamente natural se perguntar "se ele é racional, qual é sua
posição na lista?" e não algo como "se ele é racional, qual é o
tamanho de seu período e da parte que não repete?".

>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-18 8:32 GMT-03:00 Thácio Hahn dos Santos :
>>
>> Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja
>> racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e
>> naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo
>> todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na
>> primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por
>> diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e
>> pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que
>> são enumeráveis).
>>
>> Um abraço.
>>
>> On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>>
>>> Agora, uma pergunta:
>>>
>>> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
>>> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
>>> que termina por ...)?
>>> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
>>> (0,1) é enumerável?
>>> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
>>> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
>>> lista).
>>> Como pode?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres
>>> :

 Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
  escreveu:
 > Olá, Ronei!
 > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
 > Um abraço!
 > Luiz
 >
 >
 > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
 > wrote:
 >>
 >> Não é a tal diagonal de Cantor?

 Sim, é este o nome.

 >>
 >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 >>  escreveu:
 >>>
 >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
 >>> :
 >>> > Olá, amigos!
 >>> > Bom dia!
 >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
 >>> > que
 >>> > eu
 >>> > reproduzi abaixo.
 >>> >
 >>> >
 >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
 >>> > possível
 >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
 >>> > (...)
 >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
 >>> > termos
 >>> > são iguais a zero ou um.
 >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
 >>> > sequência de
 >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
 >>> > sequência s
 >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo:
 >>> > se o
 >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é
 >>> > 1;
 >>> > senão, é
 >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
 >>> > de s
 >>> > é 1;
 >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo
 >>> > s(n)
 >>> > como
 >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
 >>> > assim
 >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
 >>> > Logo,
 >>> > não
 >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
 >>> > elementos de
 >>> > C aparecessem como imagem!
 >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
 >>> > construir uma
 >>> > bijeção de N em C.
 >>> >
 >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s
 >>> > assim
 >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
 >>>
 >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
 >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
 >>>
 >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
 >>> 1 -> 0100101010101
 >>> 2 -> 010101010101
 >>> 3 -> 11001
 >>> 4 -> 
 >>> 5 -> 1110111010101
 >>>
 >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
 >>> cada um dos elementos, um a um:
 >>>
 >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
 >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
 >>>
 >>> s = 1
 >>>
 >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que
 >>> 

Re: [obm-l] Cantor

[Claudio Buffara]

Com certeza!
Mas o que eu quero é uma prova DIRETA de que é impossível escolher os b(i)
de modo que o número 0,b(1)b(2)b(3)... seja irracional.

[]s,
Claudio.


2018-04-18 8:32 GMT-03:00 Thácio Hahn dos Santos :

> Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja
> racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e
> naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo
> todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na
> primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por
> diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e
> pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que
> são enumeráveis).
>
> Um abraço.
>
> On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Agora, uma pergunta:
>>
>> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
>> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
>> que termina por ...)?
>> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
>> (0,1) é enumerável?
>> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
>> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
>> lista).
>> Como pode?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres 
>> :
>>
>>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>>>  escreveu:
>>> > Olá, Ronei!
>>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
>>> > Um abraço!
>>> > Luiz
>>> >
>>> >
>>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
>>> wrote:
>>> >>
>>> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>>>
>>> Sim, é este o nome.
>>>
>>> >>
>>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> >>  escreveu:
>>> >>>
>>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com>:
>>> >>> > Olá, amigos!
>>> >>> > Bom dia!
>>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
>>> que
>>> >>> > eu
>>> >>> > reproduzi abaixo.
>>> >>> >
>>> >>> >
>>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>>> >>> > possível
>>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>>> >>> > (...)
>>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>>> >>> > termos
>>> >>> > são iguais a zero ou um.
>>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>>> >>> > sequência de
>>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>>> >>> > sequência s
>>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo:
>>> se o
>>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>>> >>> > senão, é
>>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
>>> de s
>>> >>> > é 1;
>>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>>> >>> > como
>>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
>>> assim
>>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
>>> Logo,
>>> >>> > não
>>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>>> >>> > elementos de
>>> >>> > C aparecessem como imagem!
>>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>>> >>> > construir uma
>>> >>> > bijeção de N em C.
>>> >>> >
>>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>>> >>>
>>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>>> >>>
>>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>>> >>> 1 -> 0100101010101
>>> >>> 2 -> 010101010101
>>> >>> 3 -> 11001
>>> >>> 4 -> 
>>> >>> 5 -> 1110111010101
>>> >>>
>>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>>> >>> cada um dos elementos, um a um:
>>> >>>
>>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>>> >>>
>>> >>> s = 1
>>> >>>
>>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que
>>> é 1):
>>> >>>
>>> >>> s = 10
>>> >>>
>>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>>> >>> O quarto, s = 1001...
>>> >>> O quinto, s = 10010
>>> >>>
>>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal 

Re: [obm-l] Cantor

[Thácio Hahn dos Santos]

Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja
racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e
naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo
todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na
primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por
diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e
pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que
são enumeráveis).

Um abraço.

On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara 
wrote:

> Agora, uma pergunta:
>
> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
> que termina por ...)?
> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
> (0,1) é enumerável?
> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
> lista).
> Como pode?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres :
>
>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Ronei!
>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> >
>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
>> wrote:
>> >>
>> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>>
>> Sim, é este o nome.
>>
>> >>
>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com>:
>> >>> > Olá, amigos!
>> >>> > Bom dia!
>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
>> que
>> >>> > eu
>> >>> > reproduzi abaixo.
>> >>> >
>> >>> >
>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> >>> > possível
>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> >>> > (...)
>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> >>> > termos
>> >>> > são iguais a zero ou um.
>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> >>> > sequência de
>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> >>> > sequência s
>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo:
>> se o
>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> >>> > senão, é
>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
>> de s
>> >>> > é 1;
>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>> >>> > como
>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
>> assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
>> Logo,
>> >>> > não
>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> >>> > elementos de
>> >>> > C aparecessem como imagem!
>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> >>> > construir uma
>> >>> > bijeção de N em C.
>> >>> >
>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>> >>>
>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>> >>>
>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> >>> 1 -> 0100101010101
>> >>> 2 -> 010101010101
>> >>> 3 -> 11001
>> >>> 4 -> 
>> >>> 5 -> 1110111010101
>> >>>
>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> >>> cada um dos elementos, um a um:
>> >>>
>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>> >>>
>> >>> s = 1
>> >>>
>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é
>> 1):
>> >>>
>> >>> s = 10
>> >>>
>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> >>> O quarto, s = 1001...
>> >>> O quinto, s = 10010
>> >>>
>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> >>> a sequência dos opostos.
>> >>>
>> >>> Abraços,
>> >>> --
>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> =
>> >>> Instru�ões para 

Re: [obm-l] Cantor

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-04-18 7:47 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Agora, uma pergunta:
>
> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
> que termina por ...)?
> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter (0,1)
> é enumerável?
> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
> lista).
> Como pode?

Adorei!  Claudio, ótimo "fora da caixa".

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cantor

[Claudio Buffara]

Agora, uma pergunta:

E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
que termina por ...)?
Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
(0,1) é enumerável?
Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
lista).
Como pode?

[]s,
Claudio.


2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> > Olá, Ronei!
> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
> > Um abraço!
> > Luiz
> >
> >
> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
> wrote:
> >>
> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>
> Sim, é este o nome.
>
> >>
> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >>  escreveu:
> >>>
> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>> > Olá, amigos!
> >>> > Bom dia!
> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
> que
> >>> > eu
> >>> > reproduzi abaixo.
> >>> >
> >>> >
> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
> >>> > possível
> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> >>> > (...)
> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
> >>> > termos
> >>> > são iguais a zero ou um.
> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
> >>> > sequência de
> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
> >>> > sequência s
> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se
> o
> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
> >>> > senão, é
> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
> de s
> >>> > é 1;
> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
> >>> > como
> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
> assim
> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
> Logo,
> >>> > não
> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
> >>> > elementos de
> >>> > C aparecessem como imagem!
> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
> >>> > construir uma
> >>> > bijeção de N em C.
> >>> >
> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
> >>>
> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
> >>>
> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
> >>> 1 -> 0100101010101
> >>> 2 -> 010101010101
> >>> 3 -> 11001
> >>> 4 -> 
> >>> 5 -> 1110111010101
> >>>
> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
> >>> cada um dos elementos, um a um:
> >>>
> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
> >>>
> >>> s = 1
> >>>
> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é
> 1):
> >>>
> >>> s = 10
> >>>
> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
> >>> O quarto, s = 1001...
> >>> O quinto, s = 10010
> >>>
> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
> >>> a sequência dos opostos.
> >>>
> >>> Abraços,
> >>> --
> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>>
> >>>
> >>> 
> =
> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>> 
> =
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 

Re: [obm-l] Cantor

[Anderson Torres]

Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
> Olá, Ronei!
> Fiz essa pergunta para o Bernardo...
> Um abraço!
> Luiz
>
>
> On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró  wrote:
>>
>> Não é a tal diagonal de Cantor?

Sim, é este o nome.

>>
>> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>  escreveu:
>>>
>>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>> > Olá, amigos!
>>> > Bom dia!
>>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que
>>> > eu
>>> > reproduzi abaixo.
>>> >
>>> >
>>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>>> > possível
>>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>>> > (...)
>>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>>> > termos
>>> > são iguais a zero ou um.
>>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>>> > sequência de
>>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>>> > sequência s
>>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
>>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>>> > senão, é
>>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
>>> > é 1;
>>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>>> > como
>>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
>>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
>>> > não
>>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>>> > elementos de
>>> > C aparecessem como imagem!
>>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>>> > construir uma
>>> > bijeção de N em C.
>>> >
>>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>>>
>>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>>>
>>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>>> 1 -> 0100101010101
>>> 2 -> 010101010101
>>> 3 -> 11001
>>> 4 -> 
>>> 5 -> 1110111010101
>>>
>>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>>> cada um dos elementos, um a um:
>>>
>>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>>>
>>> s = 1
>>>
>>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>>>
>>> s = 10
>>>
>>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>>> O quarto, s = 1001...
>>> O quinto, s = 10010
>>>
>>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>>> a sequência dos opostos.
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cantor

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Bernardo!
Muito obrigado!
Ficou claro!
Essa diagonal é a "diagonal de Cantor"?
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 15, 2018, 7:04 AM Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> wrote:

> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> > Olá, amigos!
> > Bom dia!
> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> > reproduzi abaixo.
> >
> >
> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> > (...)
> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> > são iguais a zero ou um.
> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
> sequência de
> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
> sequência s
> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
> senão, é
> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
> é 1;
> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
> não
> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
> elementos de
> > C aparecessem como imagem!
> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
> uma
> > bijeção de N em C.
> >
> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>
> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>
> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
> 1 -> 0100101010101
> 2 -> 010101010101
> 3 -> 11001
> 4 -> 
> 5 -> 1110111010101
>
> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
> cada um dos elementos, um a um:
>
> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>
> s = 1
>
> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>
> s = 10
>
> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
> O quarto, s = 1001...
> O quinto, s = 10010
>
> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
> a sequência dos opostos.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Ronei!
Fiz essa pergunta para o Bernardo...
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró  wrote:

> Não é a tal diagonal de Cantor?
>
> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>> > Olá, amigos!
>> > Bom dia!
>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que
>> eu
>> > reproduzi abaixo.
>> >
>> >
>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> possível
>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> > (...)
>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> termos
>> > são iguais a zero ou um.
>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> sequência de
>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> sequência s
>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> senão, é
>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
>> é 1;
>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
>> não
>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> elementos de
>> > C aparecessem como imagem!
>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> construir uma
>> > bijeção de N em C.
>> >
>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>>
>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>>
>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> 1 -> 0100101010101
>> 2 -> 010101010101
>> 3 -> 11001
>> 4 -> 
>> 5 -> 1110111010101
>>
>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> cada um dos elementos, um a um:
>>
>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>>
>> s = 1
>>
>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>>
>> s = 10
>>
>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> O quarto, s = 1001...
>> O quinto, s = 10010
>>
>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> a sequência dos opostos.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

[Ronei Lima Badaró]

Não é a tal diagonal de Cantor?

Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> > Olá, amigos!
> > Bom dia!
> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> > reproduzi abaixo.
> >
> >
> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> > (...)
> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> > são iguais a zero ou um.
> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
> sequência de
> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
> sequência s
> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
> senão, é
> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
> é 1;
> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
> não
> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
> elementos de
> > C aparecessem como imagem!
> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
> uma
> > bijeção de N em C.
> >
> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>
> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>
> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
> 1 -> 0100101010101
> 2 -> 010101010101
> 3 -> 11001
> 4 -> 
> 5 -> 1110111010101
>
> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
> cada um dos elementos, um a um:
>
> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>
> s = 1
>
> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>
> s = 10
>
> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
> O quarto, s = 1001...
> O quinto, s = 10010
>
> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
> a sequência dos opostos.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> Olá, amigos!
> Bom dia!
> Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> reproduzi abaixo.
>
>
> A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> (...)
> Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> são iguais a zero ou um.
> Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada sequência de
> C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma sequência s
> formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; senão, é
> zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s é 1;
> senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo, não
> pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os elementos de
> C aparecessem como imagem!
> Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir uma
> bijeção de N em C.
>
> Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."

Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.

Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
1 -> 0100101010101
2 -> 010101010101
3 -> 11001
4 -> 
5 -> 1110111010101

Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
cada um dos elementos, um a um:

O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:

s = 1

O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):

s = 10

O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
O quarto, s = 1001...
O quinto, s = 10010

Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
a sequência dos opostos.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Cantor

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, amigos!
Bom dia!
Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
reproduzi abaixo.


A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
(...)
Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
são iguais a zero ou um.
Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada sequência
de C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
sequência s formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte
modo: se o primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é
1; senão, é zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo
termo de s é 1; senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo
termo s(n) como sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A
sequência s assim construída difere pelo menos na posição n de cada
sequência f(n). Logo, não pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era
de que todos os elementos de C aparecessem como imagem!
Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
uma bijeção de N em C.

Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
Agradeço a ajuda e peço duas coisas:  desculpas pela ignorância e a
indicação de um livro sobre este assunto...
Um grande abraço!
Luiz

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] cantor (nível uni)

[Bruno Lima]

Definir uma função f: R-R que se anula somente no conjunto de Cantor (tradicional) tal que:

1- f é contínua. (sugestao usar distancia de ponto a um conjunto.) 
2- f é de classe C^1Yahoo! Mail 
Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.