[obm-l] Cochilo na aula de algebra
Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas." Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Title: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra Oi, Fael: Veja a solucao do Yuri. Um abraco, Claudio. on 09.08.03 22:18, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que a[n] eh divisor de q e a[0] eh divisor de p. No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto 2^10 dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024} Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante) me corrija. Em uma mensagem de 9/8/2003 20:11:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas." Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
> Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., > x_10, então pelas relações de Girard temos: > x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 > x_1.x_2...x_10= 1024 > Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA >= MG: > (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 >= (x_1.x_2...x_10)^(1/10) => > 20/10 >= (1024)^(1/10) => 2 >= 2 > Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo > 10.x_1=20 => x_1= x_2=...= x_10= 2. Yuri, Tá certo, a solução é muito boa... Mas como você pensou em usar MA e MG? Já conhecia o problema (ou algum parecido?) E se, no caso, as médias fossem diferentes? Não daria pra sair daí? Desculpe pela dúvida um tanto quanto "idiota", mas não custa perguntar... Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Você não pode usar isso assim, pois nada assegura que todos os divisores de 1024 são raízes da equação. De fato, o teorema nos diz que, SE um polinômio f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. No problema, só temos o dado que as raízes são todas reais e positivas e, logo, pode haver raizes irracionais. Abraço, Henrique. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 09, 2003 10:18 PM Subject: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que a[n] eh divisor de q e a[0] eh divisor de p. No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto 2^10 dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024} Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante) me corrija. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Eh isso mesmo! Mandei esse problema porque achei uma aplicacao inusitada da desigualdade MG <= MA. Um abraco, Claudio. on 09.08.03 20:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., > x_10, então pelas relações de Girard temos: > x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 > x_1.x_2...x_10= 1024 > Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA >= MG: > (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 >= (x_1.x_2...x_10)^(1/10) => > 20/10 >= (1024)^(1/10) => 2 >= 2 > Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo > 10.x_1=20 => x_1= x_2=...= x_10= 2. > Ateh mais, > Yuri > > -- Mensagem original -- > >> Caros colegas: >> >> Aqui vai um bonitinho: >> >> Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o >> professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao > reais >> e positivas." >> >> Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau >> que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar >> feito um maluco. >> >> Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo >> de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que >> o >> termo constante era +1024. >> >> Pergunta: Quais as raizes da equacao? >> >> Um abraco, >> Claudio. >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> = >> > > []'s, Yuri > ICQ: 64992515 > > > -- > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que a[n] eh divisor de q e a[0] eh divisor de p. No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto 2^10 dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024} Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante) me corrija. Em uma mensagem de 9/8/2003 20:11:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas." Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Oi Henrique, A motivação disso foi o enunciado dizer que todas as raízes são reais e positivas. Nada melhor do que média nesse caso!! Se não houvesse igualdade, nada garantiria que as raízes fossem todas iguais a 2. De fato, poderiam haver várias possibilidades para o conjunto das dez raízes. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- >> Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., >> x_10, então pelas relações de Girard temos: >> x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 >> x_1.x_2...x_10= 1024 >> Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA >= MG: >> (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 >= (x_1.x_2...x_10)^(1/10) => >> 20/10 >= (1024)^(1/10) => 2 >= 2 >> Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo >> 10.x_1=20 => x_1= x_2=...= x_10= 2. > >Yuri, >Tá certo, a solução é muito boa... Mas como você pensou em usar MA e MG? >Já >conhecia o problema (ou algum parecido?) >E se, no caso, as médias fossem diferentes? Não daria pra sair daí? >Desculpe pela dúvida um tanto quanto "idiota", mas não custa perguntar... > >Grato, >Henrique. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA >= MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 >= (x_1.x_2...x_10)^(1/10) => 20/10 >= (1024)^(1/10) => 2 >= 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 => x_1= x_2=...= x_10= 2. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- >Caros colegas: > >Aqui vai um bonitinho: > >Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o >professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais >e positivas." > >Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau >que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar >feito um maluco. > >Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo >de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que >o >termo constante era +1024. > >Pergunta: Quais as raizes da equacao? > >Um abraco, >Claudio. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =