RE: [obm-l] Como se resolve esse problema?
no triângulo EOD determinamos o tamanho de ED pela lei dos cossenos, pois sabemos o ângulo 30° o lado EO (raio/2) e o lado OD (raio) -taí porque o diâmetro tem uma raiz de três- assim pela potência do ponto E descobrimos o tamanho de EC. Dessa forma temos nos dois triângulos AEC e BED um de seus ângulos (30°) e o tamanho dos lados que o determinam. assim temos a área de cada triângulo com a metade do produto dos lados pelo seno de 30° Date: Mon, 12 Apr 2010 16:11:57 -0700 From: adrianoemi...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Como se resolve esse problema? To: obm-l@mat.puc-rio.br O diâmetro AB de um círculo mede 8 raiz quadrada de 3 e uma corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO e ponto de interseção entre a corda CD com o diâmetro AB, onde O é o centro do círculo, a área da região AEC+ BED, mede? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ O Internet Explorer 8 quer te ajudar a navegar seguro. Entre aqui para ler as dicas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] Como se resolve esse problema?
O diâmetro AB de um círculo mede 8 raiz quadrada de 3 e uma corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO e ponto de interseção entre a corda CD com o diâmetro AB, onde O é o centro do círculo, a área da região AEC+ BED, mede? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Como se resolve esse problema?
O diâmetro AB de um círculo mede 8 raiz quadrada de 3 e uma corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO e ponto de interseção entre a corda CD com o diâmetro AB, onde O é o centro do círculo, a área da região AEC+ BED, mede?
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a
primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de
novo caso outros tenham perdido a resposta tb!
On 8/23/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] wrote:
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG - http://www.avg.com
Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008
18:54
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ok Rafael... perdão não vi sua resposta mesmo...
é que não estava junto desse e-mail, mas indo um pouco lá atrás acabei de
encontrá-la...
Bom... próxima vez que eu for responder algo me certificarei de que a
resposta já não foi postada...
Desculpe-me de novo!
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sábado, 23 de agosto de 2008 04:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a
primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de
novo caso outros tenham perdido a resposta tb!
On 8/23/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] wrote:
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil
uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode
parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para
resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais
é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente
pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} +
7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e
efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma
a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora?
(com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos
precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de
2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis dizer 2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Dá 6 exato. Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis dizer 2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse no denominador, I resultado nao seria inteiro... On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: Dá 6 exato. Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis dizer 2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael -- Rafael -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG - http://www.avg.com
Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008
18:54
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG - http://www.avg.com
Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008
18:54
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Vou usar a notacao: (a,b) = a + b*sqrt(2). Reescrevendo a expressao fica: (3,2)^2008 / (7,5)^1338 + (3,-2) = (3,2)^670 * [ (3,2)/(7,5) ] ^ 1338 + (3,-2) = Fazendo a conta: (3,2)/(7,5) = (3,2)(7,-5) / (7,5)(7,-5) = (-1,1). (-1,1)^2 = (3,-2), entao a expressao fica: (3,2)^670 * (3,-2)^669 + (3,-2) = (3,2)* [(3,2)(3,-2) ]^669 + (3,-2) = (3,2)* 1^669 + (3,-2) = 6 Logo, resposta d. On Wed, Aug 20, 2008 at 10:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo.
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael
Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Somado. Em 21/08/08, Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] escreveu: O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael
[obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo.
[obm-l] Como se resolve isto?
Sabe-se que a^3 - 3a +1 = 93 e K = a^4 - 6a + 1. Logo, K também pode ser expresso por: a) 3a^2 + 86a + 1 b) 3a^2 + 84a + 1Resp. A c) 6a^2 + 86a + 1 d) 6a^2 + 84a + 1 e) 9a^2 + 86a + 1
Re: [obm-l] Como se resolve isto?
Multiplicando ambos os termos da 1ª equação por a, tem-se: a*(a^3 - 3a + 1) = a*93 a^4 - 3a^2 +a = 93a Donde: a^4 = 3a^2 + 92a Substituindo este valor encontrado na equação de k, vem: k = (3a^2 + 92a) - 6a + 1 k = 3a^2 + 86a + 1 Esta questao é do Colegio Naval de 2007. []'s Martins Rama. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como se resolve?
Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O veterinário dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k), em metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por V(k)= k^3+2k^2-k+14, k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos) de ração dada a cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros, pode-se concluir que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume de ração foi: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como se resolve?
Oi Pra resolver eu considerei que se V(k) é divisivel por 4 então as raças receberam a mesma quantidade. Mas pelo que eu entendi do problema não tem nada que garante que isso é verdade.No primeiro dia, por exemplo, o volume foi 16 mas as raças podem ter recebido 5,3,2,6... Pra achar quantos dias V(k) é divisivel por quatro, ou seja, k^3/4 + k^2/2 -k/4 + 7/2 é um numero inteiro: primeiro, seja k um multiplo de quatro. Então k^3/4+k^2/2-k/4 é um numero inteiro, mas 7/2 não é. Portanto, em nenhum multiplo de 4 a quantidade foi igual. Seja k um multiplo de 2 (mas não de 4). Então k^3/4 + k^2/2 é um numero inteiro e k/4 deixa resto 1. Mas 7/2 também deixa resto 1. Logo, em todo multiplo apenas de 2 a quantidade foi igual e entre 1 e 58 há 15 deles. Seja k um número impar. Fazendo k=2n+1 fica: (8n³ + 12n² + 6n + 1)/4 + (4n² + 4n + 1)/2 + 7/2 - (2n + 1)/4 = (8n³ + 12n² + 4n)/4 + (4n²+4n+8)/2 que é inteiro. Então em todo dia impar as raças receberam a mesma quantidade de ração e há 29 dias impares. Assim: 29+15=44 dias. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 01, 2007 3:06 PM Subject: [obm-l] Como se resolve? Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O veterinário dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k), em metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por V(k)= k^3+2k^2-k+14, k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos) de ração dada a cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros, pode-se concluir que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume de ração foi: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como se resolve limite?
Tentando esclarecer isso aqui um pouquinho. De modo um tanto informal, consideremos uma funcao definida em um subconjunto dominio D dos reais e com valores tambem nos reais. Seja a um ponto de acumulacao de D, isto eh um ponto que pode ou nao pertencer a D e que apresenta a prppriedade de que qualquer intervalo aberto contendo a, por menor que seja seu comprimento, contem um elemento de D distinto do proprio a. Informalmente falado, eh um ponto colado no conjunto. Dizemos que f apresenta limite L em a se, atribuindo-se a x valores suficientemente proximos de a, conseguirmos fazer com que a imagem f(x) esteja tao proxima de L quanto quisermos. Podemos pensar no processo de limite como um jogo: Vc defende a tese de que lim (x - a) f(x) = L. Seu adversario quer derrubar esta tese. Em cada lance ele apresentar um valor positivo de epsilon, aquela letra grega tradicionalmente usada nos processos de limite (epsilon nada tem de cabalistico, designa simplesmente um numero positivo. O fato de se usar epsilon eh porque Lebinitz assim fez seculos atras e a moda pegou). Vc, em contra partida, deve apresentar um valor de delta (outra letra grega que pareceu simpatica a Leibinitz e que tambem resistiu aos seculos) tal que, se a sua variavel x for diferente de a e satisfizer a |x - a| delta, entao a imagem da funcao f(x) devera satisfazer a |f(x) - L| epsilon. Se em algum lance vc nao conseguir apresentar o adequado valor de delta, entao vc perdeu. E para vc ganhar, eh necessario que vc consiga encontra um adequado valor de delta qualquer que seja o epsilon dado pelo seu adversario. Aparentemente eh um jogo injusto para vc, mas se for realmente verdade que lim (x -a) f(x) = L, entao seu adversario pode passar a eternidade produzindo epsilons que vc sempre tera um adequado valor para delta. O unico problema eh que vc nmao vivera o suficiente para usufuir o premio. Vejamos um exemplo bem simples, o da funcao f(x) = x. Eu afirmo que lim (x - 0) f(x) = 0. Verificamos facialmente que, para que |f(x) - 0| = |f(x)| epsilon, basta fazermos |x| epsilon. Neste caso simples, basta fazer delta = epsilon. Assim, sempre que meu adversario apresentar um epsilon, eu simplesmente faco delta = epsilon e ganho todos os lances. Agora, ainda para a funcao f(x) = x, suponhamos que alguem defenda que lim (x - 0 ) f(x) = 1. Para derruba-lo, basta apresntar um valor de epsilon para o qual ele nao consiga um delta adequado. Logo no primeiro lance eu apresento epsilon = 0,5. Ora, para |x| 0,5, temos |f(x) - 0| = |f(x)| = |x| 0,5, de modo que |f(x) -1| = |x -1| 0,5 = epsilon . Por menor que seja o delta que meu adversario apresente, em (- delta, delta) sempre havera valores de x para os quais |f(x) - 1| epsilon, ficando assim derrubada a hipotese de que lim (x - 0 ) f(x) = 1. Eu ganho o jogo logo no primeiro lance. Por mais complicada que seja a funcao, o chamado processo epsilon delta de limite eh sempre asim. Existem outras definicoes de limite, mas no caso de funcoes de R em R sao sempre equivalentes aa definicao epsilon delta. Existem ainda limitres quando a variavel nao tende a um numero real, mas stende a + oo ou - oo. O tratamento eh similar. Abracos Artur ashington [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem. Conceito de limite(retirado de um site em inglês): Um função f(z) tem um limite lim(z-a) f (z)=c se para todo e0 que existe um o(um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) 0 de tal forma que | f (z) - c| e quando 0 | z-a | o(novamente um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de definição delta ipsilon. Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z- a)? E f (z)=c para todo e0?? Não sei o que é f(z)=c nem e0. Quem é e? Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto? Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como posso aprender essas coisas? Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se aproximar um número de zero(um número tende a outro,mas nunca é igual). Com
RE: [obm-l] Como se resolve limite?
Se eu fosse vc mudaria de curso ou trancaria a matéria. Pq se o seu prof ja entrou em derivadas, e visto que vc tem outras matérias para estudar, não tem como aprender em pouco tempo.Qual faculdade vc estuda?Esses teoremas a que vc se refere me parece que é fatoração.É isso mesmo?Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema?Calculo 1 é uma matéria simples!!E se vc estuda em faculdade federal é melhor se acostumar com o tipo de professor!!Abraço e me desculpe se fui grosso,Luiz H. B. Rocha
RE: [obm-l] Como se resolve limite?
Não,não foi grosso,só foi objetivo e vou responder da mesma forma. ;-)A universidade eu prefiro não dizer em razão da discriminação que acontece em todo lugar. Uma lista de discussão não seria diferente. O que posso dizer é que é universidade conceituada e paga. Professores excelentes,com mestrado,doutorado,entre outras especializações,mas os alunos,como em muitos lugares,não aprendem a fundo. Posso colocar como culpado o ensino tradicional que não incentiva o aprendiz a pensar. Simplesmente joga fórmulas na cara da pessoa e quem quiser que se vire.Eu não tranco a matéria porque sou persistente e tenho esperança de ser aprovado. Não mudo de curso porque vou muito bem em algoritmos(programação),adoro criar programas. Meu problema mesmo são nas cadeiras que envolvem matemática muito teórica.Se cálculo I é matéria simples,eu não consigo entender como tantos alunos não sabem me responder nada do que pergunto. Converso com alunos de universidades estaduais,federais,particulares,de cursos de ciência da computação,engenharia,engenharia de produção,etc e não sabem(ou talvez tenham certa alergia à matemática,visto que poucas pessoas gostam de raciocinar). Não são tantos,mas não posso ficar procurando gente nesses lugares só com esse interesse.Pergunte sobre o que passou numa novela,que rapidamente vc tem uma resposta. Agora,pergunte sobre matemática que a maioria faz ih. Se entende,não quer compartilhar o que sabe.Meu professor disse que os alunos estudassem muito porque é a cadeira que mais reprova. "Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema?"Não sei diferenciar teorema de uma fórmula.Como livros não ajudam,procuro o dicionário. Teorema,segundo ele,é uma proposição que pra ser admitida,precisa de uma demonstração."Luiz H. Barbosa" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se eu fosse vc mudaria de curso ou trancaria a matéria. Pq se o seu prof ja entrou em derivadas, e visto que vc tem outras matérias para estudar, não tem como aprender em pouco tempo.Qual faculdade vc estuda?Esses teoremas a que vc se refere me parece que é fatoração.É isso mesmo?Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema?Calculo 1 é uma matéria simples!!E se vc estuda em faculdade federal é melhor se acostumar com o tipo de professor!!Abraço e me desculpe se fui grosso,Luiz H. B. Rocha Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Como se resolve limite?
Washington wrote: Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema? Não sei diferenciar teorema de uma fórmula. Isso não é nem um teorema e nem uma fórmula, é uma proposição falsa. O correto seria a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Como se resolve limite?
Bom, nesta lista sempre se consegue ajuda, a menos que seja um assunto que ninguém aqui conheca ou um problemaque ninguém aqui consigaresolver. Mas quando a questão é muito geral, como uma pergunta sobre o que eh limite ou o que eh derivada, aih a solucao eh mesmo consultar um bom livro e, depois de adquirir algum conhecimentom sobre o assunto, aih sim mandar dúvidas mais específicas para esta lista, se vc nao conseguir uma ajuda com um professor ou um colega. Eh um fato que poucas pessoas gostam de matematica e tem interesse em estuda-la mais a fundo.Eu fiz engenharia, uma cadeira tradicionalmente conhecida como exata, portanto baseada, ao menos em parte, em matematica, e encontrei muito poucos colegas interessados em compreende-la mais a fundo. Se vc perguntar aa maioria dos estudantes de engenharia ou aos que ja se formaram a definicao de limite, aposto que muito poucos saberão dizer. Dentre todos os meus colegas de curso de engenharia, eu sou o unico que me interessei em estudar assuntosque a grande maioria considera teoricos, sem objetivo pratico e, ateh mesmo, conforme dizem alguns, uma verdadeira frescura. Acredito que muitos dos colegas aqui da lista tenham tido experiencias similares. Eu, por exemplo, gosto de Analise e sempre que posso estudo assuntos naocobertos em cursos de engenharia, como integral de Lebesgue. Mas muita gente que ve aquelas "cobrinhas" que aparecem em integrais diz que nao servem para nada e eh perda de tempo e dinheiro estudar tais assuntos.Pra mim teve uma utilidade concreta,estudar estes conceitos e entende-los, na medida do possivele da minha capacidade, me fez mais feliz. E isso vale para todos os ramos da matematica.E estou certo que vale em qualquer ramo do conhecimento. Mas para evoluir em matematica eh mesmo fundamental gostar, estar disposto a raciocinar, a investir fosfato.Quem só estuda para passar na faculdade dificilmente evoluirah muito. Mas, para a maioria, estudos mais profundos nao sao mesmo necessarios. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de WashingtonEnviada em: quinta-feira, 14 de setembro de 2006 12:31Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RE: [obm-l] Como se resolve limite?Não,não foi grosso,só foi objetivo e vou responder da mesma forma. ;-)A universidade eu prefiro não dizer em razão da discriminação que acontece em todo lugar. Uma lista de discussão não seria diferente. O que posso dizer é que é universidade conceituada e paga. Professores excelentes,com mestrado,doutorado,entre outras especializações,mas os alunos,como em muitos lugares,não aprendem a fundo. Posso colocar como culpado o ensino tradicional que não incentiva o aprendiz a pensar. Simplesmente joga fórmulas na cara da pessoa e quem quiser que se vire.Eu não tranco a matéria porque sou persistente e tenho esperança de ser aprovado. Não mudo de curso porque vou muito bem em algoritmos(programação),adoro criar programas. Meu problema mesmo são nas cadeiras que envolvem matemática muito teórica.Se cálculo I é matéria simples,eu não consigo entender como tantos alunos não sabem me responder nada do que pergunto. Converso com alunos de universidades estaduais,federais,particulares,de cursos de ciência da computação,engenharia,engenharia de produção,etc e não sabem(ou talvez tenham certa alergia à matemática,visto que poucas pessoas gostam de raciocinar). Não são tantos,mas não posso ficar procurando gente nesses lugares só com esse interesse.Pergunte sobre o que passou numa novela,que rapidamente vc tem uma resposta. Agora,pergunte sobre matemática que a maioria faz ih. Se entende,não quer compartilhar o que sabe.Meu professor disse que os alunos estudassem muito porque é a cadeira que mais reprova. "Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema?"Não sei diferenciar teorema de uma fórmula.Como livros não ajudam,procuro o dicionário. Teorema,segundo ele,é uma proposição que pra ser admitida,precisa de uma demonstração."Luiz H. Barbosa" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se eu fosse vc mudaria de curso ou trancaria a matéria. Pq se o seu prof ja entrou em derivadas, e visto que vc tem outras matérias para estudar, não tem como aprender em pouco tempo.Qual faculdade vc estuda?Esses teoremas a que vc se refere me parece que é fatoração.É isso mesmo?Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema?Calculo 1 é uma matéria simples!!E se vc estuda em faculdade federal é melhor se acostumar com o tipo de professor!!Abraço e me desculpe se fui grosso,Luiz H. B. Rocha Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
RE: RES: [obm-l] Como se resolve limite?
Estou com o Arthur tambem. Da minha turma de engenharia eletrica, fui o unico que foi fazer um mestrado em matematica pois tinha tambem curiosidade em Analise, Geometria Diferencial e EDP. Nao me arrependi em nenhum momento e estudo esses assuntos ate hoje. Quando nao entendo algo, eu leio umas 10 vezes e se tenho que voltar a outros conceitos mais basicos , eu o faco sem problema. O ponto e ter persistencia e vontade de entender. Admiro muito a contribuicao do Arthur, Nicolau, Gugu, Claudio Buffara e outros nessa lista. Leandro Los Angeles, CA From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] Como se resolve limite? Date: Thu, 14 Sep 2006 16:09:02 -0300 Bom, nesta lista sempre se consegue ajuda, a menos que seja um assunto que ninguém aqui conheca ou um problema que ninguém aqui consiga resolver. Mas quando a questão é muito geral, como uma pergunta sobre o que eh limite ou o que eh derivada, aih a solucao eh mesmo consultar um bom livro e, depois de adquirir algum conhecimentom sobre o assunto, aih sim mandar dúvidas mais específicas para esta lista, se vc nao conseguir uma ajuda com um professor ou um colega. Eh um fato que poucas pessoas gostam de matematica e tem interesse em estuda-la mais a fundo. Eu fiz engenharia, uma cadeira tradicionalmente conhecida como exata, portanto baseada, ao menos em parte, em matematica, e encontrei muito poucos colegas interessados em compreende-la mais a fundo. Se vc perguntar aa maioria dos estudantes de engenharia ou aos que ja se formaram a definicao de limite, aposto que muito poucos saberão dizer. Dentre todos os meus colegas de curso de engenharia, eu sou o unico que me interessei em estudar assuntos que a grande maioria considera teoricos, sem objetivo pratico e, ateh mesmo, conforme dizem alguns, uma verdadeira frescura. Acredito que muitos dos colegas aqui da lista tenham tido experiencias similares. Eu, por exemplo, gosto de Analise e sempre que posso estudo assuntos nao cobertos em cursos de engenharia, como integral de Lebesgue. Mas muita gente que ve aquelas cobrinhas que aparecem em integrais diz que nao servem para nada e eh perda de tempo e dinheiro estudar tais assuntos. Pra mim teve uma utilidade concreta, estudar estes conceitos e entende-los, na medida do possivel e da minha capacidade, me fez mais feliz. E isso vale para todos os ramos da matematica. E estou certo que vale em qualquer ramo do conhecimento. Mas para evoluir em matematica eh mesmo fundamental gostar, estar disposto a raciocinar, a investir fosfato. Quem só estuda para passar na faculdade dificilmente evoluirah muito. Mas, para a maioria, estudos mais profundos nao sao mesmo necessarios. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Washington Enviada em: quinta-feira, 14 de setembro de 2006 12:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Como se resolve limite? Não,não foi grosso,só foi objetivo e vou responder da mesma forma. ;-) A universidade eu prefiro não dizer em razão da discriminação que acontece em todo lugar. Uma lista de discussão não seria diferente. O que posso dizer é que é universidade conceituada e paga. Professores excelentes,com mestrado,doutorado,entre outras especializações,mas os alunos,como em muitos lugares,não aprendem a fundo. Posso colocar como culpado o ensino tradicional que não incentiva o aprendiz a pensar. Simplesmente joga fórmulas na cara da pessoa e quem quiser que se vire. Eu não tranco a matéria porque sou persistente e tenho esperança de ser aprovado. Não mudo de curso porque vou muito bem em algoritmos(programação),adoro criar programas. Meu problema mesmo são nas cadeiras que envolvem matemática muito teórica. Se cálculo I é matéria simples,eu não consigo entender como tantos alunos não sabem me responder nada do que pergunto. Converso com alunos de universidades estaduais,federais,particulares,de cursos de ciência da computação,engenharia,engenharia de produção,etc e não sabem(ou talvez tenham certa alergia à matemática,visto que poucas pessoas gostam de raciocinar). Não são tantos,mas não posso ficar procurando gente nesses lugares só com esse interesse. Pergunte sobre o que passou numa novela,que rapidamente vc tem uma resposta. Agora,pergunte sobre matemática que a maioria faz ih. Se entende,não quer compartilhar o que sabe. Meu professor disse que os alunos estudassem muito porque é a cadeira que mais reprova. Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema? Não sei diferenciar teorema de uma fórmula. Como livros não ajudam,procuro o dicionário. Teorema,segundo ele,é uma proposição que pra ser admitida,precisa de uma demonstração. Luiz H. Barbosa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se eu fosse vc mudaria de curso ou trancaria a matéria. Pq se o seu prof ja entrou em derivadas, e visto que vc tem outras matérias para estudar, não tem como aprender
Re: [obm-l] Como se resolve limite?
A que ponto chegamos heimTudo bem Ricardo, somente me distrai e coloquei um 2 multiplicando o fator ab. Deve ser o vicio do quadrado da soma de dois termos.Não precisa mandar uma mensagem para corrigir um erro que todo mundo sabe que foi na hora de digitar!!!Quanto ao nosso amigo que é bom em programação:Se vc faz engenharia e tem arrepios quando escuta falar em calculo I(lim, derivada e integral), não sei no que nisso pode dar, provavelmente vai perder todos os pelos quando tiver contato com equações diferenciais, séries,..., transformada de laplace etc. Se acha que existe programação sem calculo, só se for em outra área que não seja engenharia. Estou no 6° periodo de engenharia, trabalho com CFD e não me vejo implementando um programa sem os conceitos de derivadas parciais, séries de Taylor etc (Ou seja, calculos)...Quanto a sua faculdade, não se preocupe em dizer o nome por ser particular, pq sei que os maiores nomes desta lista trabalham nelas,PUC por exemplo.Aqui não há discriminação quanto a faculdade!Quanto aos alunos de hj em dia que só sabem ver novelas e aplicar formulas:Na minha sala deve ter uns 20 alunos e não vejo ninguem correndo de explicações pq não sabem responder. Pode acontecer do cara perguntar e vc ter seus próprios problemas para resolver e não querer ajudar o cidadão.Isso acontece aqui na lista tb. Ou vc acha que muitas mensagens não são respondidas aqui pq nãoexistem pessoas boas o suficiente para isso?!Quanto aos livros que pode utilizar:Pelo jeito que vc escreveu sua dúvida, deve ter tirado do Leithold. Dependendo do livro que vc esta utilizando e do cursinho pré vestibular que vc fez, deve ser realmente dificil entender a linguagem matemática de 3° grau.Não há como entender calculo 1 sem uma boa base de funções.Como sugestão, pegue um livro com uma linguagem mais amigavel, uma linguagem de engenheiro e não de matemático. O Simons é um bom exemplo.E lembre-se, jamais leia um livro de matemática sem um papel e uma caneta do lado!Agora se nem isso resolver seu problema e vc é do Rio, parte logo para a ignorancia,veja www.majorando.com.br ou procure os professores Cohen ou Vilard. Na minha época eles eram professores do pensi, não sei por onde eles podem estar, a ultima vez que vi o Vilard foi na ufrj, só sei que foram eles que me ensinaram calculo1!!!E para finalizar ,não vou mais responder a estes emails aqui na lista, se quiser mande para [EMAIL PROTECTED]e quando eu tiver tempo lhe respondo.Espero que não desista de entender matemática, pois ela é muito bela e pode te levar a lugares que vc jamais espera chegar!!!É mais facil do que vc pensa!!!Grande abraço,Luiz H. B. Rocha
RE: [obm-l] Como se resolve limite?
Leandro,obrigado por responder,mas tenho dificuldade em saber qual o teorema usar pra resolver determinado limite.LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu: Washington,Tenha paciencia. O aprendizado e longo e voce so aprendera fazendo exercicios e vendo exemplos. Esse que voce enviou e bem tradicional.lim(x-3) x³-27/x-3No numerador, voce tem uma diferenca de cubos. Tente escreve-lo como:x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)A funcao f(x) = x^3-27/(x-3) tem uma discontinuidade em x-3, e quando voce aplica o limite, voce quer estudar o comportamento da funcao em torno daquele ponto. Nesse caso, queremos saber que valor a funcao assume a medida que voce se aproxima de x-3. Nesse caso, simplificando a funcao f temosf(x) = x^2+3x+9 , como e um polinomio, e trata-se de uma funcao continua, lim f(x) = f(3) = 27.Esse e um grafico de uma parabola mas que tem uma discontinuidade em x=3.Espero que tenha ajudado.LeandroLos Angeles, CA.From: Washington <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Como se resolve limite?Date: Tue, 12 Sep 2006 21:31:31 + (GMT)Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem.Conceito de limite(retirado de um site em inglês):"Um função f(z) tem um limite lim(z-a) f (z)=c se para todo e0 que existe um o(um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) 0 de tal forma que | f (z) - c| e quando 0 | z-a | o(novamente um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de "definição delta ipsilon"."Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z- a)? E f (z)=c para todo e0?? Não sei o que é f(z)=c nem e0. Quem é "e"?Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto?Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como posso aprender essas coisas?Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se aproximar um número de zero(um número tende a outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma questão comoCalcule o limite:lim(x-3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando isso desde o início de agosto,quando as aulas começaram e até agora,ainda não sei resolver limites e está começando a passar derivadas. Não estou com disposição pra ser reprovado e começo a me estressar).No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais confuso do que qualquer outra coisa.Vou explicitar algumas contidas no livro:Teorema de limite 1:se m e b são constantes quaisquer,lim(x-a) (mx+b)=ma+bm e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que isso me ajuda a entender?Constantes. Que constantes? Números que são sempre os mesmos,nunca mudam?Teorema de limite 2:Se C é uma constante,então para qualquer número a,lim(x-a) C=C(fiquei na mesma,ajudou nada)Teorema de limite 3:lim(x-a) x=a(idem(não ajuda) )Supondo que só existissem esses três teoremas,como eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite?lim(x-3) x³ -27/x-3Existem outras situações que meu prof. diz que deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em outros,ele diz pra resolver procurando a maior potência.Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a mais que não entende de limite,mas que quer aprender,sendo que,com o que é ensinado,é insuficiente. Estou ciente que a matemática se baseia em muitas teorias,mas por que não simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo menos o caminho a seguir?Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação pra que possam ter idéia do problema.Muito obrigado desde já e agradeço também a paciência na leitura.Washington __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messengerhttp://br.messenger.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usa
[obm-l] Como se resolve limite?
Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem. Conceito de limite(retirado de um site em inglês): "Um função f(z) tem um limite lim(z-a) f (z)=c se para todo e0 que existe um o(um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) 0 de tal forma que | f (z) - c| e quando 0 | z-a | o(novamente um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de "definição delta ipsilon"." Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z- a)? E f (z)=c para todo e0?? Não sei o que é f(z)=c nem e0. Quem é "e"? Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto? Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como posso aprender essas coisas? Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se aproximar um número de zero(um número tende a outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma questão como Calcule o limite: lim(x-3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando isso desde o início de agosto,quando as aulas começaram e até agora,ainda não sei resolver limites e está começando a passar derivadas. Não estou com disposição pra ser reprovado e começo a me estressar). No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais confuso do que qualquer outra coisa. Vou explicitar algumas contidas no livro: Teorema de limite 1: se m e b são constantes quaisquer, lim(x-a) (mx+b)=ma+b m e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que isso me ajuda a entender? Constantes. Que constantes? Números que são sempre os mesmos,nunca mudam? Teorema de limite 2: Se C é uma constante,então para qualquer número a, lim(x-a) C=C (fiquei na mesma,ajudou nada) Teorema de limite 3: lim(x-a) x=a (idem(não ajuda) ) Supondo que só existissem esses três teoremas,como eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite? lim(x-3) x³ -27/x-3 Existem outras situações que meu prof. diz que deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em outros,ele diz pra resolver procurando a maior potência. Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a mais que não entende de limite,mas que quer aprender,sendo que,com o que é ensinado,é insuficiente. Estou ciente que a matemática se baseia em muitas teorias,mas por que não simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo menos o caminho a seguir?Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação pra que possam ter idéia do problema. Muito obrigado desde já e agradeço também a paciência na leitura.Washington __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RE: [obm-l] Como se resolve limite?
Washington, Tenha paciencia. O aprendizado e longo e voce so aprendera fazendo exercicios e vendo exemplos. Esse que voce enviou e bem tradicional. lim(x-3) x³-27/x-3 No numerador, voce tem uma diferenca de cubos. Tente escreve-lo como: x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9) A funcao f(x) = x^3-27/(x-3) tem uma discontinuidade em x-3, e quando voce aplica o limite, voce quer estudar o comportamento da funcao em torno daquele ponto. Nesse caso, queremos saber que valor a funcao assume a medida que voce se aproxima de x-3. Nesse caso, simplificando a funcao f temos f(x) = x^2+3x+9 , como e um polinomio, e trata-se de uma funcao continua, lim f(x) = f(3) = 27. Esse e um grafico de uma parabola mas que tem uma discontinuidade em x=3. Espero que tenha ajudado. Leandro Los Angeles, CA. From: Washington [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como se resolve limite? Date: Tue, 12 Sep 2006 21:31:31 + (GMT) Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem. Conceito de limite(retirado de um site em inglês): Um função f(z) tem um limite lim(z-a) f (z)=c se para todo e0 que existe um o(um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) 0 de tal forma que | f (z) - c| e quando 0 | z-a | o(novamente um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de definição delta ipsilon. Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z- a)? E f (z)=c para todo e0?? Não sei o que é f(z)=c nem e0. Quem é e? Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto? Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como posso aprender essas coisas? Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se aproximar um número de zero(um número tende a outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma questão como Calcule o limite: lim(x-3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando isso desde o início de agosto,quando as aulas começaram e até agora,ainda não sei resolver limites e está começando a passar derivadas. Não estou com disposição pra ser reprovado e começo a me estressar). No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais confuso do que qualquer outra coisa. Vou explicitar algumas contidas no livro: Teorema de limite 1: se m e b são constantes quaisquer, lim(x-a) (mx+b)=ma+b m e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que isso me ajuda a entender? Constantes. Que constantes? Números que são sempre os mesmos,nunca mudam? Teorema de limite 2: Se C é uma constante,então para qualquer número a, lim(x-a) C=C (fiquei na mesma,ajudou nada) Teorema de limite 3: lim(x-a) x=a (idem(não ajuda) ) Supondo que só existissem esses três teoremas,como eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite? lim(x-3) x³ -27/x-3 Existem outras situações que meu prof. diz que deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em outros,ele diz pra resolver procurando a maior potência. Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a mais que não entende de limite,mas que quer aprender,sendo que,com o que é ensinado,é insuficiente. Estou ciente que a matemática se baseia em muitas teorias,mas por que não simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo menos o caminho a seguir? Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação pra que possam ter idéia do problema. Muito obrigado desde já e agradeço também a paciência na leitura. Washington __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como se resolve limite?
Ahh, desculpe, agora que vi na sua mensagem que vc já diz.Olha, a idéia de limite é a seguinte:Dizer que uma função tem um limite L num ponto a é, POR DEFINIÇÃO (de forma não rigorosa) dizer que quando vc vai tomando valores de x bem próximos ao valor a, o valor da função nesse ponto é bem próximo de L, e cada vez que vc vai chegando o x mais perto do valor a, o valor da função vai chegando cada vez mais perto de L. Dá pra entender a idéia intuitiva? Exemplo: tome a função f(x) = x^2, e vamos provar (nao será rigoroso, será apenas uma verificação para vc entender o conceito) que o limite de f(x), quando x tende a 3, vale 9.Tome x pertinho de 3 e calcule o valor da função: f(2) = 4. Agora vá aproximando. f( 2.5) = 6.25. f(2.9) = 8.41, f(2.999) = 8.994001, f(2.9) = 8.41, e assim por diante.Vemos que conforme vamos aproximando o x do 3, o valor de f calculado nesse x vai ficando cada vez mais próximo de 9. Isso aí não prova nada. Isso apenas sugere que o limite de f(x), quando x tende a 3, é igual a 9. A definição formal de limite diz que vc pode tornar o valor da função calculado num ponto x TÃO PROXIMO QUANTO VC QUEIRA do valor L, bastando para isso tomar um x suficientemente próximo do valor no qual vc quer saber o limite. No nosso caso, f(x) = x^2 , e eu quero limite para x tendendo a 3. Vamos agora PROVAR que o limite é 9.Provar isso significa mostrar que eu posso chegar TÃO PROXIMO QUANTO EU QUEIRA do 9, bastando para isso tomar um x suficientemente próximo de 3. Seria algo assim: Quero chegar a uma distância de no máximo 1 do 9. Então a gente precisa mostrar que eu posso tomar um valor x para o qual f(x) fica entre 8 e 10. Fácil: x^2 = 8 == x = sqrt(8) e x^2 = 10 == x = sqrt(10). Tomando x no intervalo ] sqrt(8), sqrt(10) [ a distância de f(x) ao valor 9 é certamente menor do que 1. Note que o número 3 está dentro desse intervalo. Agora, quero chegar a uma distância de no máximo 0.01 do 9. x^2 = 8.99 == x = sqrt(8.99), e x^2 = 9.01 == x = sqrt(9.01). Basta tomar x entre sqrt(8.99) e sqrt(9.01). Note denovo que o 3 está dentro desse intervalo. Mostrar que o limite de f(x) = x^2, para x tendendo a 3, vale 9, é mostrar que para qualquer distância máxima que eu escolha do 9, tem algum intervalo que CONTEM O 3, tal que os valores da função calculados nesse intervalor (ou a imagem do intervalo) fiquem àquela distância do 9. Formalmente, temos:lim (x - a) f(x) = LPara todo epsilon (aquele e é uma letra grega chamada epsilon) epsilon 0, existe um delta (aquele símbolo é o delta minúsculo em grego) delta 0, tal que |x - a| delta == |f(x) - L| epsilon. (note que não é f(x) = L, mas é como se fosse ( lim (x-a) f(x) ) = L, é o limite que é L, e não f(x), como acho que vc falou em sua mensagem). O epsilon é a distância máxima ao 9 que eu quero chegar, e o delta é o tamanho de um intervalinho no qual o x pode percorrer para que os valores do f(x) fiquem no máximo à distância epsilon do 9. (Lembre que |a - b| representa a distância entre os números a e b). Essa definição é a tradução direta para a linguagem matemática daquilo que falamos acima.Acontece que isso aí não ajuda para descobrir quanto vale um limite, só serve, em geral, para provar o valor de um limite, depois que vc já sabe quanto dá. Para achar o valor, vc usa esses 14 teoremas que vc disse, que eles servem para o cálculo.Serviu pra algo isso tudo?AbraçoBrunoOn 9/13/06, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá.Vc estuda o que? Faz faculdade e está tendo cálculo neste semestre? Ou está em escola/colégio/cursinho e está tentando aprender limites?AbraçoBruno On 9/12/06, Washington [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem. Conceito de limite(retirado de um site em inglês): Um função f(z) tem um limite lim(z-a) f (z)=c se para todo e0 que existe um o(um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) 0 de tal forma que | f (z) - c| e quando 0 | z-a | o(novamente um símbolo parecido com o que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de definição delta ipsilon. Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z- a)? E f (z)=c para todo e0?? Não sei o que é f(z)=c nem e0. Quem é e? Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto? Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como
[obm-l] Como se Resolve?
Como faço para resolver os exercícios abaixo? Mostre que existem "a" e "b" racionais tais que, raiz quadrada (18-8.raiz quadrada de (2)) = a + b.raiz quadrada (2). - Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n = 2, nem sempre raiz n de (a/b) é racional. - Eu sempre acabo me enrolando com exercícios do tipo, prove..., demonstre..., Existe algumas dicas que vocês possam estar me dando? Sou novo na lista, e estou aprendendo muito com vocês!!! Desde já agradeço a atenção de todos. CARLOS Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Como se Resolve?
Olá a todos!! 1) Quadrando ambos os membros, fica: 18 + (- 8)sqrt2 = (a^2 + 2b^2) + (2ab)sqrt2, donde ab = -4 e a^2 + 2b^2 = 18 e uma solução imediata é a = 4 e b = -1. 2) Como o problema não especifica, tome o racional 2 e n = 2. Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para resolver os exercícios abaixo? Mostre que existem "a" e "b" racionais tais que, raiz quadrada (18-8.raiz quadrada de (2)) = a + b.raiz quadrada (2). - Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n = 2, nem sempre raiz n de (a/b) é racional. - Eu sempre acabo me enrolando com exercícios do tipo, prove..., demonstre..., Existe algumas dicas que vocês possam estar me dando? Sou novo na lista, e estou aprendendo muito com vocês!!! Desde já agradeço a atenção de todos. CARLOS Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Como se Resolve?
Rapido!Antes vou TeXar sua mensagem: (18-8*(2)^1/2)^1/2=a+b*(2)^1/2 Agora, eleva ao quadrado: 18-8*(2)^1/2=(a^2+2*b^2)+(2*ab)*(2)^1/2 agora e so fazer 18=a^2+2*b^2 e 2*ab=8Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para resolver os exercícios abaixo? Mostre que existem "a" e "b" racionais tais que, raiz quadrada (18-8.raiz quadrada de (2)) = a + b.raiz quadrada (2). - Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n = 2, nem sempre raiz n de (a/b) é racional. - Eu sempre acabo me enrolando com exercícios do tipo, prove..., demonstre..., Existe algumas dicas que vocês possam estar me dando? Sou novo na lista, e estou aprendendo muito com vocês!!! Desde já agradeço a atenção de todos. CARLOS Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Como se Resolve?
nao deveria ser 2ab=-8?? *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 13:33 de 22/10/2003 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: Rapido!Antes vou TeXar sua mensagem: (18-8*(2)^1/2)^1/2=a+b*(2)^1/2 Agora, eleva ao quadrado: 18-8*(2)^1/2=(a^2+2*b^2)+(2*ab)*(2)^1/2 agora e so fazer 18=a^2+2*b^2 e 2*ab=8Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para resolver os exercícios abaixo? Mostre que existem "a" e "b" racionais tais que, raiz quadrada (18-8.raiz quadrada de (2)) = a + b.raiz quadrada (2). - Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n = 2, nem sempre raiz n de (a/b) é racional. - Eu sempre acabo me enrolando com exercícios do tipo, prove..., demonstre..., Existe algumas dicas que vocês possam estar me dando? Sou novo na lista, e estou aprendendo muito com vocês!!! Desde já agradeço a atenção de todos. CARLOS Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
