[obm-l] Derivada convexa
Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivada convexa
Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x))" Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivada convexa
Veja que a derivada, mesmo que fosse descontínua, ainda assim satisfaria a propriedade do valor intermediário. Eu acho que n~ao deve ser muito difícil concluir a partir disso. On 8/25/05, Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Artur Costa Steiner wrote: > > Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: > > > > Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a > > f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa > > em R. > > Artur > > Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os > pontos? Se sim eu conheco a solucao. > > > -- > Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski > > "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it > be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps > never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which > by analogy should signify sin(sin(x))" > > Carl Friedrich Gauss > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Derivada convexa
De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f' eh uma derivada , garante continuidade. Vc poderia apresentar a prova que vc conhece? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fabio Niski Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa Artur Costa Steiner wrote: > Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: > > Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a > f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa > em R. > Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x))" Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Derivada convexa
Eh verdade, mas acho que a propriedade do valor intermediario nao eh suficiente para garantir a convexidade da derivada. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 13:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa Veja que a derivada, mesmo que fosse descontínua, ainda assim satisfaria a propriedade do valor intermediário. Eu acho que n~ao deve ser muito difícil concluir a partir disso. On 8/25/05, Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Artur Costa Steiner wrote: > > Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: > > > > Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a > > f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa > > em R. > > Artur > > Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os > pontos? Se sim eu conheco a solucao. > > > -- > Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski > > "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it > be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps > never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which > by analogy should signify sin(sin(x))" > > Carl Friedrich Gauss > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Derivada convexa
A prova que eu achei para esta proposicao, baseada no que li sobre teoria de
medidas, baseia-se nos seguintes fatos:
A condicao (1) g(x+y)/2) <= (g(x) + g(y))/2 para todos reais x e y aliada aa
continuidade de g em R garante que g seja convexa em R. Entretanto, (1)
apenas nao garante continuidade de g em R e nem convexidade (o que
garantiria continuidade).
Se (1) vigorar para uma funcao g e g for mensuravel (com relacao aa medida
de Lebesgue), entao g eh continua em R, disto se seguindo que g eh convexa.
Lembro que uma funcao eh mensuravel segundo a medida de Lebesgue se, para
todo real a, o conjunto {x em R | f(x) > a} for um conjunto de Borel. Temos
portanto que, se g for mensuravel e satisfizer a (1), entao g eh convexa.
Toda derivada f' eh, em um intervalo aberto, o limite, ao menos ponto a
ponto, de uma sequencia de funcoes continuas. Toda funcao continua eh
mensuravel, logo toda derivada eh, em um intervalo aberto, o limite de uma
sequencia de funcoes mensuraveis. Logo, toda derivada f' eh mensuravel, pois
limites de sequencias de funcoes mensuraveis sao sempre mensuraveis.
Segue-se portanto que, se tivermos f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para
todos x e y de R, entao f' eh continua e, consequentemenet, convexa.
Artur
Artur Costa Steiner wrote:
> Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
>
> Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
> f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
convexa
> em R.
> Artur
Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
pontos? Se sim eu conheco a solucao.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: [obm-l] Derivada convexa
Claro..
Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x < y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para
n = 0 ,1, e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) <= (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s
\in T[n+1]. É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que
(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) <= [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) <= [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
= (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]}
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n -> inf). Assim, pela
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] <= lim[((1-s[n])g(x) +
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).
Artur Costa Steiner wrote:
De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f' eh
uma derivada , garante continuidade.
Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Fabio Niski
Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
Artur Costa Steiner wrote:
Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
convexa
em R.
Artur
Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
pontos? Se sim eu conheco a solucao.
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"
Carl Friedrich Gauss
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: RES: [obm-l] Derivada convexa
Obrigado Niski.
Uma prova de que, se g eh (Lebesgue) mensuravel e satisfaz a g((x+y)/2) <=
(g(x) + g(y))/2 para todos x e e y em I, pode ser encontrada em
http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/11df2054c7792678/2
e9bee58ed07e7ea?tvc=1&q=%22jensen+for+a+derivative%22+group:sci.math&hl=pt-B
R
Nesta prova, o autor, Robert Israel, define B_n = {x em I | g(x) < n}, de
modo que I = Uniao (n=1, oo) B_n . Como I tem medida positiva, pelo menos um
dos B_n tambem tem. Em razao disto, Israel conclui que (B_n + B_n)/2 =
{(x+y)/2 | x e y estao em B_n} contem um intervalo aberto nao vazio. Eu
ainda nao consegui ver esta passagem.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Fabio Niski
Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 20:05
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Derivada convexa
Claro..
Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x < y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para
n = 0 ,1, e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) <= (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s
\in T[n+1]. É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que
(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) <= [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) <= [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
= (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]}
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n -> inf). Assim, pela
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] <= lim[((1-s[n])g(x) +
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).
Artur Costa Steiner wrote:
> De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
> garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f'
eh
> uma derivada , garante continuidade.
> Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
> Artur
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Fabio Niski
> Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
>
>
> Artur Costa Steiner wrote:
>
>>Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
>>
>>Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
>>f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
>
> convexa
>
>>em R.
>>Artur
>
>
> Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
> pontos? Se sim eu conheco a solucao.
>
>
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"
Carl Friedrich Gauss
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
