[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Anderson, > achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. > Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos > a restrição 0 E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá > um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante. > Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo. Eu não fui muito claro. Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y) com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema "calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres >> escreveu: >> > >> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José >> > escreveu: >> > > >> > > Boa noite! >> > > Cláudio, >> > > não consegui nada geométrico. >> > > O máximo que atingi foi: >> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + >> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. >> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre >> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das >> > > bissetrizes e logo I. >> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. >> > >> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. >> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a >> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de >> > números. >> > >> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação >> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos >> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de >> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um >> > quadrilátero cíclico. >> >> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com >> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com >> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. >> >> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto >> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais >> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema >> pode ser pensado da seguinte forma: >> >> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x >> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a >> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja >> mínima. >> >> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a >> bissetriz por A. >> >> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. >> A trigonometria se torna apenas um atalho. >> >> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. >> >> >> >> > >> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense >> > VS geometria paulista: >> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf >> > >> > >> > > >> > > Saudações, >> > > PJMS >> > > >> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara >> > > escreveu: >> > >> >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? >> > >> E que torne o resultado mais intuitivo? >> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos >> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> > >> que P deva ser equidistante dos três. >> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal >> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente >> > >> neste caso. >> > >> >> > >> >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> > >> wrote: >> > >>> >> > >>> Olá, Vanderlei. >> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >> > >>> >> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> > >>> >> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> > >>> semi-perimetro. >> > >>> >> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >> > >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> > >>> >> > >>> Abraços, >> > >>> Matheus >> > >>> >> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >> > >>> escreveu: >> > >> > Bom dia! >> > >> > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive >> > êxito. Alguém ajuda? >> > Muito agradecido! >> > >> > Seja P um ponto no int
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Boa noite! Anderson, achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos a restrição 0 escreveu: > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres > escreveu: > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > > > Boa noite! > > > Cláudio, > > > não consegui nada geométrico. > > > O máximo que atingi foi: > > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que > ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das > bissetrizes e logo I. > > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > > números. > > > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > > quadrilátero cíclico. > > Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com > x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com > 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. > > Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto > adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais > equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema > pode ser pensado da seguinte forma: > > Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x > e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a > distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja > mínima. > > Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a > bissetriz por A. > > No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. > A trigonometria se torna apenas um atalho. > > Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > > > > > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > > VS geometria paulista: > > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > > > > > Saudações, > > > PJMS > > > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > >> > > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica > disso? E que torne o resultado mais intuitivo? > > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos > lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a > priori, que P deva ser equidistante dos três. > > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior > lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente > neste caso. > > >> > > >> > > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> wrote: > > >>> > > >>> Olá, Vanderlei. > > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > > >>> > > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > >>> > > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. > > >>> > > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb > = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > >>> > > >>> Abraços, > > >>> Matheus > > >>> > > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > > > > Bom dia! > > > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive > êxito. Alguém ajuda? > > Muito agradecido! > > > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > >>> > > >>> > > >>> -- > > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >>> acredita-se estar livre de perigo. > > >> > > >> > > >> -- > > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > ac
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres escreveu: > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > Boa noite! > > Cláudio, > > não consegui nada geométrico. > > O máximo que atingi foi: > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > > e logo I. > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > números. > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > quadrilátero cíclico. Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema pode ser pensado da seguinte forma: Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja mínima. Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a bissetriz por A. No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. A trigonometria se torna apenas um atalho. Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > VS geometria paulista: > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > > escreveu: > >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > >> que torne o resultado mais intuitivo? > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > >> P deva ser equidistante dos três. > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > >> caso. > >> > >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > >> wrote: > >>> > >>> Olá, Vanderlei. > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > >>> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > >>> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > >>> semi-perimetro. > >>> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo > >>> > >>> Abraços, > >>> Matheus > >>> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz > >>> escreveu: > > Bom dia! > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > Alguém ajuda? > Muito agradecido! > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e > logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de números. Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um quadrilátero cíclico. Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense VS geometria paulista: https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > escreveu: >> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que >> torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria >> e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P >> deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e >> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = >> b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >>> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >>> escreveu: Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Realmente, não era isso que eu estava procurando... mas valeu! É outra solução. On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > e logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E >> que torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> que P deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >>> semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> escreveu: >>> Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Boa noite! Cláudio, não consegui nada geométrico. O máximo que atingi foi: a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e logo I. Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Saudações, PJMS Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > que torne o resultado mais intuitivo? > É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, > a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > P deva ser equidistante dos três. > De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > caso. > > > On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > wrote: > >> Olá, Vanderlei. >> Por Cauchy-Schwarz, temos >> >> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> >> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> semi-perimetro. >> >> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> >> Abraços, >> Matheus >> >> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>> Alguém ajuda? >>> Muito agradecido! >>> >>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>> triângulo ABC. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que torne o resultado mais intuitivo? É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P deva ser equidistante dos três. De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = b/h_b = c/h_c. O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste caso. On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco wrote: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Muito obrigado, Matheus! Pensei nas outras desigualdades, menos em Cauchy-Schwarz. Muito bom! Em dom, 16 de ago de 2020 10:11, Matheus Secco escreveu: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Olá, Vanderlei. Por Cauchy-Schwarz, temos (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo Abraços, Matheus Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> escreveu: > Bom dia! > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > Alguém ajuda? > Muito agradecido! > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
