[obm-l] P.A.
Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em PA, nessa ordem, então, qual é o perímetro do quadrado? -- Bjos, Bruna
[obm-l] P.A
Olá pessoal, (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de razão r, então b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de razão: resp: 2*r^2 Dúvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). Como é uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] = [(d - c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] = r . A minha dúvida quando tentava resolver esta questão estava nestas somas em parênteses.
[obm-l] P.A
Questão 18 do livro P.A , P.G e matrizes de fundamentos de matemática elementar. IEZZI. 18)Obtenha 5 números reais em P.A, sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563/63. Alguem pode fazer ou explicar uma forma fácil de resolver essa questão!! Obrgado! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] P.A
Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? Prove A sequencia X_1,X_2,...,X_100 é tal que cada x_k é igual a k a menos que a soma dos outros 99 numeros. Determine x_50. 75/98 Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] P.A.
A questão parece simples, porém não encontro o gabarito. Na verdade é uma questão do ITA e diz algo assim! Em uma progressão aritmética de 2n + 1 termos, a soma dos n primeiros termos é 50 e a soma dos n últimos termos é 140. Sendo a razão um inteiro entre 2 e 13, Calcule o último termo. Um abraço a todos!
[obm-l] P.A.
Bom dia a todos, Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area 'e 1/6?" Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO Por Pitagoras temos: (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 x^2 - 4xR = 0 x (x - 4R) = 0 ou x=0 ou x-4R = 0 x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) Da relacao de area temos: 1/6 = x(x-R) / 2 1/6 = (x^2 - Rx)/2 6x^2 - 6Rx = 2 6x (x-R) = 2 (equacao II) Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: 6x (x-R) = 2 6(4R) (4R - R) = 2 (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) Substituindo (III) em (I): X=4R X=4(36) X=144 Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. Agradeco qualquer esclarecimento. Um abraco, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] P.A.
Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede L. Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor em 90º, calcule a razão entre os lados. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] P.A
1 - Determine a P.A em que se verificam as propriedades seguintes: a5 + a8 = 130 e a4 + a10 = 140 2 - Qual é a P.A finita em que o primeiro termo é 8, o último termo é 38, e o números de termos é igual a razão? __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Olá Bruna, note que existe uma relação entre o lado, a diagonal e a área de um quadrado... deste modo, os termos da PA estão relacionados.. usando isso com as propriedades de PA acredito que saia a questão.. abraços, Salhab On 9/6/07, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área > de um quadrado estão em PA, nessa ordem, então, qual é o > perímetro do quadrado? > > -- > Bjos, > Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Bruna,
seja a PA (a, a*sqrt(2), a^2), onde sqrt( ) representa a raiz quadrada.
Assim,
a + a^2 = 2*a*sqrt(2) => a^2 -[2*sqrt(2) - 1]*a = 0 => a*{a - [2*sqrt(2) -
1]} = 0 , como a é diferente de zero (medida do lado do quadrado), então:
a = 2*sqrt(2) - 1.
André Araújo.
Em 06/09/07, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área
> de um quadrado estão em PA, nessa ordem, então, qual é o
> perímetro do quadrado?
>
> --
> Bjos,
> Bruna
Re: [obm-l] P.A
olá, A_1 = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = r(b+a), visto que b-a = r A_2 = c^2 - b^2 = r(c+b) A_3 = d^2 - c^2 = r(c+d). A sequencia A_1, A_2, A_3 será uma PA se as diferenças A_2 - A_1 e A_3 - A_2 forem iguais e nesse caso essa diferença será a razão. Fazendo A_2 - A_1, temom: r(c+b) - r(b + a) = r(c - a). Como a,b,c,d é uma PA, c - a = 2r e portanto A_2 - A_1 = r*2r = 2r^2 Fazendo A_3 - A_2, temos r(d+c) - r(c + b) = r(d - b). Como a,b,c,d é uma PA, d - b = 2r e portanto A_3 - A_2 = r*2r = 2r^2, o7u seja, a sequencia dada é uma PA de razão 2r^2. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 12, 2003 6:17 PM Subject: [obm-l] P.A Olá pessoal, (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de razão r, então b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de razão: resp: 2*r^2 Dúvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). Como é uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] = [(d - c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] = r . A minha dúvida quando tentava resolver esta questão estava nestas somas em parênteses.
Re: [obm-l] P.A
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] P.A Date: Wed, 12 Feb 2003 16:17:52 EST Olá pessoal, (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de razão r, então b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de razão: resp: 2*r^2 Dúvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). Como é uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] = [(d - c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] = r . A minha dúvida quando tentava resolver esta questão estava nestas somas em parênteses. r*(c+b) - r*(b+a)= r*(d+c) - r*(c+b) rc- ra= rd- rb r (2r) = R _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] P.A
Escolha os numeros da forma: x-2r,x-r,x,x+r,x+2r. A soma deles e dada por: (x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=5 => 5x=5 =>x=1. Agora, determinar a razao r usando a segunda condicao: [1/x-2r] + [1/x-r] + 1/x + [1/x+r]+ 1/[x+2r] = 563/63. Substituta x=1, entao, 1/1-2r + 1/1-r + 1 + 1/1+r + 1/1+2r = 563/63 Agora fica facil. Leandro. Date: Sat, 26 Dec 2009 10:06:37 -0800 From: uizn...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] P.A To: obm-l@mat.puc-rio.br Questão 18 do livro P.A , P.G e matrizes de fundamentos de matemática elementar. IEZZI. 18)Obtenha 5 números reais em P.A, sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563/63. Alguem pode fazer ou explicar uma forma fácil de resolver essa questão!! Obrgado! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes
[obm-l] P.A. (demonstrações)
saudações a todos da lista, preciso de uma ajuda com estes exercícios... 1 - Prove que, se uma P.A., apresenta am=x, an=y e ap=z, então verifica-se a relação: (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0 2 - Prove que se (a1, a2, a3,...,an) é P.A., com n>2, então: (a2^2-a1^2, a3^2-a2^2, a4^2-a3^2,..., an^2-an-1^2) também é P.A. só mais uma coisa, eu não sei bem como representar algumas operações matemáticas aqui na lista...por exemplo, eu coloquei o símbolo ^ para dizer que o 2 é expoente de a2, a1, a3, a2... caso houvesse uma raiz colocaria sqrt, certo? enfim, ficaria muito grato se vocês puderem me esclarecer isso. valeu _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A
x_k = S - x_k - k ou S - 2x_k = k (i) Aplicando para k de 1 a 100 e somando, temos 98*S=1+2+...+100=101*50 ou S=101*50/98. Substituindo em (i) para k = 50 temos 2*x_50 = 101*50/98 -50 = 3*50/98.Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? Prove A sequencia X_1,X_2,...,X_100 é tal que cada x_k é igual a k a menos que a soma dos outros 99 numeros. Determine x_50. 75/98 Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] P.A
On Tue, Mar 14, 2006 at 01:11:41AM +, Klaus Ferraz wrote: > Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode > ser formada apenas por numeros primos ? Prove Em outras palavras, o problema pergunta se existem inteiros positivos a e b tais que an+b seja primo para todo inteiro positivo n. A resposta é não: tome n = b; temos an+b = (a+1)*b. Dá para demonstrar de forma não muito diferente que qualquer polinômio de coeficientes inteiros P(n) assume valores compostos para infinitos valores de n. Outros problemas bem mais difíceis são: * existem progressões aritméticas arbitrariamente longas formadas por primos? * existem infinitos primos da forma n^2 + 1? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] P.A
Seja p um termo dessa progressão, cuja razão é r. S.p.d.g. podemos supor que r é um inteiro positivo. p é obviamente primo, senão acabou. Mas então, p + p*r = p*(1 + r) é um termo da progressão e é composto. Logo, uma tal progressão não pode existir. Seja S = SOMA(k=1...100) x_k. x_k = S - x_k - k ==> 2*x_k = S - k. Somando com k variando de 1 a 100, obtemos: 2*S = 100*S - 5050 ==> S = 2525/49. x_50 = (2525/49 - 50)/2 = 75/98. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 14 Mar 2006 01:11:41 + (GMT) Assunto: [obm-l] P.A > Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? Prove > > A sequencia X_1,X_2,...,X_100 é tal que cada x_k é igual a k a menos que a soma dos outros 99 numeros. Determine x_50. > 75/98
Re:[obm-l] P.A
> Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? Prove Considere a seguinte sequencia p, p+r, p+2r, p+3r, , p+pr, Ou seja p divide p+ pr e portanto (p+pr) não pode ser primo. Como p é um primo arbitrario tal sequencia não pode existir. []s
Re: [obm-l] P.A
Quoting "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>: > On Tue, Mar 14, 2006 at 01:11:41AM +, Klaus Ferraz wrote: > > Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que > pode > > ser formada apenas por numeros primos ? Prove > > Em outras palavras, o problema pergunta se existem inteiros positivos a e b > tais que an+b seja primo para todo inteiro positivo n. A resposta é não: > tome n = b; temos an+b = (a+1)*b. > > Dá para demonstrar de forma não muito diferente que qualquer polinômio de > coeficientes inteiros P(n) assume valores compostos para infinitos valores > de n. > > Outros problemas bem mais difíceis são: > > * existem progressões aritméticas arbitrariamente longas formadas por primos? Isso foi provado há uns 2 anos por Ben Green e Terence Tao, dois ex-olímpicos, e de fato não é nada fácil. > > * existem infinitos primos da forma n^2 + 1? Já esse, que eu saiba, ainda está em aberto. Una interpretação que eu acho simpática desse problema é se existem infinitos primos (ou irredutíveis, como queiram) na "PA" de inteiros de Gauss n+i=i+n.1, onde n percorre os inteiros. Abraços, Gugu > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Eu fiz assim:Seja a o primeiro termo, r a razão e l o último termo. Então:n[2a + (n-1)r]/2 = 50n(2a - r + nr) = 100 ... (1)Também:n[2l + (n-1)(-r)]/2 = 140n[2(a + 2nr) - nr + r] = 280n(2a + r + 3nr) = 280 ... (2) Subtraindo (2) e (1):n(2r + 2nr) = 180nr(n + 1) = 90 = 2*(3^2)*5Como n e n + 1 são divisores de 90 e 2 < r < 13, n = 5, e portanto r = 3.Substituindo n = 5 e r = 3 em (1) temos que a = 4.Como l = a + 2nr, l = 34.
Re: [obm-l] P.A.
Anderson, vc fez tudo certo, so errou aqui ó (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) O certo seria (24R)(3R)=2 72(R^2)=2 R^2 = 2/72 = 1/36 R=1/6 Daí segue o triangulo 1/2-2/3-5/6 , que inclusive eh semelhante ao bom e velho 3-4-5, presença marcante nos problemas de triangulos com lados em PA. Note que, de fato, (1/2)(2/3)(1/2)=1/6 :-) Abraço Will Abraço Will - Original Message - From: "Anderson Sales Pereira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 02, 2003 9:05 AM Subject: [obm-l] P.A. Bom dia a todos, Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area 'e 1/6?" Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO Por Pitagoras temos: (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 x^2 - 4xR = 0 x (x - 4R) = 0 ou x=0 ou x-4R = 0 x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) Da relacao de area temos: 1/6 = x(x-R) / 2 1/6 = (x^2 - Rx)/2 6x^2 - 6Rx = 2 6x (x-R) = 2 (equacao II) Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: 6x (x-R) = 2 6(4R) (4R - R) = 2 (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) Substituindo (III) em (I): X=4R X=4(36) X=144 Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. Agradeco qualquer esclarecimento. Um abraco, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Oi Anderson, de uma olhada no que está grifado. Acho que esta passagem você errou. Corrigindo você chega ao seu resultado. > (24R)(3R) = 2 > 72R = 2 > R = 36 (equacao III) ??? 72R^2=2 R^2=1/36 R=+-1/6 Sds, Ricardo Serone - Original Message - From: "Anderson Sales Pereira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 02, 2003 9:05 AM Subject: [obm-l] P.A. > Bom dia a todos, > > Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um > triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area > 'e 1/6?" > > Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: > catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO > > Por Pitagoras temos: > (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 > x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 > x^2 - 4xR = 0 > x (x - 4R) = 0 > ou x=0 ou x-4R = 0 > x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) > > Da relacao de area temos: > 1/6 = x(x-R) / 2 > 1/6 = (x^2 - Rx)/2 > 6x^2 - 6Rx = 2 > 6x (x-R) = 2 (equacao II) > > Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: > 6x (x-R) = 2 > 6(4R) (4R - R) = 2 > (24R)(3R) = 2 > 72R = 2 > R = 36 (equacao III) > > Substituindo (III) em (I): > X=4R > X=4(36) > X=144 > > Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e > X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. > > Agradeco qualquer esclarecimento. > > Um abraco, > > Anderson > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
on 02.09.03 09:05, Anderson Sales Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Bom dia a todos, > > Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um > triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area > 'e 1/6?" > > Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: > catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO > > Por Pitagoras temos: > (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 > x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 > x^2 - 4xR = 0 > x (x - 4R) = 0 > ou x=0 ou x-4R = 0 > x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) > Oi, Anderson: Voce desobedeceu ao axioma no. 2 da resolucao de problemas: "Se podemos simplificar, nao devemos complicar." Uma vez de posse da equacao I, voce poderia ter usado direto que: Area = 1/6 = x*(x-R)/2 = 4R*3R/2 ==> R = 1/36 ==> x = 4*R = 1/9 ==> Perimetro = 3*x = 1/3. Um abraco, Claudio. > Da relacao de area temos: > 1/6 = x(x-R) / 2 > 1/6 = (x^2 - Rx)/2 > 6x^2 - 6Rx = 2 > 6x (x-R) = 2 (equacao II) > > Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: > 6x (x-R) = 2 > 6(4R) (4R - R) = 2 > (24R)(3R) = 2 > 72R = 2 > R = 36 (equacao III) > > Substituindo (III) em (I): > X=4R > X=4(36) > X=144 > > Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e > X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. > > Agradeco qualquer esclarecimento. > > Um abraco, > > Anderson > > = > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
--- Anderson Sales Pereira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Bom dia a todos, > > Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: > "As medidas de um > triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu > perimetro se sua area > 'e 1/6?" > > Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres > termos, vem: > catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO Pitagoras: (x+r)^2 = x^2 + (x-r)^2 => x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + x^2 - 2xr + r^2 => 4xr = x^2, como x != 0 => 4r = x => r = x/4 area: x(x - r) = 1/6 x(x - x/4) = x*3/4x = 3/4x^2 = 1/6 => x^2 = 4/3*1/6 = 2/9 => x = 2^.5/3 2p = x + x - r + x + r = 3x = 3*2^.5/3 = 2^.5 resp: raiz(2) ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Ricardo Serone e Will, Obrigado pela correcao. Passei um monte de vezes ali e nao notei. As vezes os erros mais simples sao tambem mais dificeis de perceber. Abracos, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
At 10:15 2/9/2003 -0300, Claudio Buffara wrote: Voce desobedeceu ao axioma no. 2 da resolucao de problemas: "Se podemos simplificar, nao devemos complicar." Ola Claudio, Obrigado pela dica. Realmente sou portador da sindrome de complicacao aguda. A proposito, qual seria o axioma no. 1 da resolucao de problemas? Um abraco, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo.Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica.Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
Oi Anderson, Eu fiz assim, mas confere os resultados para ter cecrteza. Seja A, B e C os catetos e a hipotenusa, respectivamente. Se eles estão em P.A., então podemos afirmar que A = B - r, e C = B + r, sendo r a razão. Pelo teorema de Pitágoras, chega-se que B = 0 ou B = 4r, como você mesmo viu. Como B não pode ser zero, então B = 4r, e A =3r e C = 5r. A área do triângulo é dada por A*B/2 = 6*r^2 = 1/6 ==> r = 1/6. Portanto, B = 2/3, A = 1/2 e C = 5/6. A soma disso é (3 + 4 + 5)/6 = 2. Abraços, Bernardo From: Anderson Sales Pereira <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] P.A. Date: Tue, 02 Sep 2003 09:05:01 -0300 Bom dia a todos, Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area 'e 1/6?" Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO Por Pitagoras temos: (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 x^2 - 4xR = 0 x (x - 4R) = 0 ou x=0 ou x-4R = 0 x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) Da relacao de area temos: 1/6 = x(x-R) / 2 1/6 = (x^2 - Rx)/2 6x^2 - 6Rx = 2 6x (x-R) = 2 (equacao II) Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: 6x (x-R) = 2 6(4R) (4R - R) = 2 (24R)(3R) = 2 72R = 2 R = 36 (equacao III) Substituindo (III) em (I): X=4R X=4(36) X=144 Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. Agradeco qualquer esclarecimento. Um abraco, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A.
on 24.10.03 05:48, paraisodovestibulando at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Pessoal, > > Me ajudem nesta questaum: > > Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética > e o lado intermediário mede L. Sabendo-se que o maior > ângulo excede o menor em 90º, calcule a razão entre os > lados. > > Os lados sao L-x, L e L+x e os angulos opostos correspondentes sao A, B e A+90, de forma que temos B = 90 - 2A ==> sen(B) = cos(2A) Lei dos Cossenos ==> (L-x)^2 = L^2 + (L+x)^2 - 2*L*(L+x)*cos(A) ==> cos(A) = (L+4x)/(2L+2x) Lei dos Senos ==> L/sen(B) = (L+x)/sen(A+90). Como sen(A+90) = cos(A) e sen(B) = cos(2A), teremos: L/(L+x) = cos(2A)/cos(A) = 2*cos(A) - 1/cos(A) Ou seja: L/(L+x) = (L+4x)/(L+x) - (2L+2x)/(L+4x) ==> L(L+4x) = (L+4x)^2 - 2(L+x)^2 ==> 7x^2 - L^2 = 0 ==> x = L/raiz(7) (x eh positivo) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> said: > 1 - Determine a P.A em que se verificam as > propriedades seguintes: > > a5 + a8 = 130 e a4 + a10 = 140 > [...] a_4 + a_10 = a_5 + a_9. > [...] > 2 - Qual é a P.A finita em que o primeiro termo é 8, o > último termo é 38, e o números de termos é igual a razão? > [...] Se a progressão é (a_0, a_1, ..., a_n), a_n = a_0 + n*r. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXlIXalOQFrvzGQoRAqD8AKCxLiOEWwHIM+ijBEaWo/FijK1JkwCfShpp /4qWh/bRbu+8fBFCgw1NR/A= =YyP5 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] P.A
> a5 + a8 = 130 e a4 + a10 = 140 I) A1 + 4r + A1 + 7r = 130 II) A1 + 3r + A1 + 9r = 140 r = 10 A1 = 10 > Qual é a P.A finita em que o primeiro termo é 8, o último termo é 38, e o > números de termos é igual a razão? 38 = 8 + (r-1)r 30 = (r-1)r r = 6 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A. (demonstrações)
Pra notação, está muito bem. O que você falou é o padrão mesmo. Exceto que em geral a gente usa seqüências indexadas com "sublinhas", ou seja, a_1, a_2, a_3, ..., a_n, que é a convenção do TeX. Mas também podemos fazer como você fez, se não tiver risco de confusão. 1) Repare que a_m = a_0 + m*r (r é a razão da P.A.), o mesmo valendo para a_n e a_p. Agora, você escreve a equação, desenvolvendo os termos: (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = (n-p)*(a_0 + m*r) + (p-m)*(a_0 + n*r) + (m-n)(a_0 + p*r) = (n*a_0 + n*m*r - p*a_0 - p*m*r) + (p*a_0 + p*n*r - m*a_0 - m*n*r) + (m*a_0 + m*p*r - n*a_0 - n*p*r) = (n - p + p - m + m - n)*a_0 + (n*m - p*m + p*n - m*n + m*p - n*p)*r = 0 Um outro jeito seria refatorar a expressão em termos de m, n e p, e escrever a diferença a_n - a_m = (n - m)*r. 2) Primeiro, a gente simplifica a sua expressão usando x^2 - y^2 = (x+y)(x-y). Daí, como temos uma PA, a parte (x-y) é sempre igual a "r", e a parte x+y = a_n + a_(n-1) = 2*a_0 + (n + (n-1))*r Assim, o termo geral é a_n^2 - a_(n-1)^2 = (2*a_0 + (n + (n-1))*r)*r = 2*a_0*r - r*r + 2n*r*r, que tem a forma de constante [2*a_0*r - r*r] + n * razão [2*r*r] Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/18/05, Rodrigo Augusto <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > saudações a todos da lista, preciso de uma ajuda com estes exercícios... > > 1 - Prove que, se uma P.A., apresenta am=x, an=y e ap=z, então verifica-se a > relação: > > (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0 > > 2 - Prove que se (a1, a2, a3,...,an) é P.A., com n>2, então: > > (a2^2-a1^2, a3^2-a2^2, a4^2-a3^2,..., an^2-an-1^2) também é P.A. > > só mais uma coisa, eu não sei bem como representar algumas operações > matemáticas aqui na lista...por exemplo, eu coloquei o símbolo ^ para dizer > que o 2 é expoente de a2, a1, a3, a2... caso houvesse uma raiz colocaria > sqrt, certo? enfim, ficaria muito grato se vocês puderem me esclarecer isso. > > valeu > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
FW: [obm-l] P.A. - correcao
> on 02.09.03 09:05, Anderson Sales Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Bom dia a todos, >> >> Problema simples de P.A. que esta me dando um baile: "As medidas de um >> triangulo retangulo estao em P.A. Quanto vale o seu perimetro se sua area >> 'e 1/6?" >> >> Sabendo que as medidas compoe uma P.A. de tres termos, vem: >> catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZAO >> >> Por Pitagoras temos: >> (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2 >> x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2 >> x^2 - 4xR = 0 >> x (x - 4R) = 0 >> ou x=0 ou x-4R = 0 >> x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I) >> E eu acabei desobedecendo o axioma numero 1: "Eu sou burro mas nao sou cego." Bem feito! Quem mandou querer bancar o engracadinho? De fato, deveria ser 1/6 = 4R*3R/2 ==> R^2 = 1/36 ==> R = 1/6. E assim, teriamos x = 4R = 2/3 ==> Perimetro = 3x = 2. Um abraco, Claudio. > Oi, Anderson: > > Voce desobedeceu ao axioma no. 2 da resolucao de problemas: > "Se podemos simplificar, nao devemos complicar." > > Uma vez de posse da equacao I, voce poderia ter usado direto que: > Area = 1/6 = x*(x-R)/2 = 4R*3R/2 ==> > R = 1/36 ==> > x = 4*R = 1/9 ==> > Perimetro = 3*x = 1/3. > > Um abraco, > Claudio. > > >> Da relacao de area temos: >> 1/6 = x(x-R) / 2 >> 1/6 = (x^2 - Rx)/2 >> 6x^2 - 6Rx = 2 >> 6x (x-R) = 2 (equacao II) >> >> Substituindo (equacao I) em (equacao II) vem: >> 6x (x-R) = 2 >> 6(4R) (4R - R) = 2 >> (24R)(3R) = 2 >> 72R = 2 >> R = 36 (equacao III) >> >> Substituindo (III) em (I): >> X=4R >> X=4(36) >> X=144 >> >> Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e >> X+R=180, que apesar de estarem em P.A. nao bate com a area. >> >> Agradeco qualquer esclarecimento. >> >> Um abraco, >> >> Anderson >> >> = >> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> = >> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A. -> erro de conta
> area: x(x - r) = 1/6 > x(x - x/4) = x*3/4x = 3/4x^2 = 1/6 => > x^2 = 4/3*1/6 = 2/9 => > x = 2^.5/3 > > 2p = x + x - r + x + r = 3x = 3*2^.5/3 = 2^.5 > > resp: raiz(2) Errei conta. area: x(x - r)/2 = 1/6 => x(x - x/4) = 3/4x^2 = 1/3 x^2 = 4/9 => x = 2/3 => 2p = 3x = 2 resp: 2 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A. -> erro de conta
Valeu Helder! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
