Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Amigos, Foi uma questão da UFRJ. Uma ajuda por favor.. * *Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença. Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. *a) *Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo. *b) *Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Ribamar, o método de Cardano/Tartaglia, resulta nas raizes de um polinômio de grau 3, sendo elas reais ou complexas. - Original Message - From: J. R. Smolka To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 15, 2008 10:06 AM Subject: Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um vetor de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0=arg(x)pi/4 porque neste caso im(x)0, im(x^2)0 e im(x^3)0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? J. R. Smolka
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Olá a todos novamente. Oi, J.R.. Por um lado, sua análise final está correta -- o lugar geométrico é uma união de intervalos na reta real; mas, enquanto a princípio poderia haver outros intervalos ou curvas no plano complexo (e para cada curva teria de haver a sua espelhada, exatamente pelo raciocínio que você fez), neste caso específico eles são vazios. Com a sua notação, eu diria que o seu k1 é +Infinito, então não tem aquela fase de uma raiz real e duas complexas conjugadas. (Aliás, dá para mostrar que quando k tende a +Inf, as raízes se aproximam de -Inf, -4 e -2, que ainda são reais.) De fato, aquela minha solução **não** pressupõe que o domínio do polinômio era só R desde o início não... Bom, eu pressupus que os *coeficientes* do polinômio eram reais (e são, pois quando se diz que k é positivo automaticamente k tem de ser real). Daqui sai que p(R) está contido em R (ainda não estou dizendo nada sobre p(z) para z fora de R). Então a gente *prova* que basta analisar raízes reais, pois: i) As primeiras linhas daquela minha solução *mostram* que há 3 raízes reais; o raciocínio é válido pois p(x) tem coeficientes reais, então *coincide* com um polinômio de R em R. As 3 raízes reais que a gente acha quando pensa que o domínio é R não desaparecem quando o domínio é expandido para C. ii) Mas o polinômio tem grau 3, então só pode ter 3 raízes complexas (um polinômio de grau n tem n raízes complexas, contando multiplicidade, mesmo que os coeficiemtes sejam complexos). iii) Mas então todas as raízes são reais! Então, se o problema é onde estão as possíveis raízes, agora sim, basta analisar as raízes reais -- não há outras! ---///--- Agora vem a parte mais difícil... depois de sacar que as raízes são sempre reais, a chave do problema é: ao invés de pensar... Tá aqui um k. Será que eu consigo descobrir as raízes x1, x2 e x3 associadas a este k, para depois colar tudo e responder este problema? (que é dífícil pra caramba, pois basicamente você teria que resolver uma equação de 3o grau, ou pelo menos descobrir propriedades destas raízes em função de um parâmetro k) ...é muito melhor pensar assim, ao contrário: Tá aqui um número x, candidato a raiz. Será que ele **pode** ser raiz do polinômio para algum k positivo? Isto é, será que eu arrumo um k que faz este x ser raiz? (esta é fácil, o único k que pode funcionar é k0=-(x+1)(x+3)(x+5)/(x+2)(x+4); se este k0 for positivo, aquele x é raiz do polinômio, para k=k0) Abraço, Ralph P.S.: A afirmação da Alane vale para polinômios **com coeficientes reais** (que é o caso neste problema). Se os coeficientes não forem reais, você pode ter algo como p(x)=x-i, que tem a raiz i mas não tem a conjugada, ou quaisquer raízes complexas, de fato. 2008/5/13 J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]: Primeiramente obrigado à Alane e ao Ralph pelas sugestões. Vamos por partes: A Alane lembrou que se z é uma raiz do polinômio, então o conjugado complexo de z também será raiz. Não tenho certeza absoluta, mas acho que este princípio se mantém para funções polinomiais de C em C. O Ralph fez uma análise como se o polinômio fosse função de R em R, que não é o caso. Mas me deu algumas idéias sobre como atacar o problema. Até agora estou apenas no nível qualitativo. Depois vou tentar resolver a álgebra (a menos que alguém me mostre que esta linha de raciocínio não tem futuro :-)). O que estou pensando é: 1) Se k=0, P(x) tem três raízes reais em x=-1, x=-3 e x=-5. 2) Deve existir uma faixa de valores 0k=k1 para a qual P(x) ainda apresenta três raízes reais, que vão excursionar em algum trecho do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? (estudo de máximos/mínimos/inflexões via P'(x)=0 deve ajudar nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo é(são) percorrido(s) pelas raízes? 3) Se kk1 então deve continuar a existir uma raiz real (que também excursiona no semi-eixo real negativo) e um par de raízes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta é: qual o seu intervalo de excursão? Sobre as raízes complexas o raciocínio é mais longo... 4) Temos que P(x)=x^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=r.e^(i.a) é raiz de P(x), então r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=0. Então temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (número real), a, 2a e 3a. De cara enxergo como candidatos a raiz os números complexos na forma z=r.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento complexo 2a=2.pi/2=pi pode anular o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo 3a=3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=pi/2. Se isto realmente for possível (tenho que verificar a álgebra), então z excursiona em um intervalo do semi-eixo imaginário positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que é função de k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento espelhado no semi-eixo imaginário negativo. Então minha primeira
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um vetor de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0=arg(x)pi/4 porque neste caso im(x)0, im(x^2)0 e im(x^3)0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? J. R. Smolka
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Oi J.R., Ralph, Arlane e demais participantes !
2008/5/15 J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]:
Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C
em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um
subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand.
Só pra aumentar a discussão : se f for uma função holomorfa (derivável
no sentido complexo, acho que você já deve ter ouvido falar), e se por
acaso f conseguir se esquivar de 2 valores complexos (por exemplo pi e
23 + i*e^2, mas pode mudar como quiser, já que se você compuser com
uma função afim legal g = af + b evitará 0 e 1, então basta provar
esse caso) então na verdade f é constante. Esse resultado não é fácil
de demonstrar, mas mostra que na verdade, a imagem de uma função
complexa bonitinha (tipo seno, cosseno, exponencial, polinômios, e
combinações delas) tem uma imagem muito simples : ou é um ponto
(constante) ou é tudo menos um ponto (por exemplo, exp(x) é C \ {0})
ou é tudo (um polinômio não constante, por exemplo, já que nós sabemos
que ele sempre terá uma raiz, e mudar o termo constante muda o alvo
!)
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Oi Smolka. Talvez a minha última mensagem ainda não tenha chegado... Você tem razão em prestar atenção ao fato de que a variável é complexa, e nem todos os Teoremas de variável real valem. Mas, repito, a soluão que eu tinha vale mesmo que x seja uma variável complexa. Deixe-me dizer tudo da seguinte forma para ressaltar bem a diferença que você está colocando (e que é saudável): i) Eu tenho um polinômio P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4) de variável complexa; ii) Note que P tem grau 3, então tem , no máximo, 3 raízes complexas (**este** Teorema vale para polinômios de variáveis e coeficientes complexos). iii) Considere agora o polinômio Q(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), onde a única diferença é que Q tem x como variável **real**. Ou seja, P:C-C, mas Q:R-R. Eu posso fazer isto pois, se x é real, Q(x) é real. iv) O raciocínio daquela solução mostra que Q tem 3 raízes reais, digamos, x1, x2 e x3. v) Mas, note que, quando x é real, então P(x)=Q(x). Em outras palavras, P(x1)=P(x2)=P(x3)=0. Ou seja, x1, x2 e x3 também são raízes de P, e são reais. vi) Mas, como P só tem no máximo 3 raízes complexas, elas são os mesmos x1, x2 e x3. Assim, elas são reais! Então não adianta procurar raízes não reais, elas não existem! Isto dito os raciocínios que você está fazendo são super legais para tentar enxergar o que o polinômio faz com o plano de Argand-Gauss. De uma certa maneira, eu devia ficar quieto e deixar você explorar o assunto, pois você vai achar um monte de coisas legais assim, mesmo que não resolvam *ESTE* problema! :) Abraço, Ralph 2008/5/15 J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]: Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um vetor de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0=arg(x)pi/4 porque neste caso im(x)0, im(x^2)0 e im(x^3)0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? *J. R. Smolka*
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Primeiramente obrigado à Alane e ao Ralph pelas sugestões. Vamos por partes: A Alane lembrou que se z é uma raiz do polinômio, então o conjugado complexo de z também será raiz. Não tenho certeza absoluta, mas acho que este princípio se mantém para funções polinomiais de C em C. O Ralph fez uma análise como se o polinômio fosse função de R em R, que não é o caso. Mas me deu algumas idéias sobre como atacar o problema. Até agora estou apenas no nível qualitativo. Depois vou tentar resolver a álgebra (a menos que alguém me mostre que esta linha de raciocínio não tem futuro :-)). O que estou pensando é: 1) Se k=0, P(x) tem três raízes reais em x=-1, x=-3 e x=-5. 2) Deve existir uma faixa de valores 0k=k1 para a qual P(x) ainda apresenta três raízes reais, que vão excursionar em algum trecho do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? (estudo de máximos/mínimos/inflexões via P'(x)=0 deve ajudar nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo é(são) percorrido(s) pelas raízes? 3) Se kk1 então deve continuar a existir uma raiz real (que também excursiona no semi-eixo real negativo) e um par de raízes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta é: qual o seu intervalo de excursão? Sobre as raízes complexas o raciocínio é mais longo... 4) Temos que P(x)=x^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=r.e^(i.a) é raiz de P(x), então r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=0. Então temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (número real), a, 2a e 3a. De cara enxergo como candidatos a raiz os números complexos na forma z=r.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento complexo 2a=2.pi/2=pi pode anular o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo 3a=3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=pi/2. Se isto realmente for possível (tenho que verificar a álgebra), então z excursiona em um intervalo do semi-eixo imaginário positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que é função de k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento espelhado no semi-eixo imaginário negativo. Então minha primeira visão (qualitativa) para o lugar geométrico procurado é: um conunto de intervalos (possivelmente contínuos ou parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo (talvez finito) no semi-eixo imaginário positivo e o seu espelho no semi-eixo imaginário negativo. Críticas? Sugestões? [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. J. R. Smolka
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Smolka, pra facilitar faça w=x+3 que fica w^3 +kw^2 - 4w - 4 = 0. Use Cardano pra ver que todas as raizes são reais. Ojesed - Original Message - From: J. R. Smolka To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 13, 2008 9:56 AM Subject: Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa Primeiramente obrigado à Alane e ao Ralph pelas sugestões. Vamos por partes: A Alane lembrou que se z é uma raiz do polinômio, então o conjugado complexo de z também será raiz. Não tenho certeza absoluta, mas acho que este princípio se mantém para funções polinomiais de C em C. O Ralph fez uma análise como se o polinômio fosse função de R em R, que não é o caso. Mas me deu algumas idéias sobre como atacar o problema. Até agora estou apenas no nível qualitativo. Depois vou tentar resolver a álgebra (a menos que alguém me mostre que esta linha de raciocínio não tem futuro :-)). O que estou pensando é: 1) Se k=0, P(x) tem três raízes reais em x=-1, x=-3 e x=-5. 2) Deve existir uma faixa de valores 0k=k1 para a qual P(x) ainda apresenta três raízes reais, que vão excursionar em algum trecho do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? (estudo de máximos/mínimos/inflexões via P'(x)=0 deve ajudar nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo é(são) percorrido(s) pelas raízes? 3) Se kk1 então deve continuar a existir uma raiz real (que também excursiona no semi-eixo real negativo) e um par de raízes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta é: qual o seu intervalo de excursão? Sobre as raízes complexas o raciocínio é mais longo... 4) Temos que P(x)=x^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=r.e^(i.a) é raiz de P(x), então r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=0. Então temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (número real), a, 2a e 3a. De cara enxergo como candidatos a raiz os números complexos na forma z=r.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento complexo 2a=2.pi/2=pi pode anular o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo 3a=3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=pi/2. Se isto realmente for possível (tenho que verificar a álgebra), então z excursiona em um intervalo do semi-eixo imaginário positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que é função de k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento espelhado no semi-eixo imaginário negativo. Então minha primeira visão (qualitativa) para o lugar geométrico procurado é: um conunto de intervalos (possivelmente contínuos ou parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo (talvez finito) no semi-eixo imaginário positivo e o seu espelho no semi-eixo imaginário negativo. Críticas? Sugestões? [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. J. R. Smolka
[obm-l] Polinômios de variável complexa
Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? [ ]'s J. R. Smolka
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Se x é raíz de P(x) então o conjugado também o é. Daí vc tem duas expressões, eventualmente pode isolar a constante k e subst na outra equação. Não pensei bem. Este poderia ser outro caminho. inté Citando J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]: Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? [ ]'s J. R. Smolka -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Acho que a primeira coisa a fazer eh notar que as 3 raizes sao reais! De fato: i) Polinomio de 3o grau, termo principal = 1.x^3: P(-Inf)=-Inf e P(+Inf)=+Inf; ii) P(-4)=30 e P(-2)=-30 Assim, ha uma raiz real em (-Inf,-4), outra em (-4,-2) e a terceira em (-2,+Inf). Isto dah as 3 raizes reais, entao a gente nao precisa se preocupar com os complexos! Agora a gente em que ver que valores destes intervalos podem, de fato, ser raiz da equacao polinomial P(x)=0. Para tanto, perguntamos -- para que valores de x tem-se (x+1)(x+3)(x+5)/((x+2)(x+4))0 ? Dada um solucao x=a desta inequacao, tem um k que faz a ser raiz daquele polinomio (qual?); e vice-versa, se tem um k positivo tal que a eh raiz do polinomio, entao a satisfaz esta inequacao! Resposta final: (-Inf,-5) U (-4,-3) U (-2,-1). 2008/5/9 J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]: Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? [ ]'s *J. R. Smolka*
