Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Oi Amigos da lista. Alguém conseguiu resolver esta além do Victor??? E Victor, como que chegaste a 40%?? Obrigada... Vivian Em 09/11/07, Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu: 40% - Original Message - *From:* arkon [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Thursday, November 08, 2007 3:16 PM *Subject:* [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA:* * * *Numa aula de aritmética, um professor de Matemática desafiou seus alunos. Disse que era capaz de adivinhar o número de palitos numa caixa de fósforos sem abrí-la. Para tal brincadeira, este professor deu para uma turma de alunos uma caixa de fósforos que continha um número de palitos entre 50 e 60, e orientou-os dizendo:* *- Queridos alunos, sigam corretamente as minhas instruções, mas não me digam nada, apenas executem-nas em silêncio.* *Primeiro: Tirem todos os palitos da caixa.* *Segundo: Coloquem quantos palitos vocês quiserem dentro da caixa.* *Terceiro: Retirem da caixa o número de palitos igual a soma dos algarismos do número de palitos que foram colocados na caixa na segunda instrução.* *Ao finalizar a terceira instrução os alunos devolveram a caixa fechada ao professor e sem dizerem absolutamente nada ao mestre, guardaram o restante dos palitos, escondendo-os. Sabendo que o professor notou, pelo barulho, que havia alguns palitos dentro da caixa, calcular, em porcentagem, a probabilidade de que este professor venha a adivinhar em duas tentativas, no máximo, o número correto de palitos, deixados pelos alunos, dentro da caixa. * *DESDE JÁ AGRADEÇO*
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Suponha que os alunos colocaram 10x + y palitos na segunda instrução. Pela terceira, os palitos restantes serão 10x + y - (x + y) = 9x. Logo os números restantes possíveis são os múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45 e 54 (se a caixa tinha mais de 54). Como havia palitos dentro da caixa, descartamos o 0. Chamando o número total de palitos de z, a probabilidade de ocorrer os números menores que 45 são: 9 - 10/z 18 - 10/z 27 - 10/z 36 - 10/z Obviamente a melhor estratégia para o professor é adivinhar dois desses números de probabilidade 10/z, já que a probabilidade de ocorrerem 45 ou 54 é no máximo igual. Vamos assumir sem perda de generalidade 9 e 18. A chance de ser ou 9 ou 18 é obviamente de 20/z. Se z = 51 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/51 chance total - 20/51 * 1/9 Se z = 52 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/52 chance total - 20/52 * 1/9 etc... chance total de ser 9 ou 18 = 20/(51*9) + 20/(52*9) + 20/(53*9) + ... + 20/(59*9) = 5193090205879/14249471209974 ~ 36.4% Não me pergunte como fazer essa conta no papel, a não ser que eu tenha perdido alguma coisa... -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou seja, só aqueles no intervalo [10, z]. Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra coisa, por favor me corrijam. -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
A maioria das pessoas faz algo como pode ser 9, 18, 27, 36 ou 45, então ele tem 2 chances em 5 de acertar, que dá 40% -- é uma primeira aproximação, mas, na minha humilde opinião, está errado -- quem disse que estas 5 hipóteses são igualmente prováveis? A minha solução discorda da do Fernando milimetricamente -- para mim, ao saber que não há palitos na caixa, a distribuição de probabilidade do número original de palitos na caixa deixa de ser 1/9 para cada número de 51 a 59, levemente (pense assim: 51 é agora um pouco menos verossímil que 59, pois com 51 a chance dos alunos escolherem de 0 a 9 palitos para pôr na caixa era levemente maior, e agora sabemos que isto não aconteceu). Acho que a solução do Fernando estaria correta se o professor tivesse mandado os alunos porem 10 ou mais palitos na caixa **desde o começo**, ao invés de ter verificado isso ao final (isto faz diferença!). Minha solução é assim: sejam Z = número de palitos na caixa que o professor deu aos alunos X = número de palitos que os alunos botaram de volta na caixa Y = número de palitos na caixa ao final Para resolver o problema, temos que fazer alguma hipótese sobre as distribuições de X e Z. Vou copiar o Fernando i) Suponho que A PRIORI Z assume cada valor de 51 a 59 com probabilidade 1/9 (interpretei *entre* 50 e 60 sem extremos!). ii) Suponho que (dado Z) X assume qualquer valor entre 0 e Z com probabilidade 1/(z+1) (o enunciado não deixa claro se os alunos podiam pôr 0 palitos na caixa; pior, o enunciado sugere que os alunos não puseram Z nem Z-1 palitos na caixa quando diz esconderam oS palitoS restanteS, mas eu vou ignorar esta complicação). Note-se que as pessoas não costumam escolher números assim, mas alguma hipótese tem de ser feita, e esta é a mais simples. Com essas hipóteses, a tabela abaixo mostra a distribuição conjunta de X e Z antes de sacudir a caixa: Z X=0... 50 51 52 ... 59 51 1/(52*9)... 1/(52*9) 1/(52*9)0 ...0 52 1/(53*9)... 1/(53*9) 1/(53*9) 1/(53*9) ...0 .. 59 1/(60*9)... 1/(60*9) 1/(60*9) 1/(60*9) ... 1/(60*9) Por exemplo, Pr(Z=52 e X=51)=1/53*1/9, a priori. Note que Y=[X/10]*9, ou seja: Y=0 se X=0,1,...,9 Y=9 se X=10,11,...,19 Y=18 se X=20,...,29 etc. Então, juntando as colunas certas, fica o seguinte para Y e Z: ZY=09 18273645 51 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 2/(52*9) 52 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 3/(53*9) . 59 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) Para facilitar, escreva S=1/52+1/53+...+1/60. O que a gente tá vendo é que as probabilidades para Y são (antes de sacudir a caixa): Pr(Y=0)=Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=10S/9; Pr(Y=45)=o resto. Como o Fernando disse, Pr(Y=45) é menor que as outras, então o professor não deve tentar adivinhar este número. Ele deve tentar algo como 9 e 18, digamos, se for esperto. Quando ele sacode a caixa, a possibilidade Y=0 é jogada fora, e as outras probabilidades têm de ser re-escaladas para que a soma ainda dê 1. Então: APÓS SACUDIDA: Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=(10S/9)/(1-10S/9)=10S/(9-10S) Então a chance de ele adivinhar nas duas tentativas é 2*10S/(9-10S) onde S=1/52+...+1/60. Não vejo nenhuma outra simplificação possível -- fazendo a conta com o computador, achei 54871426/1376410941931= 43.591% -- que ficou BEM perto do que o Fernando achou. Tá razoável -- há 5 possibilidades, mas a 5a é um pouco menos provável que as 4 primeiras, e a gente escolheu duas das 4 primeiras. Abraço, Ralph On Nov 13, 2007 10:02 AM, Fernando Oliveira [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou seja, só aqueles no intervalo [10, z]. Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra coisa, por favor me corrijam. -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
40% - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Thursday, November 08, 2007 3:16 PM Subject: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA: Numa aula de aritmética, um professor de Matemática desafiou seus alunos. Disse que era capaz de adivinhar o número de palitos numa caixa de fósforos sem abrí-la. Para tal brincadeira, este professor deu para uma turma de alunos uma caixa de fósforos que continha um número de palitos entre 50 e 60, e orientou-os dizendo: - Queridos alunos, sigam corretamente as minhas instruções, mas não me digam nada, apenas executem-nas em silêncio. Primeiro: Tirem todos os palitos da caixa. Segundo: Coloquem quantos palitos vocês quiserem dentro da caixa. Terceiro: Retirem da caixa o número de palitos igual a soma dos algarismos do número de palitos que foram colocados na caixa na segunda instrução. Ao finalizar a terceira instrução os alunos devolveram a caixa fechada ao professor e sem dizerem absolutamente nada ao mestre, guardaram o restante dos palitos, escondendo-os. Sabendo que o professor notou, pelo barulho, que havia alguns palitos dentro da caixa, calcular, em porcentagem, a probabilidade de que este professor venha a adivinhar em duas tentativas, no máximo, o número correto de palitos, deixados pelos alunos, dentro da caixa. DESDE JÁ AGRADEÇO
[obm-l] RE: [obm-l] Professor de matemática...
Vc encontra a solução na própria RPM a de num. 47. Esse exemplar vc encontra disponível online na pagina da SBM, www.sbm.org.br, em material online. Um abraço, Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Professor de matemática... Date: Fri, 1 Jul 2005 13:11:14 EDT Esse problema, parece-me, foi proposto na revista professor de matemática. Qualquer um que desembarque nessa ilha verá imediatamente dois grandes carvalhos, que chamarei de A e B , e também uma palmeira que chamarei de C. Enterrei o tesouro em um ponto X que pode ser encontrado da seguinte forma. Caminhe de C para A, contando seus passos. Chegando em A, vire para a esquerda e dê exatamente o mesmo número de passos para chegar ao ponto M. Volte no ponto C. Caminhe de C para B, contando seus passos. Chegando em B, vire para a direita e dê exatamente o mesmo número de passos, para chegar ao ponto N. O ponto Xestá na reta que liga M a N, à mesma distância desses dois pontos. Voltando a Ilha os carvalhos A e B ainda estavam lá, mas a palmeira C tinha desaparecido. O tesouro está perdido?? Não sei se este problema foi discutido aqui. se foi peço desculpas e uma indicação de onde encontro a resposta... Agradeço desde já a quem puder me ajudar... Korshinoi _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Professor de matemática...
Este problema tambem foi uma questao do vestibular do IME de 1979/1980(algebra). Por algebra linear, \'e facil ver que a solucao esta' a uma distancia (AB/2) a esquerada do ponto medio de AB. Abraco, sergio On Fri, 1 Jul 2005, Frederico Reis Marques de Brito wrote: Vc encontra a solução na própria RPM a de num. 47. Esse exemplar vc encontra disponível online na pagina da SBM, www.sbm.org.br, em material online. Um abraço, Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Professor de matemática... Date: Fri, 1 Jul 2005 13:11:14 EDT Esse problema, parece-me, foi proposto na revista professor de matemática. Qualquer um que desembarque nessa ilha verá imediatamente dois grandes carvalhos, que chamarei de A e B , e também uma palmeira que chamarei de C. Enterrei o tesouro em um ponto X que pode ser encontrado da seguinte forma. Caminhe de C para A, contando seus passos. Chegando em A, vire para a esquerda e dê exatamente o mesmo número de passos para chegar ao ponto M. Volte no ponto C. Caminhe de C para B, contando seus passos. Chegando em B, vire para a direita e dê exatamente o mesmo número de passos, para chegar ao ponto N. O ponto Xestá na reta que liga M a N, à mesma distância desses dois pontos. Voltando a Ilha os carvalhos A e B ainda estavam lá, mas a palmeira C tinha desaparecido. O tesouro está perdido?? Não sei se este problema foi discutido aqui. se foi peço desculpas e uma indicação de onde encontro a resposta... Agradeço desde já a quem puder me ajudar... Korshinoi _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
