[obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!
Amigos, Osmundo, Leonardo, Cleber Valeu pela resolução das questões. Abraço De: Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 11 de Novembro de 2009 10:55:15 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!! Caro Diogo FN, vejamos: 01) Para que um número seja divisível por 11 é necessário que a soma alternada, da esquerda para a direita, dos seus algarismos seja um número divisível por 11. Considere um número formado por k pares justapostos de 36, a soma alternada é 6k – 3k = 3k, então basta tomar k um múltiplo positivo de 11. 02) De 100 até 262 , inclusive, temos um total de 163 números consecutivos. A maior lista que podemos fazer com tais números sem números consecutivos é 100,102,104,...,260,262 que tem 82 números apenas, como são 83 casas . 03) O número total de alunos é 46x38. Coloque 1 único aluno em 45 salas e os restantes 46x38 – 45 = 1703 na maior ! Um abraço Osmundo Bragança. De:owner- obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner- obm-l@mat.puc-rio.br ] Em nome de Diogo FN Enviada em: terça-feira, 10 de novembro de 2009 22:21 Para: OBM Assunto: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!! E aí amigos, tudo bem? podem me ajudar em mais essaS?! 01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36. 02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números entre 100 e 262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos. 03. Uma escola possui 46 classes com uma média de 38 alunos por classe. o que se pode dizer a respeito do número de alunos na maior? Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais questões. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RES: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!
Caro Diogo FN, vejamos: 01) Para que um número seja divisível por 11 é necessário que a soma alternada, da esquerda para a direita, dos seus algarismos seja um número divisível por 11. Considere um número formado por k pares justapostos de 36, a soma alternada é 6k 3k = 3k, então basta tomar k um múltiplo positivo de 11. 02) De 100 até 262 , inclusive, temos um total de 163 números consecutivos. A maior lista que podemos fazer com tais números sem números consecutivos é 100,102,104,...,260,262 que tem 82 números apenas, como são 83 casas . 03) O número total de alunos é 46x38. Coloque 1 único aluno em 45 salas e os restantes 46x38 45 = 1703 na maior ! Um abraço Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Diogo FN Enviada em: terça-feira, 10 de novembro de 2009 22:21 Para: OBM Assunto: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!! E aí amigos, tudo bem? podem me ajudar em mais essaS?! 01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36. 02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números entre 100 e 262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos. 03. Uma escola possui 46 classes com uma média de 38 alunos por classe. o que se pode dizer a respeito do número de alunos na maior? Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais questões. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
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Amigos, Não é 1/81... foi erro. A questão certa seria 1/729 Obrigado. De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Seg, Outubro 5, 2009 8:04:13 AM Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números Oi, Diego. Vá dividindo 0,1 (=1/9) por 9 e você verá o que precisa... Nehab Diogo FN escreveu: Macete pra fazer essa questão: 01. Calcular quantos algarismos tem o período de 1/81 e mostrar os últimos 3 números. Obrigado. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
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01. Pelo teorema de Bezout existem inteiros x e y tais que ax + by = 1. Agora , para tais x e y podemos considerar a expressão: (2a + b ) x + ( a + 2b ) y = 2ax + bx + ay + 2by = ( ax + by ) + 2(ax + by) = 1 + 2.1=3. Assim se d é o mdc de 2a + b e a +2b então d divide a expressão (2a + b ) x + ( a + 2b ) y que vale 3, portanto d=1 ou d=3. 02. Igualando a expressão dada a um trinômio quadrado perfeito em n elevado ao quadrado e comparando coeficientes de mesmo grau sai (n^2 + 3n + 1 ) ^2 . 03. Certamente n=1 serve, é o único. Se (n +1) divide n^2 + 1, como n+ 1 divide n^2 1 , n+ 1 divide a diferença dessas expressões, que é 2, daí n + 1 divide 2, nas condições propostas n=2. Dê uma olhada se está inteligível. Um abraço Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Diogo FN Enviada em: domingo, 20 de setembro de 2009 11:40 Para: OBM Assunto: [obm-l] Teoria dos Números Estava resolvendo algumas questões de teoria, e não consegui essas: 01. Mostrar que se (a,b) = 1, então (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3 02. Mostrar que sendo n um inteiro, o número n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 é um quadrado perfeito. 03. Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais (n + 1) | (n² + 1). Agradeço. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
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Osmundo, Obrigado pela força, irmão. deu pra compreender. Abraços Diogo FN De: Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 20 de Setembro de 2009 20:03:00 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Teoria dos Números 01. Pelo teorema de Bezout existem inteiros x e y tais que ax + by = 1. Agora , para tais x e y podemos considerar a expressão: (2a + b ) x + ( a + 2b ) y = 2ax + bx + ay + 2by = ( ax + by ) + 2(ax + by) = 1 + 2.1=3. Assim se d é o mdc de 2a + b e a +2b então d divide a expressão (2a + b ) x + ( a + 2b ) y que vale 3, portanto d=1 ou d=3. 02. Igualando a expressão dada a um trinômio quadrado perfeito em n elevado ao quadrado e comparando coeficientes de mesmo grau sai (n^2 + 3n + 1 ) ^2 . 03. Certamente n=1 serve, é o único. Se (n +1) divide n^2 + 1, como n+ 1 divide n^2 – 1 , n+ 1 divide a diferença dessas expressões, que é 2, daí n + 1 divide 2, nas condições propostas n=2. Dê uma olhada se está inteligível. Um abraço Osmundo Bragança De:owner- obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner- obm-l@mat.puc-rio.br ] Em nome de Diogo FN Enviada em: domingo, 20 de setembro de 2009 11:40 Para: OBM Assunto: [obm-l] Teoria dos Números Estava resolvendo algumas questões de teoria, e não consegui essas: 01. Mostrar que se (a,b) = 1, então (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3 02. Mostrar que sendo n um inteiro, o número n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 é um quadrado perfeito. 03. Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais (n + 1) | (n² + 1). Agradeço. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
entre 5^2 e 4^3 por exemplo, 25,26,27, 64 On 11/29/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. On 11/28/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. On 11/28/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
