[obm-l] Re: [obm-l] BINÔMIO DE NEWTON
Isso é consequência do teorema de Lucas: http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem Lucas Colucci Em 25 de janeiro de 2013 13:55, Vanderlei * vanderma...@gmail.comescreveu: Caros amigos, já apareceu na lista, mas não me convenceu. Se alguém tiver uma solução, agradeço! *Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)^n são ímpares se, e somente se, n é da forma 2^s - 1.*
[obm-l] Re: [obm-l] BINÔMIO DE NEWTON
Em primeiro lugar, analise o triangulo de Pascal modulo 2. Fica algo assim: 1 11 101 10001 110011 1010101 Entao, provar que a linha 2^n-1 eh toda impar, isto eh, 111...1, eh o mesmo que provar que a linha 2^n eh do tipo 10...0001. Agora, o terence tinha provado isso numa mensagem anterior. Era algo assim: i) Tomando coeficientes modulo 2, tem-se (z+1)^2=z^2+1. Entao (x+1)^4=(x^2+1)^2=x^4+1, e (x+1)^8=(x^4+1)^2=x^8+1, etc. Em suma, (x+1)^(2^p)=x^(2^p)+1. Entao quando n=2^p, a linha eh 10...0001 e a linha n+1 eh 1...111. ii) Por outro lado, seja n um inteiro qualquer nao potencia de 2. Escreva-o em base 2, assim: n=p1+p2+...+pn onde os p1p2...pn sao potencias de 2 (havera pelo menos duas delas). Entao, coeficientes mod 2: Q(x)=(x+1)^n=(x+1)^p1.(x+1)^p2...(x+1)^pn=(x^p1+1).(x^p2+1)...(x^pn+1) Abrindo isto, havera varios coeficientes impares alem do de x^(p1+p2+...+pn)=x^n e do 1 -- por exemplo, o coeficiente de x^(p1+p2), que eh impar e nao cancela com ninguem. Entao se n nao eh potencia de 2, a linha n nao eh 11, e portanto a linha n+1 nao eh 11...111. De fato, note que TODOS os monomios que aparecem quando voce abre Q(x) sao distintos (os expoentes de x sao somas de potencias distintas de 2, e o unico jeito de duas somas darem o mesmo numero eh se a LISTA de potencias for a mesma!). Entao o que o Terence provou eh que: O numero de coeficientes impares em (a+b)^n eh 2^d onde d eh o numero de digitos 1 quando voce escreve n em base 2. Abraco, Ralph 2013/1/25 Vanderlei * vanderma...@gmail.com: Caros amigos, já apareceu na lista, mas não me convenceu. Se alguém tiver uma solução, agradeço! Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)^n são ímpares se, e somente se, n é da forma 2^s - 1. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton
o fato de q ,fora os extremos,todos os elementos da linha n+1=m sao pares,podemos justificar pela relação de stifel. m é par,pois Cm,1 é par...a patir dai,oq eu tentei não funcionou Date: Wed, 18 Jan 2012 22:53:21 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e impares (1): 1 11 101 10001 110011 1010101 ... Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo. Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001 na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na linha n=2^s. Ajuda? Abraco, Ralph 2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n é da forma 2^s - 1. Agradeço a quem puder ajudar
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton
Vou fazer mais que isto: quantos coeficientes ímpares aparecem em (1+x)^n? Aqui, trataremos apenas de polinômios de coeficientes naturais. Temos (1+x)^2 = 1 +2x+x^2 =1+x^2+2p(x), em que p é um polinômio qualquer. Novamente, (1+x)^4=(1+x^2+2p(x))^2 = (1+x^2)^2+2p(x), em que p é um polinômio qualquer. Assim, (1+x)^4=1+x^4+2p(x). Por uma indução fácil, (1+x)^(2^n)=1+x^(2^n)+2p(x) em que p é um polinômio qualquer. Provamos então o que o Ralph disse. Mas vamos além, como prometi. Se n=2^a+2^b, temos (1+x)^(2^a)*(1+x)^(2^b) = (1+x^A+2M)(1+x^B+2N)=(1+x^A+x^B+x^AB+2P). Por indução, o tanto de coeficientes ímpares será justamente o tanto de 1s na representação binária de n. Em 18 de janeiro de 2012 22:53, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e impares (1): 1 11 101 10001 110011 1010101 ... Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo. Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001 na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na linha n=2^s. Ajuda? Abraco, Ralph 2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n é da forma 2^s - 1. Agradeço a quem puder ajudar -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton
Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e impares (1): 1 11 101 10001 110011 1010101 ... Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo. Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001 na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na linha n=2^s. Ajuda? Abraco, Ralph 2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n é da forma 2^s - 1. Agradeço a quem puder ajudar
[obm-l] Re: [obm-l] binômio de newton
Oi pessoal! -notação: C(a,b) = combinações de a tomados b a b. Seja (a + x)^n. Em que x é muito pequeno. Para n=2 temos a^2 + 2ax + x^2. Se (a + x)^n é aproximadamente a + nx, Então: a^2 + 2ax + x^2 = a + 2x . x^2 é irrelevante para uma aproximação, logo: a(a + 2x) = a + 2x, logo se n=2, (a + x)^n = a + nx, somente se a=1. Agora vamos provar pelo binômio de Newton. Considerando a=1, x como pequeno mas relevante e x^y irrelevante para y=2. Temos para n natural (1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3 + ... . Mas C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3 + ... é irrelevante, logo pela aproximação: (1 + x)^n = 1 + nx .Agora tomemos (1 + x)^(1/n) com n natural, aplicando o processo inverso temos (1 + x)^(1/n) = 1 + x/n, pois se x é muito pequeno, x/n também é muito pequeno, logo (1 + x/n)^n = 1 + x, então o processovale para todo número real positivo (como se trata de uma aproximação também vale para os irracionais). Logo se (a + x)^n = a + xn para n = -1, vale para todo n0 e logo para todo n real. (a + x)^(-1) = a - x = (a + x).(a - x) = 1 = a^2 - x^2 = 1 . Como x^2 é desprezível, a^2 = 1 = a = 1 CQD. Para a diferente de 1, (a + x)^n = (a^n).(1 + x/a)^n = (a^n).(1 + nx/a) = ( a + x )^n = a^n + n.x.(a^(n-1)) A aproximação vale sempre que (a^(n-2))(x^2) for considerado desprezível ( para |a| 1) André T. - Original Message - From: pichurin [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 12:13 PM Subject: Re: [obm-l] binômio de newton Ok, mas se a=1, as regras são válidas? Por quê? --- Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Não, só se a=1. pichurin wrote: (a + x)^n x é um número bem pequen0(entre zero e um) Ex: (1 + 0,05)^32 Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o valor aproximado) essa aproximação pode ser dada por a + nx? ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] binômio de newton
(a+x)^n = a^n + n.a^(n-1).x + n.(n-1).a^(n-2).x²/2! + .. como x é pequeno vc pode aproximar por: (a+x)^n = a^n + n.a^(n-1).x -- Mensagem original -- (a + x)^n x é um número bem pequen0(entre zero e um) Ex: (1 + 0,05)^32 Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o valor aproximado) essa aproximação pode ser dada por a + nx? ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
