[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Artur Costa Steiner]

Outra solução:

As raízes de x^2 + x + 1 são r1 = cis 2pi/3 e r2= cis 4pi/3, as raízes
cúbicas de 1 exceto 1.. Sendo D o quociente e ax + b o resto da divisão.
temos que

*x^30 - x^28 + 7x^12 = D(x) ( x^2 + x + 1) + ax + b*

*Como 30 e 12 são múltiplos de 3, r1^30 = r1^12 = 1. E r1^28 = r1 . r1^27 =
r1. Assim, fazendo x = r1, vem*

*1 - r1 + 7 = 8 - r1 = 8 - (-1/2 + raiz(3)/2 i) = 8,5 - raiz(3)/2 i = -a/2
+ a raiz(3)/2 i + b.*

*Assim, a = -1, b - a/2 = b + 1/2 = 8,5 , b = 8. O resto é -x + 8.*

*Fazendo x = r2, chegamos ao mesmo resultado.*

*Mas acho que  solução do Matheus é mais elegante.  A minha se simplificou
porque 30 e 12 são múltiplos de 3 e 28 = 1 + 27, 27 também múltiplo de 3*


*Artur *
Em sáb, 22 de ago de 2020 21:38, Matheus Secco 
escreveu:

> Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem
> similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato
> de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1).
>
> Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso,
> x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e
> 7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1).
>
> Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o
> grau de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x.
>
> Abraços,
>
> Matheus.
>
> On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi!
>>
>> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
>> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>>
>> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
>> x + 1?*
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-615878603476649313_m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Esdras Muniz]

Vc pode dizer que x^2=-(x+1) e abrir as contas.

Em sáb, 22 de ago de 2020 21:19, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Oi!
>
> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>
> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
> Muito obrigado!
>
> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
> x + 1?*
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_695281535589841859_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Matheus Secco]

Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem
similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato
de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1).

Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso,
x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e
7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1).

Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o grau
de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x.

Abraços,

Matheus.

On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:

> Oi!
>
> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>
> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
> Muito obrigado!
>
> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
> x + 1?*
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Professor Vanderlei Nemitz]

Oi!

Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?

Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
Muito obrigado!

*Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
x + 1?*


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Pedro José]

Boa tarde!

8^1 = 2 mod6
8^2 = 4 mod6
8^3 = 2 mod6

Então 8^k=2 mod6 se k ímpar e 8^k=4 mod6 se k par.
Portanto 8^k + 8^(k+1) = 0 mod6. Então só sobra 8^15, como 15 é impar ==>
resto = 2.

Saudações,
PJMS

Em 19 de setembro de 2016 11:05, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier 
> escreveu:
> > Prezados amigos,
> >
> > como resolver o seguinte problema:
> >
> > Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?
>
> É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2).
>
> E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar
> em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3.
>
> Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1,
> 4^8-2 deixa resto 2.
>
> Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo,
> deixará resto 2 módulo 6.
>
> >
> > Grato pela ajuda.
> >
> > Marcos Xavier
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
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>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Anderson Torres]

Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier  escreveu:
> Prezados amigos,
>
> como resolver o seguinte problema:
>
> Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?

É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2).

E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar
em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3.

Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1,
4^8-2 deixa resto 2.

Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo,
deixará resto 2 módulo 6.

>
> Grato pela ajuda.
>
> Marcos Xavier
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Carlos Gomes]

Olá Marcos...vamos lá...(Vou usar "=" para representar congruente. Como
8=2(mod6) podemos tocar os "8" por 2. Além disso perceba que 2^n=2(mod6) se
n é ímpar e 2^n=4(mod6) se n é par. com (n>0). Assim,

8^1=2(mod6)
8^2=2^2=4(mod6)
8^3=2^3=2(mod6)
.
.
.
8^15=2^15=2(mod6)

adicionando membro a membro, segue que

 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15=2+4+2+...+2=8x2+7x4=44=2(mod6)

portanto o resto da divisão do número  8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6 é
igual a 2.

Cgomes.

Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier  escreveu:

> Prezados amigos,
>
> como resolver o seguinte problema:
>
> Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?
>
> Grato pela ajuda.
>
> Marcos Xavier
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Resto da Divisão por 6

[Marcos Xavier]

Prezados amigos,

como resolver o seguinte problema:

Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?

Grato pela ajuda.

Marcos Xavier
  
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] resto da divisão de um produto por 6

[Prof . Vitório Gauss]

 Qual o resto da divisão do produto (2 344)^8 * (1375)^9 por 6.

Não é mais fácil fazer por congruência modular que dizer:

o resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da divisão da soma dos algarismos dasunidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes.(2 344)^8 * (1375)^94 + 4 . (2 + 3 + 4) 5 + 4 (1 + 3 + 7)40 49408 . 499 6 24 . 24 . 24 . 24 648 . 19 6 16 . 16 . 16 . 16 6 Basta dividir cada termo por 6 e colocar o resto.216 6 4 . 4 . 4 . 4 6256 6= 4

???
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] resto da divisão de um produto por 6

[Ralph Teixeira]

Oi Vitório.

Bom, eu acho que é mais fácil (e sistemático) por congruência modular (não
gosto de ficar decorando regras de divisibilidade e restos para cada número
que aparecer)...

...mas, é claro, minha opinião vale porque eu me acostumei com congruência
modular. :)

Abraço,
 Ralph

2010/11/8 Prof. Vitório Gauss vitorioga...@uol.com.br



 Qual o resto da divisão do produto (2 344)^8 * (1375)^9 por 6.
 Não é mais fácil fazer por congruência modular que dizer:
  o resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que *o resto da divisão
 da soma dos algarismos das
 unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes.*
 (2 344)^8 * (1375)^9
 4 + 4 . (2 + 3 + 4) 5 + 4 (1 + 3 + 7)
 40 49
 408 . 499 6 24 . 24 . 24 . 24 6
 48 . 19 6 16 . 16 . 16 . 16 6 Basta dividir cada termo por 6 e colocar o
 resto.
 216 6 4 . 4 . 4 . 4 6
 256 6
 = 4

 ???
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] Resto da divisão

[Júnior]

Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-.
 .\__/ || |   |
  _ /  `._ \|_|_.-'
 | /  \__.`=._) (_   Júnior
 |/ ._/  || 
 |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares
 ;/ / | | Seja Livre - Use Linux
 ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED]
 '  `-`  ' Msn:[EMAIL PROTECTED]

   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

Re: [obm-l] Resto da divisão

[Angelo Schranko]

1000! = 1000.999...3.2.1
   
  Neste produto há 333 (*) fatores múltiplos de 3, portanto o resto da divisão 
é zero.
   
  * Resolvendo a seguinte PA:
   
  999 = 3 + (n-1)3 = n = 333
   
  [ ]´s
  Angelo
  

Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-.
 .\__/ || |   |
  _ /  `._ \|_|_.-'
 | /  \__.`=._) (_   Júnior
 |/ ._/  || 
 |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares
 ;/ / | | Seja Livre - Use Linux
 ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED]
 '  `-`  ' Msn:[EMAIL PROTECTED]
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 


   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão

[Benedito]

A maior potência de três que divide  1000! é 498.
Portanto, na divisão de  1000!  por  3^300  o resto é zero.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Angelo Schranko 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 11, 2007 10:13 AM
  Subject: Re: [obm-l] Resto da divisão


  1000! = 1000.999...3.2.1

  Neste produto há 333 (*) fatores múltiplos de 3, portanto o resto da divisão 
é zero.

  * Resolvendo a seguinte PA:

  999 = 3 + (n-1)3 = n = 333

  [ ]´s
  Angelo


  Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-. .\__/ || |   |  _ /  `._ \|_|_.-' | /  \__.`=._) (_   
Júnior |/ ._/  ||  |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares 
;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL 
PROTECTED] '  `-`  ' Msn:[EMAIL PROTECTED] sua conta no Yahoo! Mail, 
o único sem limite de espaço para armazenamento! 


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

[obm-l] RESTO

[arkon]

Alguém pode resolver esta:

O resto da divisão de 1 + x + x2 + ... + x100 por x2 – 1 é:

a) 0.   b) x + 1. c) 50x + 50.  d) 50x + 51.e) 
51x + 50.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

Re: [obm-l] RESTO

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Arkon,

Note que se você divide um polinômio P(x) por um polinômo de segundo 
grau, o resto é no máximo do primeiro grau, certo?

P(x) = (x^2 - 1).Q(x) + (Ax+B)

Faça x = 1 e x = -1 nesta igualdade, pois tais valores anulam x^2 - 
1  e pronto, você descobre A e B.


Nehab


At 13:00 23/8/2007, you wrote:


Alguém pode resolver esta:



O resto da divisão de 1 + x + x2 + ... + x100 por x2 – 1 
é:?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office /




a) 0.   b) x + 1. c) 50x + 50.  d) 50x + 
51.e) 51x + 50.




DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

[obm-l] resto da divisao

[ilhadepaqueta]

Por favor,1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+xpor x^3-x^2 ?2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+pé divisível por (x^2-1)(x-1), quando:a) m = n + pb) m - p + n = 13c) m + p = nd) m + n = pe) n + p = 2mObrigado mais uma vez.

Re: [obm-l] resto da divisao

[Jefferson Franca]

Acho que pra primeira questão vc poderia usar o algoritmo da divisão de Euclides, ou seja, escrever que p(x) = x^81+x^40-3x^25+x^8+x quando dividido por d(x) =x^3-x^2 tem quociente q(x) e resto r(x) que deve ser um polinômio de grau menor que 3 e maior que zero.  Note que podemos fatorar d(x), isto é, d(x) = x^2 (x - 1), assim concluímos que as raízes de d(x) são 0 e 1 e esrever r(x) como a*x^2 + b*x + c, logo  p(x) = d(x) q(x) + r(x), fazendo x assumir os valores 0 e 1, iremos encontrar as constantes a, b e c, ou seja, o polinômio r(x).  A segunda é mais fácil, faça p(1), depois p(1) e pronto.ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Por favor,1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+xpor
 x^3-x^2 ?2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+pé divisível por (x^2-1)(x-1), quando:a) m = n + pb) m - p + n = 13c) m + p = nd) m + n = pe) n + p = 2mObrigado mais uma vez. 
		 
Yahoo! Search 
Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt

Re: [obm-l] resto da divisao

[saulo nilson]

x^81+x^40-3x^25+x^8+x / x^2(x-1)
e a mesma coisa que escrever
x^80 + x^39 -3x^24 +x^7 +1 / x(x-1)

achando a divisao de p(x) por x e x-1, encontramos
P(x)= q1(x)*x +1
p(x)= q2(x)*(x-1) +1
p(x)= q3(x)*x*(x-1) + ax+b
note que o grau do resto e menor que 2 , x*(x-1)
entao temos que 
p(0)=1
p(1)= 1
b=1
a=0
entao temos que

r(x)=1

na segunda questao, se p(x) e divisivel por (x-1)^2*(x+1) entao temos que p(x) tambem e divisivel por x-1 e x+1, dai tiramos que:

p(1)=0
p(-1)=0
0= -5+m+n+p
0= -5 +m-n+pai vc acha que n=0
m+p=5
On 8/11/06, ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] wrote:



Por favor,1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+xpor x^3-x^2 ?2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+pé divisível por (x^2-1)(x-1), quando:a) m = n + pb) m - p + n = 13
c) m + p = nd) m + n = pe) n + p = 2mObrigado mais uma vez.

Re: [obm-l] resto da divisao

[Andre F S]

Rapaz, acho que a segunda questão não basta só divisão de euclides
não. Mas assim, rola:

P(x) = (ax^2+bx+c)*(x^2-1)(x-1) = x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p

depois de montar o sistema com a,b,c e m,n,p, o cara acaba chegando em
m = p = -4 e n = 0

André FS

On 8/11/06, ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] wrote:



Por favor,

1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+x
por x^3-x^2 ?

2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p
é divisível por (x^2-1)(x-1), quando:
a) m = n + p
b) m - p + n = 13
c) m + p = n
d) m + n = p
e) n + p = 2m

Obrigado mais uma vez.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] resto da divisao

[Andre F S]

Perdão,
m= 9
n =0
p = -4

On 8/11/06, Andre F S [EMAIL PROTECTED] wrote:

Rapaz, acho que a segunda questão não basta só divisão de euclides
não. Mas assim, rola:

P(x) = (ax^2+bx+c)*(x^2-1)(x-1) = x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p

depois de montar o sistema com a,b,c e m,n,p, o cara acaba chegando em
m = p = -4 e n = 0

André FS

On 8/11/06, ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Por favor,

 1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+x
 por x^3-x^2 ?

 2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p
 é divisível por (x^2-1)(x-1), quando:
 a) m = n + p
 b) m - p + n = 13
 c) m + p = n
 d) m + n = p
 e) n + p = 2m

 Obrigado mais uma vez.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] resto da divisao

[saulo nilson]

ta certo entao a respos]ta e a letra b m-p +n=13
On 8/11/06, Andre F S [EMAIL PROTECTED] wrote:
Perdão,m= 9n =0p = -4On 8/11/06, Andre F S [EMAIL PROTECTED]
 wrote: Rapaz, acho que a segunda questão não basta só divisão de euclides não. Mas assim, rola: P(x) = (ax^2+bx+c)*(x^2-1)(x-1) = x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p depois de montar o sistema com a,b,c e m,n,p, o cara acaba chegando em
 m = p = -4 e n = 0 André FS On 8/11/06, ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] wrote:Por favor,
   1) Qual o resto da divisão de x^81+x^40-3x^25+x^8+x  por x^3-x^2 ?   2) O polinômio P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+p  é divisível por (x^2-1)(x-1), quando:
  a) m = n + p  b) m - p + n = 13  c) m + p = n  d) m + n = p  e) n + p = 2m   Obrigado mais uma vez. =
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] resto da divisao

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

2)

para serem divisiveis, eles odividendo tem q 
ter todas as raizes do divisor.. entao:

raizes do divisor: (x^2-1)(x-1) .. raizes: 1 
(dupla) e -1

assim: p(1) = 1 - 5 - 1 + m + n + p = 0 ... m + n + 
p = 5

p(-1) = (-1) - 5 - (-1) + m - n + p = 0 ... m - n + 
p = 5  igualando à anterior, temos: m - n + p = m + n + p 
= n = 0

mas 1 tem q ser raiz dupla, isto eh, tem q ser raiz 
da derivada, entao:

p'(x) = 5x^4 - 20x^3 - 3x^2 + 2mx + n
p'(1) = 5 - 20 - 3 + 2m + n = 0  2m + n = 18 
... mas n=0, entao: m = 9

logo, p = -4

m = 9, n = 0, p = -4

logo, item B

abraços
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  ilhadepaqueta 
  To: obm-l 
  Sent: Friday, August 11, 2006 1:03 
  PM
  Subject: [obm-l] resto da divisao
  
  
  Por favor,1) Qual o resto da divisão de 
  x^81+x^40-3x^25+x^8+xpor x^3-x^2 ?2) O polinômio 
  P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+pé divisível por (x^2-1)(x-1), quando:a) m = 
  n + pb) m - p + n = 13c) m + p = nd) m + n = pe) n + p = 
  2mObrigado mais uma vez.
  
  

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  9/8/2006

Re: [obm-l] resto da divisao

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

1) 
p(x) = d(x) * q(x)+ r(x)

como d(x) = x^3-x^2, entao r(x) é no máximo de 2o. 
grau..
entao: r(x) = ax^2 + bx + c

p(0) = d(0) * q(0) + r(0)

p(0) = 0, d(0) = 0, 
entao: 0 = r(0) = c ... c = 0

p(1) = d(1) * q(1) + r(1)
1 = 0 * q(1) + r(1), entao: a + b + c = 1, mas c 
=0, logo: a + b = 1

derivando, temos:
p'(x) = d'(x) * q(x) + d(x) * q'(x) + 
r'(x)

d'(x) = 3x^2 - 2x

assim, pegando x = 0, temos d(0) = 0, d'(0) = 0... 
logo:
p'(0) = r'(0)
r'(x) = 2ax + b ... r'(0) = b
p'(x) = 81*x^80 + 40*x^39 - 75*x^24 + 8*x^7 + 1 ... 
p'(0) = 1

logo: b = 1, a = 0

assim: r(x) = x

abraços
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  ilhadepaqueta 
  To: obm-l 
  Sent: Friday, August 11, 2006 1:03 
  PM
  Subject: [obm-l] resto da divisao
  
  
  Por favor,1) Qual o resto da divisão de 
  x^81+x^40-3x^25+x^8+xpor x^3-x^2 ?2) O polinômio 
  P(x)=x^5-5x^4-x^3+mx^2+nx+pé divisível por (x^2-1)(x-1), quando:a) m = 
  n + pb) m - p + n = 13c) m + p = nd) m + n = pe) n + p = 
  2mObrigado mais uma vez.
  
  

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[obm-l] Resto Chinês

[Rhilbert Rivera]

Gostaria de uma ajuda nessa problema:

João e Maria se depararam com uma corda muito comprida e sem nada para fazer naquele momento, resolveram medi-la. O interessante é que mediram a corda de 2 em 2 metros e sobrou 1 metro. Mediram novamente de 3 em 3 metros e sobraram 2 metros. Mais uma vez mediram de 5 em 5 metros e sobraram 3 metros. Não satisfeitos, mediram de 7 em 7 metros e surpresa, sobraram 4 metros. Para finalizar, mediram a corda de 11 em 11 metros e sobraram 5 metros. Ufa! A pergunta é: qual o comprimento mínimo que esta bendita corda deve ter?”

Existe uma forma rápida de se chegar à resposta sem utilizar o teorema chinês do resto?

ObrigadoCopa 2006: Sabe como se diz ‘pênalti’ em alemão? Clique aqui: 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] resto

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Não sei se você TEM, mas neste caso é fácil:
 - O resto na divisão por x^3 é um polinômio de grau dois
 - Todos os termos com grau maior do que três são divididos exatamente
Basta calcular os termos de grau 0, 1 e 2 deste binômio, que são:
C(12,0)*x^0*3^12 + C(12,1)*x^1*3^11 + C(12,2)*x^2*3^10
Depois você multiplica tudo por 3^(-10) para ficar mais simples!

Abraços,
Bernardo Costa

On Wed, 20 Oct 2004 00:53:25 EDT, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse
 exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o
 binômio??.
 Valeu, 
  Korshinói
   
  


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] resto

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] resto



on 20.10.04 02:53, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??.
 Valeu, 
 Korshinói
 

O resto serah de grau = 2. Chame-o de ax^2 + bx + c.

(3^(-10))*(x+3)^12 = x^3*q(x) + ax^2 + bx + c

Derive a identidade acima 2 vezes, obtendo, sucessivamente:
4*(3^(-9))*(x+3)^11 = 3x^2*q(x) + x^3*q'(x) + 2ax + b
e
44*(3^(-9))*(x+3)^10 = 6x*q(x) + 6x^2*q'(x) + x^3*q''(x) + 2a.

Agora, faca x = 0 nas 3 equacoes acima, obtendo:
9 = c
36 = b
132 = 2a == resto = 66x^2 + 36x + 9.

[]s,
Claudio.

[obm-l] resto

[Korshinoi]

Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??.
 Valeu, 
 Korshinói
 

Re: [obm-l] Resto

[Jose Paulo Carneiro]

Se voce domina a tecnica das congruencias (no caso, 
modulo 9, representada por ==):
N=(8935013)^437==2^437==2^432 x 2^5==32==5, que eh 
o resto porocurado.
A primeira passagem vem da "prova dos 9".
A terceira passagem se justifica porque 2^3=8== -1, e 
portanto 2^6==1; 
alem disto, 432 eh multiplo de 6. Logo: 2^432==1 
tambem.

Se voce nao domina a tecnica, tudo isto pode ser refeito 

(gastando muito mais tinta) pela definicao de 
resto:
8935013=2+9k, etc.

JP


  - Original Message - 
  From: 
  Daniel 
  To: Lista da OBM 
  Sent: Thursday, March 07, 2002 10:18 
  PM
  Subject: [obm-l] Resto
  

   Olá à todos, será que alguem poderia me explicar com é que 
  se faz para achar o resto da divisão por 9 do número:
  

   (8935013)^437, onde ^ significa elevado à.
  
  
Grato por 
  qualquer ajuda
   
  

  
  
 
Daniel

[obm-l] Resto

[Daniel]

  
 Olá à todos, será que alguem poderia me explicar com é que se 
faz para achar o resto da divisão por 9 do número:

  
 (8935013)^437, onde ^ significa elevado à.


  Grato por 
qualquer ajuda
 

  


   
Daniel