Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Incinero? Enviado do meu iPhone Em 3 de jun de 2018, à(s) 12:02, Daniel Quevedo escreveu: > O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que > incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a > soma A+B+C+D é igual a: > A) 15 > B) 16 > C) 17 > D) 18 > E) 19 > > R: E > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
AB-CD=1 --> AB-1=CD . Dai, se ABCD = n^2 --> ABCD-100 = n^2-100 --> CDCD = (n-10)(n+10) --> CD x 101 = (n-10)(n+10). 101 é primo, logo 101 divide n-10 ou n+10, mas se 101 dividisse n-10, n-10>=101,--> n>= 110 e n^2 = ABCD teria no mínimo 5 algarismos. Assim 101 divide n+10, mas sendo n+10 = 101m é fácil ver que devemos ter m=1, pois se m>1, n+10>= 202 --> n>= 192 --> n^2 = ABCD teria no mínimo 5 algarismos. Portanto n+10=101 --> n= 91 e n^2 = 8281 --> A+B+C+D = 8+2+8+1=19. Em dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo escreveu: > O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que > incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a > soma A+B+C+D é igual a: > A) 15 > B) 16 > C) 17 > D) 18 > E) 19 > > R: E > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Eu comecei a fazer e fiquei com números muito grandes. Como ABCD é qp D = 1, 4, 6, 9 ( 5 não serve pq qqr número com final 5 termina em 25 e o número 2625 não é qp). Mesmo usando alguns critérios de exclusão d qp não restrito muito as possibilidades. D qqr forma aguardo uma resolução ou continuação da questão. Em dom, 3 de jun de 2018 às 14:04, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Só consegui na grosseria. > Tem de ser um número maior que 31, para ter 4 algarismos. > Então o número x será o quadrado de MN que será > 100M^2+20N*M+N^2. Para satisfazer o problema. > [(M^2+X)/10] =Y, > Onde XY =2*(MN) e note que X pode ser o algarismo zero. > [a] representa parte inteira de a > Para > N= 0, não atende dá só três algarismos. 100 > N=1 serve o M= 9, o 7 bate na trave. > Verificando: 91^2=8281, atende de cara. Como é múltipla escolha > poderia parar. > Mas não atende para N=2,3,4,6,7,8,9. > Para 5 não precisa verificar pois, o quadrado de um número 10*X+5 é > 100*X*(X+1)+25. > 26 não pode ser obtido do produto de dois números consecutivos. > Mas se você tiver paciência, alguém posta uma soluçao mais elegante. > Saudações, > PJMS > > Em Dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo > escreveu: > >> O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que >> incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a >> soma A+B+C+D é igual a: >> A) 15 >> B) 16 >> C) 17 >> D) 18 >> E) 19 >> >> R: E >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Boa tarde! XY = 2*M*N é uma notação melhor, para não causar confusão. Saudações, PJMS Em Dom, 3 de jun de 2018 13:57, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Só consegui na grosseria. > Tem de ser um número maior que 31, para ter 4 algarismos. > Então o número x será o quadrado de MN que será > 100M^2+20N*M+N^2. Para satisfazer o problema. > [(M^2+X)/10] =Y, > Onde XY =2*(MN) e note que X pode ser o algarismo zero. > [a] representa parte inteira de a > Para > N= 0, não atende dá só três algarismos. 100 > N=1 serve o M= 9, o 7 bate na trave. > Verificando: 91^2=8281, atende de cara. Como é múltipla escolha > poderia parar. > Mas não atende para N=2,3,4,6,7,8,9. > Para 5 não precisa verificar pois, o quadrado de um número 10*X+5 é > 100*X*(X+1)+25. > 26 não pode ser obtido do produto de dois números consecutivos. > Mas se você tiver paciência, alguém posta uma soluçao mais elegante. > Saudações, > PJMS > > Em Dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo > escreveu: > >> O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que >> incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a >> soma A+B+C+D é igual a: >> A) 15 >> B) 16 >> C) 17 >> D) 18 >> E) 19 >> >> R: E >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Boa tarde! Só consegui na grosseria. Tem de ser um número maior que 31, para ter 4 algarismos. Então o número x será o quadrado de MN que será 100M^2+20N*M+N^2. Para satisfazer o problema. [(M^2+X)/10] =Y, Onde XY =2*(MN) e note que X pode ser o algarismo zero. [a] representa parte inteira de a Para N= 0, não atende dá só três algarismos. 100 N=1 serve o M= 9, o 7 bate na trave. Verificando: 91^2=8281, atende de cara. Como é múltipla escolha poderia parar. Mas não atende para N=2,3,4,6,7,8,9. Para 5 não precisa verificar pois, o quadrado de um número 10*X+5 é 100*X*(X+1)+25. 26 não pode ser obtido do produto de dois números consecutivos. Mas se você tiver paciência, alguém posta uma soluçao mais elegante. Saudações, PJMS Em Dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo escreveu: > O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que > incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a > soma A+B+C+D é igual a: > A) 15 > B) 16 > C) 17 > D) 18 > E) 19 > > R: E > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Vamos tentar - tentar! - resolver a equação diofantina x^2 = 4mn - m - n Note que isto tem uma carinha de fatoração marota: x^2 = m* (4n - 1) - n Multiplicando por 4, vai ficar parecido: 4x^2 = 4m* (4n - 1) - 4n 4x^2+1 = 4m* (4n - 1) - 4n+1 4x^2+1 = (4m - 1)* (4n - 1) (2x)^2+1 = (4m - 1)* (4n - 1) Agora, vamos usar uma propriedade bem legal dos números que são somas de quadrados. A saber: Ao fatorarmos um número da forma a^2+1, só obteremos fatores primos da forma 4k+1. Você pode demonstrar isso usando Reciprocidade Quadrática. Assim sendo, temos um problema: é impossível que combinemos números da forma 4k+1 e obtenhamos como produto números da forma 4k-1. É isso! Só precisarei dar uma formalizada... Em 1 de agosto de 2014 19:42, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Mostre que não existem naturais m e n tais que 4mn - m - n seja um > quadrado perfeito. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito ?
a00b a=b a(101)=nao e quadrado perfeito a=!b a00.b=a*10^n=(x-rqb)(x+rqb)= =a*2^n*5^n como x -rqb e x+rqb diferem de 2rqb e nos temos combinaçoes que diferem de multiplos de 2 e 5, e b varia de 1 a 9 logo x nunca podera ser escolhido para que a igualdade seja igualada. 2014-04-06 16:27 GMT-03:00 terence thirteen : > Vou supor que exista pelo menos um 0. > > 3*10^n+1 = x^2 > 3*10^n= x^2-1 > 3*10^n= (x-1)(x+1) > > 3*2^n*5^n= (x-1)(x+1) > > Temos MDC(x-1,x+1)=MDC(x-1,2)=1 ou 2. Como n>1, então o MDC é 2. Assim, o > lado direito é múltiplo de 4 mas não de 8. Isso limita o total de valores > possíveis para n - basta testar! > > Acho que dá para fazer o mesmo nos outros casos que você deixou para > trás... > > > > > > > Em 5 de abril de 2014 20:39, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Mostre que os números da forma a000...0b não são quadrados perfeitos >> >> Os valores possíveis para b são 1,4,5,6 e 9 >> Analisando modulo 8 descartamos 6 e 9 >> Podemos descartar tambem o 5,pois se a^2 termina em 5,a tambem >> termina em 5,mas neste caso a^2 terminaria em 25 >> Analisando modulo 9,notamos que 1000...01,2000...01,4000...1,5000...1 e >> 7000...1 não são quadrados >> Também estariam fora 1000...04,2000...04,4000...04,7000...04,8000...4 >> Os quadrados são da forma 9k,9k+1,9k+4 e 9k+7 >> Há outros 8 casos que ficariam em aberto: 3000...01,6000...01,8000...01 e >> 9000...01,3000...04,5000...04, >> 6000...04 e 9000...04 >> E agora José? >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito?
Vamos lá: 3*10^n+1=x^2 3*10^n=(x-1)(x+1) 1 - Se x-1 e x+1 forem ambos ímpares, seu produto é necessariamente 3. Assim, n=0, uma falha óbvia - 3+1=4 não é da forma 3...01. 2 - Para o outro caso, podemos rachar em muitos casos. Não vejo como ser mais rápido que isso. Acho que não tem como ter muito mais sorte que isso - no máximo, aplicando algum fato obscuro sobre uma congruência obscura, Em 9 de abril de 2014 16:50, terence thirteen escreveu: > Realmente, você tem razão. Mas a ideia da fatoração ainda pode ser usada. > Por exemplo, se o MDC é 2, os dois fatores daquele produto não podem conter > fatores iguais exceto o 2 - e mesmo esse 2 é limitado. > > Assim que chegar em casa eu completo o raciocínio. > > > > > Em 8 de abril de 2014 23:20, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Mostrar que 3000...01 não é quadrado perfeito >> >> 3.10^n +1 = x^2 >> 3.10^n = (x+1)(x-1) * >> x-1 = 3k(ou x+1 =3k) >> 10^n = k(3k+2) => 2^n.5^n = k(3k+2) >> mdc(k,3k+2) = 2(pois k é par) => k = 2 e 3k+2 =2^(n-1).5^n >> k = 2 não serve(é só testar) >> Para x +1 = 3k o raciocínio é o mesmo >> O Terence deu a ideia só que ele afirma que em *,como mdc(x+1,x-1) = 2 >> o lado direito é múltiplo de 4 mas não de 8(e isso limita n,dai é só >> testar) >> e eu acho que ele se enganou, pois podemos ter,por exemplo,mdc(30,32) = 2 >> e 30.32 = 8.120. >> Errei em algo? >> Teria como resolver a.3^n + 1 = x^2,com 0 < a < 10 ? >> A questão original é mostrar que a00...0b não é quadrado perfeito. >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito?
Realmente, você tem razão. Mas a ideia da fatoração ainda pode ser usada. Por exemplo, se o MDC é 2, os dois fatores daquele produto não podem conter fatores iguais exceto o 2 - e mesmo esse 2 é limitado. Assim que chegar em casa eu completo o raciocínio. Em 8 de abril de 2014 23:20, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Mostrar que 3000...01 não é quadrado perfeito > > 3.10^n +1 = x^2 > 3.10^n = (x+1)(x-1) * > x-1 = 3k(ou x+1 =3k) > 10^n = k(3k+2) => 2^n.5^n = k(3k+2) > mdc(k,3k+2) = 2(pois k é par) => k = 2 e 3k+2 =2^(n-1).5^n > k = 2 não serve(é só testar) > Para x +1 = 3k o raciocínio é o mesmo > O Terence deu a ideia só que ele afirma que em *,como mdc(x+1,x-1) = 2 > o lado direito é múltiplo de 4 mas não de 8(e isso limita n,dai é só > testar) > e eu acho que ele se enganou, pois podemos ter,por exemplo,mdc(30,32) = 2 > e 30.32 = 8.120. > Errei em algo? > Teria como resolver a.3^n + 1 = x^2,com 0 < a < 10 ? > A questão original é mostrar que a00...0b não é quadrado perfeito. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito ?
Vou supor que exista pelo menos um 0. 3*10^n+1 = x^2 3*10^n= x^2-1 3*10^n= (x-1)(x+1) 3*2^n*5^n= (x-1)(x+1) Temos MDC(x-1,x+1)=MDC(x-1,2)=1 ou 2. Como n>1, então o MDC é 2. Assim, o lado direito é múltiplo de 4 mas não de 8. Isso limita o total de valores possíveis para n - basta testar! Acho que dá para fazer o mesmo nos outros casos que você deixou para trás... Em 5 de abril de 2014 20:39, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Mostre que os números da forma a000...0b não são quadrados perfeitos > > Os valores possíveis para b são 1,4,5,6 e 9 > Analisando modulo 8 descartamos 6 e 9 > Podemos descartar tambem o 5,pois se a^2 termina em 5,a tambem > termina em 5,mas neste caso a^2 terminaria em 25 > Analisando modulo 9,notamos que 1000...01,2000...01,4000...1,5000...1 e > 7000...1 não são quadrados > Também estariam fora 1000...04,2000...04,4000...04,7000...04,8000...4 > Os quadrados são da forma 9k,9k+1,9k+4 e 9k+7 > Há outros 8 casos que ficariam em aberto: 3000...01,6000...01,8000...01 e > 9000...01,3000...04,5000...04, > 6000...04 e 9000...04 > E agora José? > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito?
292929292929292...2929= =29*1010101010101010101;10101 1010101010101010101;10101 esse numero deve ser divisivel po 29 senao nao e quadrado perfeito 101/29=3k+14 140/29=4k+24 241/29=8k+9 90/29=3k+3 31/29=k+2 201/29=6k+27 270/29=9k+9 91/29=3k+4 40/29=k+11 111/29=3k+44 440/29=15k+5 51/29=k+22 220/29=7k+17 171/29=5k+26 260/29=8k+28 281/29=8k+20 200/29=6k+26 261/29=8k+29 290/29=10k +0 aqui começa a repetir, multiplo de 22 digitos pode ser divisivel, senao tem que continuar a dividir, supondo que tenha 22 digitos , como termina em zero nao e quadrado perfeito pois sempre vai sobrar sqrt10 34831069313151758868103483 2014-03-18 16:26 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Que bobeira,quadrados não terminam em 7. > Mas eu não saberia afirmar se algum número da forma 2929...29 é quadrado > perfeito. > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Quadrado perfeito? > Date: Tue, 18 Mar 2014 18:07:46 + > > > Números da forma 2525...25 e 1717...17 podem ser quadrados perfeitos ? > Terence sugeriu módulo 8 para o primeiro mas eu já tinha visto que não > serve > No caso de 111...11,esse número deixa resto 7 quando dividido por 8 e > nenhum > quadrado é da forma 8k + 7.Ai serve. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito?
Que bobeira,quadrados não terminam em 7. Mas eu não saberia afirmar se algum número da forma 2929...29 é quadrado perfeito. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado perfeito? Date: Tue, 18 Mar 2014 18:07:46 + Números da forma 2525...25 e 1717...17 podem ser quadrados perfeitos ? Terence sugeriu módulo 8 para o primeiro mas eu já tinha visto que não serve No caso de 111...11,esse número deixa resto 7 quando dividido por 8 e nenhum quadrado é da forma 8k + 7.Ai serve. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito?
Módulo 4: 11...11 = 11 = 3, e quadrados não deixam resto 3 módulo 4. 2525...25=25*(1010101010...101), acho que dá para sair do mesmo jeito. Talvez módulo 8... Com o 17... deve ser mais fácil. Em 17 de março de 2014 22:30, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Os números da forma 111...11;444...44;555...55;666...66;999...99 não são > quadrados perfeitos,independente da quantidade de algarismos > Não é difícil justificar > E um número da forma 252525...25? > E 171717...17? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
X^4+Y^4=Z^2 (x^2/z)^2+(y^2/z)^2=1 x^2/z=senp y^2/z=cosp comoo senp e cosp sao numeros da foma a/b ou sqrta/b ou (c+sqrta)/b com -1<=sena,cosa<=1, com as 2 ultimas formas impossiveis de se encontrar x e z inteiros, temos: x^2/z=a/b , com a e b irredutiveis pikn==produtorio de kn x^2=za/b para x ser inteiro z=mb x^2=am=a1a2a3...an*m1m2m3m...mm tem que haver uma combinaçao entre an e mm de tal forma que se possa tirar a raiz quadrada (y^2/z)^2=1- pimm^2pian^2/z^2 y^4=z^2-pimm^2pian^2=z^2-c^2=(z-c)*(z+c)=(mb-c)(mb+c)=m^2(b-a)(b+a) b-a=mpikn b+a=mpik´m (b-a)/(b+a)=pikn/pikm como kn e km se combinam para formar uma numero da forma k^4, uma das maneiras de acontecer isto e: (b-a)/(b+a)=1/d ou c/d d>c b(d-1)=a(d+1) a/b=(d-1)/(d+1) x^2/z=(d-1)/(d+1) d=km -km intercessao kn, onde kn*km=k^4 x^2=m^2(pikn +pikm)(d-1)/2(d+1)=m^2pikn(d-1)=m^2(pikm -pikn)=m^2(pikn^3pikm´^4-pikn) o caso mais facil e quando pikm=k^3 x^2=m^2k(k^2-1)=m^2(k-1)k(k+1) impossivel de encontrar um quadrado perfeito pois entre 3 numeros consecutivos sempre sobram numeros primos com expoentes diferentes de 2, restando numeros irracionais. no caso mais dificil x^2=m^2k(k^2w^4-1)=m^2(knw^2-1)kn(knw^2+1) , como entre 2 numoros quase consecutivos , a-1, a+1, quando fatorados sempre temos no minimo 2 primos diferentes, e kn e menor do que knw^2, fatorando kn encontraremos primos menores do que a fatoração de kn2^2+1 e knw^2-1, o que nos resta no minimo 3 primos com expoentes diferentes de 2 ou multiplos de 2, restando um numeros irracional da forma x=x´*sqrt(xp1 xp2 xp3) 2014/1/15 marcone augusto araújo borges > Obrigado! > > -- > Date: Wed, 15 Jan 2014 07:05:58 -0800 > From: luizfelipec...@yahoo.com.br > > Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Sugestão : > > Use as soluções gerais : > > z = a^2+b^2 > y2 = a^2-b^2 > x^2= 2ab > > Verifique agoa, se vc consegue aplicar o metodo da descida infinita. > > Abs > Felipe > > > > Em Quarta-feira, 15 de Janeiro de 2014 12:32, marcone augusto araújo > borges escreveu: > Esqueçam o que falei sobre a soma de 2 quartas potências,tá errado. > continuo sem conseguir a solução. > > ------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RE: [obm-l] Quadrado perfeito > Date: Wed, 15 Jan 2014 12:48:24 + > > Eu notei depois que agente pode mostrar que a soma de duas quartas > potências > está entre dois quadrados consecutivos,portanto não pode ser um quadrado > Tentei por congruência mas por esse caminho não saiu > Não entendi seu raciocínio,Saulo. > > > -- > Date: Wed, 15 Jan 2014 02:27:37 -0200 > Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito > From: saulo.nil...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > x^4+y^4=z^2 > x^2+y^2>z > y^2+z>x^2 > x^2+z^>y^2 > dai nos encontramos > x^2>z > y^2>z > onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 > > > 2014/1/14 marcone augusto araújo borges > > Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivos > Tô tentando sem sucesso. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Obrigado! Date: Wed, 15 Jan 2014 07:05:58 -0800 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito To: obm-l@mat.puc-rio.br Sugestão : Use as soluções gerais : z = a^2+b^2 y2 = a^2-b^2 x^2= 2ab Verifique agoa, se vc consegue aplicar o metodo da descida infinita. Abs Felipe Em Quarta-feira, 15 de Janeiro de 2014 12:32, marcone augusto araújo borges escreveu: Esqueçam o que falei sobre a soma de 2 quartas potências,tá errado.continuo sem conseguir a solução. From: marconeborges29@hotmail.comTo: ob...@mat.puc-rio.brSubject: RE: [obm-l] Quadrado perfeitoDate: Wed, 15 Jan 2014 12:48:24 + Eu notei depois que agente pode mostrar que a soma de duas quartas potênciasestá entre dois quadrados consecutivos,portanto não pode ser um quadradoTentei por congruência mas por esse caminho não saiuNão entendi seu raciocínio,Saulo.Date: Wed, 15 Jan 2014 02:27:37 -0200Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeitoFrom: saulo.nilson@gmail.comTo: ob...@mat.puc-rio.brx^4+y^4=z^2x^2+y^2>zy^2+z>x^2x^2+z^>y^2dai nos encontramosx^2>zy^2>z onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 2014/1/14 marcone augusto araújo borges Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivosTô tentando sem sucesso. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Sugestão : Use as soluções gerais : z = a^2+b^2 y2 = a^2-b^2 x^2= 2ab Verifique agoa, se vc consegue aplicar o metodo da descida infinita. Abs Felipe Em Quarta-feira, 15 de Janeiro de 2014 12:32, marcone augusto araújo borges escreveu: Esqueçam o que falei sobre a soma de 2 quartas potências,tá errado. continuo sem conseguir a solução. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Wed, 15 Jan 2014 12:48:24 + Eu notei depois que agente pode mostrar que a soma de duas quartas potências está entre dois quadrados consecutivos,portanto não pode ser um quadrado Tentei por congruência mas por esse caminho não saiu Não entendi seu raciocínio,Saulo. Date: Wed, 15 Jan 2014 02:27:37 -0200 Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x^4+y^4=z^2 x^2+y^2>z y^2+z>x^2 x^2+z^>y^2 dai nos encontramos x^2>z y^2>z onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 2014/1/14 marcone augusto araújo borges Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivos >Tô tentando sem sucesso. >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Esqueçam o que falei sobre a soma de 2 quartas potências,tá errado.continuo sem conseguir a solução. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Wed, 15 Jan 2014 12:48:24 + Eu notei depois que agente pode mostrar que a soma de duas quartas potênciasestá entre dois quadrados consecutivos,portanto não pode ser um quadradoTentei por congruência mas por esse caminho não saiuNão entendi seu raciocínio,Saulo. Date: Wed, 15 Jan 2014 02:27:37 -0200 Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x^4+y^4=z^2x^2+y^2>zy^2+z>x^2x^2+z^>y^2dai nos encontramosx^2>zy^2>z onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 2014/1/14 marcone augusto araújo borges Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivosTô tentando sem sucesso. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Eu notei depois que agente pode mostrar que a soma de duas quartas potênciasestá entre dois quadrados consecutivos,portanto não pode ser um quadradoTentei por congruência mas por esse caminho não saiuNão entendi seu raciocínio,Saulo. Date: Wed, 15 Jan 2014 02:27:37 -0200 Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x^4+y^4=z^2x^2+y^2>zy^2+z>x^2x^2+z^>y^2dai nos encontramosx^2>zy^2>z onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 2014/1/14 marcone augusto araújo borges Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivosTô tentando sem sucesso. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
x^4+y^4=z^2 x^2+y^2>z y^2+z>x^2 x^2+z^>y^2 dai nos encontramos x^2>z y^2>z onde se conclui que a igualdades e uma contradiçao, pois x^4+z^4>z^2 2014/1/14 marcone augusto araújo borges > Mostre que a equação X^4 + Y^4 = Z^2 não tem solução nos inteiros positivos > Tô tentando sem sucesso. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
porque -1 > Por que -1 < 2/(3x-4) < 1? > Quadrados de diferença 4: 4 = 2^2 e 0 = 0^2 > 3x-6 = t > 3x-2 = t+4 > t = 0 => 3x-6=0 =>x=2 > > > -- > Date: Tue, 8 Oct 2013 23:08:23 -0300 > > Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito > From: saulo.nil...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > 9x^2 - 24x + 12 > para x=2 > (3x-4)^2-4=a^2 > (3x-4^)^2=a^2+4 teorema de pitagoras > -1<2/(3x-4)<1 > x>=2/3 > x>=2 > (3x-6)(3x-2)=a^2 > nao existe 2 numeros quadratticos que a diferencça seja 4, logo a unica > resposta e > a^2=0 > x=2/3 ou x=2 > > > > > 2013/10/8 marcone augusto araújo borges > > Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 > é um quadrado perfeito. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Por que -1 < 2/(3x-4) < 1?Quadrados de diferença 4: 4 = 2^2 e 0 = 0^2 3x-6 = t3x-2 = t+4t = 0 => 3x-6=0 =>x=2 Date: Tue, 8 Oct 2013 23:08:23 -0300 Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 9x^2 - 24x + 12 para x=2(3x-4)^2-4=a^2 (3x-4^)^2=a^2+4 teorema de pitagoras-1<2/(3x-4)<1x>=2/3x>=2 (3x-6)(3x-2)=a^2nao existe 2 numeros quadratticos que a diferencça seja 4, logo a unica resposta e a^2=0 x=2/3 ou x=2 2013/10/8 marcone augusto araújo borges Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
9x^2 - 24x + 12 para x=2 (3x-4)^2-4=a^2 (3x-4^)^2=a^2+4 teorema de pitagoras -1<2/(3x-4)<1 x>=2/3 x>=2 (3x-6)(3x-2)=a^2 nao existe 2 numeros quadratticos que a diferencça seja 4, logo a unica resposta e a^2=0 x=2/3 ou x=2 2013/10/8 marcone augusto araújo borges > Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 > é um quadrado perfeito. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Oi,HermannO Eduardo já explicou,mas...t = n^2 = 9x^2 - 24x + 12 => t+4 = n^2+ 4 =(3x-4)^2 = m^2m^2 - n^2 = 4 => (m+n)(m-n)=4para que m seja inteiro,devemos ter m+n = 2 e m-n = 2(note que m+n=4 e m-n=1 não serve)m = 2.Logo x = 2.Eu cheguei a esse trinômio resolvendo o seguinte problema:Encontre todas as soluções inteiras da equação y^2 - 3 = x(3y - 6)Há um caminho melhor do que esse que levou ao tal trinomio.Dá pra se divertir com a questão?Abraço. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Tue, 8 Oct 2013 11:33:19 -0300 Marcone explica, por favor, de novo com mais detalhes o que vc disse que entendeu. abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 08, 2013 10:53 AM Subject: RE: [obm-l] Quadrado perfeito Já percebi que chamando o trinomio ai do enunciado de t,temos t e t+4 quadrados perfeitos,então t= 0... É mais simples do que pensei. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Tue, 8 Oct 2013 12:15:05 + Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
(3x-4)^2 - 4 = n^2 , se m = 3x -4 => m^2 - n^2 = 4 ou (m/2)^2 - (n/2)^2 =1 Equação de Pell com parâmetro , 1, quadrado perfeito . Assim n=0 e m/2 = + ou - 1 => 3x -4 = + ou - 2 => x = 2 (ou 2/3 que não é inteiro). [ ]'s De: marcone augusto araújo borges Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Enviadas: Terça-feira, 8 de Outubro de 2013 9:15 Assunto: [obm-l] Quadrado perfeito Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Marcone explica, por favor, de novo com mais detalhes o que vc disse que entendeu. abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 08, 2013 10:53 AM Subject: RE: [obm-l] Quadrado perfeito Já percebi que chamando o trinomio ai do enunciado de t,temos t e t+4 quadrados perfeitos,então t= 0... É mais simples do que pensei. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Tue, 8 Oct 2013 12:15:05 + Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Já percebi que chamando o trinomio ai do enunciado de t,temost e t+4 quadrados perfeitos,então t= 0...É mais simples do que pensei. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado perfeito Date: Tue, 8 Oct 2013 12:15:05 + Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrado perfeito
On Tue, 15 May 2012 06:55:36 -0700 (PDT), Fabio Bernardo wrote: Bom caso n seja par, na será da forma 2k, logo 2^(2k)+65=x^2, x^2-(2ˆk)ˆ2=65, (x-2ˆk)(x+2ˆk)=1.65=5.13, logo x-2^k=1 e x-2^k=65 ou x-2ˆk=5 e x-2ˆk=13, dda primeira vem x=33 e k=5 daí a solução n=10, da segunda temos x=9 e k=2, daí a solução n=4. E se caso n seja ímpar teríamos 2ˆ(2t+1)+65=g^2, o que não seria possível pois 2 elevado ao expoente ímpar só terminaria em 2 ou 8 e que somado a 65 terminaria em 7 ou 3 que nao são terminações de um quadrado perfeito!!! logo n=10 ou n=4 Douglas Oliveira > Amigos, > > Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: > > A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + 65 é um quadrado perfeito vale: > > a) 10 > b) 11 > c) 12 > d) 13 > e) 14 > > Agradeço a ajuda.
RE: [obm-l] quadrado perfeito
1) se n é par,então n = 2k 2^(2k) + 65 = m^2 m^2 - (2^k)^2 = 65=13.5 fazendo 2^k = t: m^2 - t^2 = (m+t).(m - t) = 13.5 m + t = 13 e m - t = 5 => m = 9 e t = 2^k = 4 =>k = 2 n = 2k = 2.2 = 4 Outra possibilidade é: m + t = 65 e m - t = 1 => m = 33 e t = 32 t = 32 =>k = 5 => n = 10 2) se n é ímpar tentei mostrar que nesse caso não há solução,mas até agora não consegui. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] quadrado perfeito Date: Tue, 15 May 2012 14:46:50 + n = 10 e n = 4 são soluções,depois eu justifico Date: Tue, 15 May 2012 06:55:36 -0700 From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] quadrado perfeito To: obm-l@mat.puc-rio.br Amigos, Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + 65 é um quadrado perfeito vale: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Agradeço a ajuda.
RE: [obm-l] quadrado perfeito
n = 10 e n = 4 são soluções,depois eu justifico Date: Tue, 15 May 2012 06:55:36 -0700 From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] quadrado perfeito To: obm-l@mat.puc-rio.br Amigos, Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + 65 é um quadrado perfeito vale: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Agradeço a ajuda.
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Hm... Vou tentar entender também. A primeira coisa que me veio foi 2^n + 2^6 + 1 = (...)² 2012/5/15 Fabio Bernardo > Amigos, > > Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: > > A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + > 65 é um quadrado perfeito vale: > > a) 10 > b) 11 > c) 12 > d) 13 > e) 14 > > Agradeço a ajuda. > -- Sinceramente, Francisco Costa D. Barreto
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
Valeu pela informação Willy, será de extrema utilidade na resolução de questões Date: Thu, 28 Jul 2011 21:33:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Quadrado Perfeito From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Natália, o menor expoente para o qual a congruência é possível é o número de carmichael:http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function Quanto ao problema eu pensei assim: Se k^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Vou estimar o valor de k em função de p.Parece que k é um pouco maior que p^2 + p/2. De fato (p^2 + p/2)^2 = p^4 + p^3 + (p^2)/4. Por outro lado (p^2 + p/2 + 1)^2 = p^4 + p^3 + (9/4)p^2 + p + 1, que é maior do que a gente gostaria. Então temos p^2 + p/2 < k < p^2 + p/2 +1 ==>> k = p^2 + p/2 + 1/2, visto que estamos nos inteiros. Daí é só fazer as contas: k^2 = (p^2 + p/2 + 1/2)^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Isso dá uma equação do 2o grau cujas solução são -1 e 3, logo 3 é o único primo. Willy 2011/7/28 Nathália Santos O phi ao que me referia era o de Euler From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 Olá Natália Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1) p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: 1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)"" A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta nenhuma ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. então p-1 divide 2, """ Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de conta nenhuma ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. "" Não entendi o phi no problema ""p-1 = 2 ou p-1=1 p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução. Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado"" O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 []'sJoão From: nathalia...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p) como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
Re: [obm-l] Quadrado Perfeito
Natália, o menor expoente para o qual a congruência é possível é o número de carmichael: http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function Quanto ao problema eu pensei assim: Se k^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Vou estimar o valor de k em função de p. Parece que k é um pouco maior que p^2 + p/2. De fato (p^2 + p/2)^2 = p^4 + p^3 + (p^2)/4. Por outro lado (p^2 + p/2 + 1)^2 = p^4 + p^3 + (9/4)p^2 + p + 1, que é maior do que a gente gostaria. Então temos p^2 + p/2 < k < p^2 + p/2 +1 ==>> k = p^2 + p/2 + 1/2, visto que estamos nos inteiros. Daí é só fazer as contas: k^2 = (p^2 + p/2 + 1/2)^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Isso dá uma equação do 2o grau cujas solução são -1 e 3, logo 3 é o único primo. Willy 2011/7/28 Nathália Santos > O phi ao que me referia era o de Euler > > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 > > > Olá Natália > > Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: > > > ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1) > p^5 -1=k²(p-1) > p^5 -pk² = 1-k² > p(p^4 -k²) = 1-k² > Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: > 1-k² cong 0 (mód p) > k² cong 1 (mód p)"" > > A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta > nenhuma > > ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: > k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. > então p-1 divide 2, """ > > Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de > conta nenhuma > > ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é > possível, eu acho rs. "" > > Não entendi o phi no problema > > ""p-1 = 2 ou p-1=1 > p=3 ou p=2 > se p=3 => A=121 > se p=2 => A= 31 > Logo p=3 é a solução. > Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (: > Espero ter ajudado"" > > O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade > qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 > Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, > inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 > > []'s > João > > > -- > From: nathalia...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + > > A= k²= (p^5 -1)/(p-1) > p^5 -1=k²(p-1) > p^5 -pk² = 1-k² > p(p^4 -k²) = 1-k² > Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: > 1-k² cong 0 (mód p) > k² cong 1 (mód p) > como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: > k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. > então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a > congruência é possível, eu acho rs. > p-1 = 2 ou p-1=1 > p=3 ou p=2 > se p=3 => A=121 > se p=2 => A= 31 > Logo p=3 é a solução. > Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (: > Espero ter ajudado > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 > > 2000 Grécia: > > Qual o número primo p, tal que > A=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? > > > A única coisa que vi é que > Se p=3 A=121 > > Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa > resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 > + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) > > Acho que não serviu para nada kkk > > > []'s > João > >
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
O phi ao que me referia era o de Euler From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 Olá Natália Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)"" A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta nenhuma ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, """ Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de conta nenhuma ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. "" Não entendi o phi no problema ""p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado"" O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 []'sJoão From: nathalia...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudadoFrom: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
Olá Natália Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)"" A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta nenhuma ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, """ Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de conta nenhuma ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. "" Não entendi o phi no problema ""p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado"" O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 []'sJoão From: nathalia...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudadoFrom: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudadoFrom: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
RE: [obm-l] quadrado perfeito
Sim, é verdade. A demonstração que conhço só requer conhecimentos em aritmética
elementar. Pode ser demonstrado facilmente. Farei isso usando somente conceitos
de números primos e fatoração.
Para determinar os divisores de um número ''inteiro positivo'' A^z (suponha que
A é um número primo) deve-se primeiro fatorá-lo e depois criar uma outra coluna
do lado direito dos fatores primos de A^z e no topo dela colocar 1( um é
divisor de qualquer número). Multiplica-se o primeiro fator primo de A^z por 1
e, sucessivamente, os fatores primos seguintes pelos produtos obtidos
anteriormente, tendo o cuidade de não obter produtos (divisores) anteriormente
repetidos. Assim teremos todos os divisores de A ao lado da fatoração, logo
D(A^z)={1 , A^1, A^2, A^3, A^4, A^5,... A^z}. Logo o NÚMERO de divisores de A^z
será 1+z. A condição para um número ser quadrado perfeito é que sua
decomposição em fatores primos produza expoente(s) multiplo(s) de 2. Logo, A^z
sendo quadrado perfeito terá um número de divisores ímpares, porque z é igual
a 2n (n é um número natural) e teremos então 2n+1 divisores para qualquer
quadrado perfeito.
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] quadrado perfeito
Date: Wed, 6 Apr 2011 22:45:01 +
é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de
divisores?
isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
RE: [obm-l] quadrado perfeito
Pessoalmente achei a resolução do ralph muito mais bonitinha mais se você quer demonstrar pela fórmula dos divisores de um número: Dado k = (a1^b1)(a2^b2)...(an^bn), sendo ax os fatores primos de k e bx os expoentesse n = k² = (a1^2b1)(a2^2b2)...(an^2bn) Aplicando a fórmula:D = (2b1+1)(2b2+1)...(2bn+1), que é o produto de n números ímpares e é ímpar []'sJoão Date: Wed, 6 Apr 2011 21:28:49 -0300 Subject: Re: [obm-l] quadrado perfeito From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Dado um inteiro n, voce pode "parear" cada divisor d com o divisor n/d. Entao o numero de divisores serah sempre par... ...a menos que haja um par com dois numeros repetidos, isto eh, d=n/d; entao n seria um quadrado perfeito. Abraco, Ralph. 2011/4/6 Samuel Wainer é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de divisores? isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Dado um inteiro n, voce pode "parear" cada divisor d com o divisor n/d. Entao o numero de divisores serah sempre par... ...a menos que haja um par com dois numeros repetidos, isto eh, d=n/d; entao n seria um quadrado perfeito. Abraco, Ralph. 2011/4/6 Samuel Wainer > é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de > divisores? > > isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim. >
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Isso é bem fácil mostrar se vc conhece a formula para o numero de divisores de um numero p1^n1*...*pk^nk que é (n1+1)*...*(nk+1), que pode ser demonstrada facilmente usando combinatoria 2011/4/6 Samuel Wainer > é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de > divisores? > > isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim. >
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
acho que no caso ele quer que vc ache um valor para x que resulte em um
quadrado perfeito.
2008/3/21 Antonio Giansante <[EMAIL PROTECTED]>:
> Quando um polinômio é um quadrado perfeito, comparamos
> com o quadrado de um polinômio cujo grau seja a
> metade. Nesse caso, como é um polinômio do grau 4:
> (ax2 + bx + c)2 = x4+x3+x2+x+1. Porém, não será
> possível para esta situação (S = {}).Tem certeza de
> que o polinômio do exercício é exatamente este?
>
> --- Antonio Manuel Castro del Rio
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> > Como desenvolvo para que seja um quadrado
> > perfeito o polinômio
> >
> >x4 + x3 + x2 + x + 1
> >
> > Obrigado, Antonio del Rio
> >
>
>
>
> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> armazenamento!
> http://br.mail.yahoo.com/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Quando um polinômio é um quadrado perfeito, comparamos
com o quadrado de um polinômio cujo grau seja a
metade. Nesse caso, como é um polinômio do grau 4:
(ax2 + bx + c)2 = x4+x3+x2+x+1. Porém, não será
possível para esta situação (S = {}).Tem certeza de
que o polinômio do exercício é exatamente este?
--- Antonio Manuel Castro del Rio
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Como desenvolvo para que seja um quadrado
> perfeito o polinômio
>
>x4 + x3 + x2 + x + 1
>
> Obrigado, Antonio del Rio
>
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
x^2+1/x^2+x+1/x +1=0 x+1/x=y y^2-2+y+1=0 y^2+y-1=0 delta=1+4=5 y=(-1+-rq5)/2 o polinomio pode ser escrito como (2y-rq5+1)(2y+1+rq5)/4= =((2y+1)^2-5)/4 On Thu, Mar 20, 2008 at 9:47 PM, Antonio Manuel Castro del Rio < [EMAIL PROTECTED]> wrote: > Como desenvolvo para que seja um quadrado perfeito o polinômio > >x4 + x3 + x2 + x + 1 > > Obrigado, Antonio del Rio >
Re: [obm-l] quadrado perfeito
O número de números entre (4096)^2 e (4095)^2 que nãosão quadrados perfeitos são todos os números entre eles dois, ou seja,(4096)^2 - (4095)^2 - 1= (4096 + 4095)(4096 - 4095) - 1= 8191 - 1= 8190 (segunda opção)
RE: [obm-l] Quadrado perfeito
Olá Fábio, Eu achei esta questão bem interessante. Segue uma resolução possível. RESOLUÇÃO POSSÍVEL: Fazendo m = 10.12.16.18, teremos que N = m + n, onde n é o menor inteiro positivo de modo que N seja quadrado perfeito. A técnica que eu utilizei foi de transformar os produtos de dois fatores em produtos da soma pela diferença de dois números. Deste modo, eu posso aplicar o produto notável (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 sucessivas vezes. m = (14 - 4)(14 - 2)(14 + 2)(14 + 4) m = (14 - 4)(14 + 4)(14 - 2)(14 + 2) m = (14^2 - 16)(14^2 - 4) m = [(14^2 - 10) - 6)][(14^2 - 10) + 6)] m = (14^2 - 10)^2 - 36 Observe que para n = 36, teremos que N = m + n = (14^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito. Somente falta verificar se n = 36 é o menor inteiro positivo de modo que N = m + n seja quadrado perfeito. Fazendo k = 14^2 - 10, teremos N = m + 36 = k^2. Se existir n < 36 tal que n + m seja um quadrado perfeito, teremos: n < 36 => n + m < m + 36 => n + m < k^2 O menor quadrado perfeito que é menor que k^2 é (k - 1)^2, portanto: n + m <= (k - 1)^2 => n + m <= k^2 - 2k + 1 Como k^2 = m + 36, teremos: n + m <= m + 36 - 2k + 1 => n <= 36 - 2k + 1 Como k = 14^2 - 10, teremos: n <= 36 - 2k + 1 => n <= 36 - 2.14^2 + 20 + 1 => n <= 57 - 2.14^2 Portanto, nós provamos que: Se n = 36, então N = m + n = (14^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito. (i) Se existir n < 36 tal que N = m + n seja um quadrado perfeito, então n <= 57 - 2.14^2 < 0 (ii) Por (i) e (ii), concluímos que n = 36. RESPOSTA: Alternativa d Rogério Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação [EMAIL PROTECTED] From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Fábio Bernardo Sent: quinta-feira, 10 de junho de 2004 12:09 To: OBM Cc: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Quadrado perfeito O meno inteiro positivo n para o qual o número N = 10.12.16.18+n é um quadrado perfeito é: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
x = 100 004 N = (x-4)(x-2)(x+2)(x+4) +n = (x^2-16)(x^2-4)+n = x^4 -20x^2+64+n = (x^2-10)^2+(n-36) Se n=36, N eh quadrado perfeito. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Fábio Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Cc: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:09:05 -0300 Subject: [obm-l] Quadrado perfeito > > O meno inteiro positivo n para o qual o número > > N = 10.12.16.18+n > > é um quadrado perfeito é: > a) 30 > b) 32 > c) 34 > d) 36 > e) 38 --- End of Original Message ---
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
Tenho uns amigos que as vezes se reunem para elaborar, propor e resolver questões interessantes. Essa é uma delas. Sei que se resolve por produto notável, mais ainda não descobri como. - Original Message - From: Alan Pellejero To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, June 10, 2004 1:10 PM Subject: Re: [obm-l] Quadrado perfeito oi, Uma curiosidade:exercícios assim caem em vestibulares, olimpíadas, concursos? Fábio_Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: O meno inteiro positivo n para o qual o número N = 10.12.16.18+n é um quadrado perfeito é: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui! Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 09/06/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
oi, Uma curiosidade:exercícios assim caem em vestibulares, olimpíadas, concursos? Fábio_Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: O meno inteiro positivo n para o qual o número N = 10.12.16.18+n é um quadrado perfeito é: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Se n>=12, então a expressão é = 2^12(1+8+2^(n-12)) e temos que 9 + 2^j = q^2, onde j=n-12. daí 2^j=(q-3)(q+3) e temos que q-3 e q+3 são potências de 2 que diferem por 6 unidades, logo q-3=2 e q+3=8 e temos que q=5 (isso dá j=4, ou seja, n=16, nesse caso o quadrado é 320^2).Se n<12, então a expressão é 2^n*(1+2^(12-n)+2^(15-n)).Se n for ímpar, então 2*(1+2^(12-n)+2^(15-n)) deve ser quadrado, isso só é possível se o que estiver dentro do parêntesis for par, o que não ocorre para n<12.Logo n é par. Então 1+2^(12-n)+2^(15-n) deve ser quadrado, ou seja, 1+2^(12-n)+2^(15-n) = 1+2^(12-n)*(1+2^3)=q^2, logo temos que q^2 - (3*2^((12-n)/2))^2 = 1, o que não pode ocorrer, pois não temos nunca dois quadrados sendo números consecutivos (veja que usei que n é par.).Resposta: n=16. Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] quadrado perfeitoData: 16/02/04 02:50Ola pessoal, Poderiam me dar um ajuda neste daqui ? For what positive integer(s), n, is 2^12 + 2^15 + 2^n a perfect square? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
