[obm-l] Uma desigualdade
Boa noite amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Uma desigualdade legal!
Bom, se vc jah estudou um pouco de otimizacao (programacao nao-linear, neste caso) sabe que, para x fixo e vendo-se a a expressao como funcao de a, b e c, entao a simetria da funcao acarreta que o minimo global ocorra quando a= b =c. Verificamos facilmente que neste caso cada uma das parcelas eh 1, de modo que a soma minima eh 3. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcos Martinelli Enviada em: domingo, 10 de julho de 2005 16:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Uma desigualdade legal! Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1 ]>=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!
É realmente complicado calcular essa derivada.. Uma possível solução para esse problema é simplesmente tirar o mmc.. Aqui está: Vc quer provar que sym_sum (a^(x+2) + 1) / (a^x bc + 1) >= 6 E as passagens abaixo são equivalentes: sym_sum (a^(x+2) + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) >= 6(a^x bc + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) sym_sum (a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) + 2 * a^(x+3) b^x c + a^(x+2) + b^(x+1) c^(x+1) a^2 + 2*a^x bc + 1 ) >= sym_sum ( a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2) + 3*a^(x+1) b^(x+1)c^2 + 3*a^x bc + 1) Agora, pela desigualdade de muirhead (bunching), voce sabe que: sym_sum [a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) - a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2)] >= 0 sym_sum [2 * a^(x+3) b^x c - 2*a^(x+1) b^(x+1)c^2] >=0 sym_sum [b^(x+1) c^(x+1) a^2 - a^(x+1) b^(x+1)c^2] = 0 sym_sum [a^(x+2) - a^x bc ] >= 0 Somando tudo voce conclui a desigualdade pedida. Abraços, Marcio - Original Message - From: "Marcos Martinelli" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Sunday, July 10, 2005 4:22 PM Subject: [obm-l] Uma desigualdade legal! Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]>=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!
Uma sugestão: ordene a, b e c (por simetria você pode fazer isso). Dai veja que os numeradores e denominadores vão estar ordenados tambem. Dai, use uma desigualdade que tem a ver com ordem... Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/10/05, Marcos Martinelli <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: > > Dados a,b,c,x reais positivos provar que: > > [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]>=3. > > Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a > seguinte função > f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda > derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu > problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva > para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente > mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, > até uma outra solução pro problema. Obrigado! > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Uma desigualdade legal!
Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]>=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: uma desigualdade!
>
>1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
>temos o seguinte resultado:
>
>Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado
>por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2.
Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração?
Não, não tenho. A afirmação é dada como um exercício. Você pode encontrar
esse livro numa biblioteca. Outro que é muito bom e que fala disso também
(mas não tenho certeza desse exercício em particular) é o "Matemática
Concreta" de Graham, R.L., Knuth, D.E. e Patashnik, O., Livros Técnicos e
Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1995.
[ ]'s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
... > >3) Como achar o limite superior 1.202057 ? Você pode ver http://www.lacim.uqam.ca/piDATA/Zeta3.txt Eu não sei como achar esse limite com papel e caneta. Quero dizer, não sei se realmente temos que fazer muitas contas ou se alguma boa idéia nos leva rapidamente ao resultado. >[]s >Luís Lopes > > > >
Re: uma desigualdade!
At 15:30 13/07/00 -0300, you wrote:
>Saudações a todos,
>
>Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:
>
>
>> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
>> Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
>> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
>> >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo
>> >n natural ?
>> >
>> >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
>> >Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
>> >1/n^3 <3/2(1-1/n)
>> >para n>1
>> >
>> >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
>> >1/n^3<3/2
>> >
>> >A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
>> >limitada
>> >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
>> >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +
>> >...+ 1/n^3 <3/2.
>> >
>> >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3
>> ><1.202057
>> >
>> >Abra=E7o
>> >
>> >Bruno Leite
>
>
>1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
>temos o seguinte resultado:
>
>Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado
>por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2.
Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração?
>2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.
Suponha que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n).
Então 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3
+1/(n+1)^3<3/2(1-1/n)+1/(n+1)^3=3/2[(1-1/n)+2/(3*(n+1)^3)]<(*)3/2(1-1/(n+1))
(*)Temos que provar que -1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1)
Multiplicando por n+1
-1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1) <-->
-1-1/n+2/(3*(n+1)^2)<-1 <--> 2/(3*(n+1)^2)<1/n <--> 2n<3n^2+6n+3 <-->
3n^2+4n+3>0 <-->delta<0, o que é verdade.
>3) Como achar o limite superior 1.202057 ?
Você pode usar o Maple ou fazer um programinha em C
"for(i=1;i<100;i++)
soma=soma+1/(i*i*i);"
por exemplo.
Talvez haja algo de bom em
http://www.mathsoft.com/asolve/constant/apery/apery.html
>[]s
>Luís Lopes
>
>
>
>
Re: uma desigualdade!
Saudações a todos,
Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:
> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
> Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
> >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo
> >n natural ?
> >
> >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
> >Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
> >1/n^3 <3/2(1-1/n)
> >para n>1
> >
> >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
> >1/n^3<3/2
> >
> >A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
> >limitada
> >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
> >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +
> >...+ 1/n^3 <3/2.
> >
> >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3
> ><1.202057
> >
> >Abra=E7o
> >
> >Bruno Leite
1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:
Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2.
2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.
3) Como achar o limite superior 1.202057 ?
[]s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
Ola Prof Augusto Morgado, Saudacoes ! Antes de tudo, gostaria de Lhe dizer que estamos Lhe tratando por "Prof" porque, muito provavelmente, o Sr deve ser o Iustre Prof Augusto Cesar Morgado, autor, em parceria com o Genial Eduardo Wagner, dos melhores Livros de Matematica para o ensino medio, dentre os que nos conheco. Se assim for, conforme suspeitamos fortemente, Lhe devemos o despertar de nosso interesse pela Matematica, há alguns anos ... De fato, se as coisas forem como supomos, nos permita Lhe dizer que seus Livros de Geometria tem o inestimavel valor de NÃO SE PERDEREM PROVANDO O OBVIO, DESENCANTANDO , DESTA FORMA, AS INTELIGENCIAS; ANTES SE LANCAM COM BREVIDADE NA APRESENTACAO DE FATOS INSUSPEITADOS E INSTIGANTES QUE DESPERTAM O ENTUSIASMO E ADMIRACAO : Ora, nos sabemos que o entusiasmo e a admiracao foram os principais fatores que no alvorecer de nossa Civilizacao fizeram surgir o pensamento Científico e Matematico ... Nos sempre achamos que esta caracteristica deveria ser um paradigma a ser seguido por todos os autores ! So a titulo de exemplificacao para as pessoas que não conhecem os livros a que nos refirimos, vamos reproduzir aqui a seguinte joia da Geometria : TEOREMA : Vale a formula de Bramagupta se, e somente se, o quadrilatero e ciclico. Se Rz_2[x] e a raiz quadrada de "x" e "p" o semi-perimetro de um triangulo de lados "a", "b" e "c", entao, a formula de Heron S = Rz_2[p*(p - a)*(p - b)*(p - c)] Nos permite calcular a area "S" do triangulo em funcao dos Lados. A formula de Bramagupta para um quadrilatero de lados "a", "b", "c", "d" e area "S" e : S = Rz_2[(p - a)*(p - b)*(p - c)*(p - d)]. Esta formula so e valida se o quadrilatero e ciclico, vale dizer, se ele e incritivel e circunscritivel. O teorema acima e Obvio ? Bastante conhecido ? Indubitavelmente, Não ! E no entanto ele e belo e fascinante ... Esta joia - e muitas outras - se encontra nos livros a que nos referimos acima. Acrescentamos que, se o quadrilatero não e ciclico, devemos usar : S = Rz_2[ (p - a)*(p - b)*(p - c) - a*b*c*d*((cos(A))^2) ], onde "A" e a metade da soma dos angulos opostos. Bom, voltando ao que estavamos falando e se o Sr e o Prof Morgado a quem nos referimos e se nos tivessemos tido a felicidade de te-lo tido como Prof, inevitavelmente perguntariamos : " SER INSCRITIVEL E CIRCUNSCRITIVEL E UMA CONDICAO NECESSARIA E SUFICIENTE PARA QUE A AREA DE UM POLIGONO CONVEXO DE N LADOS SEJA EXPRESSA EXCLUSIVAMENTE EM FUNCAO DOS SEUS LADOS ? SE SIM, COMO E ESSA FORMULA ? " E ENTAO ? Em deferencia ao Ilustre Prof , vamos mostrar aqui com maiores detalhes como o Tio Euler encontrou a soma dos inversos dos quadrados dos numeros naturais. Todos nos sabemos que sen(x) = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... assim, a equacao "sen(x)=0" pode ser pensada como uma equacao polinomial infinita, isto e: sen(x)=0 <=> 0 = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... sen(x)=0 <=>0 = 1 - (x^2)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... fazendo y = x^2, a equacao fica : 0=1 - y/(3!) + (y^3)/(5!) - (y^5)/(7!) + (y^7)/(9!) - ... Ora, as raizes de sen(x) = 0 são x = k*(pi), k inteiro, ou seja, são " pi, 2*pi, 3*pi, 4*pi, ..." e os seus simetricos "-pi, -2*pi, -3*pi, 4*pi, ...", como y = x^2, a equacao em "y" tem para raizes: (pi)^2, (2*pi)^2, (3*pi)^2, (4*pi)^2, ... Por outro lado, para qualquer equacao polinomial finita, as relacoes de Girard entre os coeficientes e as raizes nos asseguram que a soma dos inversos das raizes e igual ao simetrico do coeficiente do termo de grau 1. Na equacao em "y" este coeficiente e "-1/(3!). Portanto : 1/(3!) = 1/(pi^2) + 1/((2*pi)^2) + 1/((3*pi)^2) + ... 1/6 = (1/(pi^2))*(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...) (pi^2)/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... Todos os passos do Tio Euler, conforme vimos, são bastantes simples, mesmo elementares. Num único ponto ele mostra a imprescindivel dose de audacia que precisam ter todos os criadores, qual seja, QUANDO APLICA PARA UMA EQUACAO POLINOMIAL INFINITA AS RELACOES DE GIRARD, QUE, A PRINCIPIO, SABEMOS SEREM VALIDAS SOMENTE NO CASO FINITO. A atitude do Tio Euler e uma prova, indireta, do que estavamos comentando acima sobre os Livros do Prof Augusto Morgado. Se Euler fosse daqueles que exigem uma prova formal das relacoes mais obvias e elementares, jamais teria dado esse passo e nos não saberiamos o que sabemos ! Finalizando e seguindo Euler, o que podemos concluir sobre series infinitas de reciprocos de quadrados, partindo nao de sen(x), mas de cos(x) ? Se o Sr nao e o Prof Morgado a que tenho nos temos referido em toda esta mensagem, queira nos desculpar o engano. Um abraco Paulo Santa Rita 5,0933,13072000 On Wed, 12 Jul 2000 10:59:31 -0300 Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice >da minha parte ao afirmar que Euler usou série de Fourier >para calcular a referida soma. >Li a mensagem meais rapidame
Re: uma desigualdade!
Paulo Santa Rita wrote: > > Carissimo Bruno, > > Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo > virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a > oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, > tambem, amigos ! > > Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um > evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie > dos inversos dos quadrados > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... > > Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos > cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto > Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. > Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par > qualquer. > > Voce sabe como ele concluiu que > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? > > Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do > seno(x). > > Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o > desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio > infinito que obedecia as relacoes de girard entre os > coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um > polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para > encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes > (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? > > Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum > outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com > a soma dos inversos dos cubos. Por que ? > > Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece > tal como Gregori o viu: > > pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... > > Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma > soma de numeros impares, a saber: > > N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) > > E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + > 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) > > Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, > entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie > convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma > natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series > formam um triangulo aritmetico. > > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esboço de solução: > >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > > > >Abraço > > > >Bruno Leite > > > >Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice da minha parte ao afirmar >que Euler usou série de Fourier para calcular a referida soma. Li a mensagem meais rapidamente do que devia. O que eu queria dizer é que essas somas de 1 sobre n elevado a expoente par sao calculáveis por meio de séries de Fourier. Desculpem a pisada na bola. Morgado PS: E o que eu sempre digo: ninguém descende de português impunemente. > > > > > > > > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
Paulo Santa Rita wrote: > > Carissimo Bruno, > > Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo > virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a > oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, > tambem, amigos ! > > Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um > evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie > dos inversos dos quadrados > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... > > Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos > cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto > Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. > Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par > qualquer. > > Voce sabe como ele concluiu que > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? > > Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do > seno(x). > > Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o > desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio > infinito que obedecia as relacoes de girard entre os > coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um > polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para > encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes > (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? > > Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum > outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com > a soma dos inversos dos cubos. Por que ? > > Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece > tal como Gregori o viu: > > pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... > > Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma > soma de numeros impares, a saber: > > N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) > > E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + > 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) > > Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, > entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie > convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma > natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series > formam um triangulo aritmetico. > > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esboço de solução: > >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > > > >Abraço > > > >Bruno Leite > > > > > > > > > > > > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Houve uma pequena distração. Leia-se série de Fourier onde está série de Taylor. Morgado
Re: uma desigualdade!
Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo >n natural ? > >Um esboço de solução: >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3 <3/2(1-1/n) >para n>1 > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3<3/2 > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, >limitada >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + >...+ 1/n^3 <3/2. > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 ><1.202057 > > >Abraço > >Bruno Leite > > > > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n) para n>1 Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3<3/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <1.202057 Abraço Bruno Leite
uma desigualdade
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
Re: uma desigualdade!
Este problema pode ser resolvido de modo analogo ao da hiperbole: A soma 1/2^3 + 1/3^3 + ... + 1/n^3 eh a soma das areas dos retangulos inscritos sob a curva y=1/x^3, de 1 ateh n, para a particao: 1<2<3<... Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 22:14 Assunto: uma desigualdade! >Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? > >Um abraço , >Carlos A Gomes. > > >
uma desigualdade!
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
