- Original Message -
From: Tcheka Republica [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 25, 2003 1:55 PM
Subject: [obm-l] Questão IME 96
Essa é uma questão do IME do ano de 1996.
Gostaria que alguem ajudasse-me a resolve-la:
Seja um octógono convexo. Supondo que
Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na
qustão do IME abaixo.
-- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais,
e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA,
prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz
identidade nxn.
(A + I)(A² - A + xI) = A³ - A² + xA
Sejam 2i+1,2i+3,...,2j+1 os termos da PA, com ij ( veja que i e j não obrigatoriamente
são naturais). Entã a soma deles é
(2i+1 + 2j+1)(j-i+1)/2, donde (j+1+i)(j+1-i)=7^3
Basta agora analisar os casos. Em cada um deles vc chegará num sistema
e achará i e j.
-- Mensagem original --
Alguem
(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)+...(2a+2n-1)=7³
2na+(1+3+5+...+2n-1)=7³
2na+n(1+2n-1)/2=7³
2na+n²=7³
n(n+2a)=7³
Observe que n e a são inteiros,em
particular,n0.Agora temos as possibilidades:
1)n=1 e n+2a=7³ == 2a=7³-1
==2a=342
Nesse caso, temos um único termo
(2a+1)=343.
2)n=7 e n+2a=7² ==
Que tal usar analítica Jorge? Assim poderia encontrar todos os vértices e calcular a área do octógono. Só não sei se seria prático! -Mensagem Original- De: Jorge Paulino Enviado: quarta-feira, 25 de setembro de 2002 14:09 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] QUESTÃO IME Galera,
Oi galera,
poderiam me ajudar na seguinte questão
do IME...
sqrt(5-sqrt(5-x))=x, para x0
Eleve ao quadrado dos dois lados. Fica 5-sqrt(5-x)=x^2. Arranjando
convenientemente a equação, ficamos com sqrt(5-x)=5-x^2. Vemos que y=5-x^2 é
a função inversa de y=sqrt(5-x) sendo, portanto, as duas
From: Igor GomeZZ [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: Eder [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Date: Sat, 10 Aug 2002 22:49:39 -0300
Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED]) disse:
i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5)
Pode
Em 11/8/2002, 10:59, leonardo ([EMAIL PROTECTED]) disse:
Olá Igor,
Fala brow!
Na realidade k^5=k(mod5) é apenas uma notação matemática que significa a
mesma coisa que 5 divide k^5-k,ou seja se tivermos A=B(modN) estaremos
matematica falando q A é congruo a B modulo N,isto é N divide
É verdade Gabriel, vc não precisa estudar o teorema de
fermat para o IME, só precisa raciocinar, como fez o
leonardo e os outros dizendo que se k^5-k é divisível por
10, então termina em mesmo algarismo que k.
__
Se provarmos que k^5 - k é múltiplo de 10,o problema estará acabado.Vejamos:
i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c
inteiro tal que k^5-k=c*5.Então k^5-k é múltiplo de 5.
ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presença de
dois interios
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] questão IME
Date: Sat, 10 Aug 2002 17:25:49 -0300
Por favor, me ajudem a resolver a questão
abaixo que caiu no IME.
Provar que para qualquer numero inteiro k,
os números k e k^5
O que vc quer é o mesmo que provar que k = k^5 (mod 10)
O teorema de Euler diz que a^phi(n) = 1 (mod n)
com n=10 temos
a^phi(10) = 1 (mod 10)
phi(10) = 10.(1/2).(4/5) = 4
portanto a^4 = 1 (mod 10)
ou simplesmente k^4 = 1 (mod 10)
multiplicando ambos os lados por k obtemos
k^5 = k (mod 10)
que é
Ops! Uma correção abaixo
- Original Message -
From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 10, 2002 6:47 PM
Subject: Re: [obm-l] questão IME
O que vc quer é o mesmo que provar que k = k^5 (mod 10)
O teorema de Euler diz que a^phi(n) = 1
É possível resolver essa questao usando conhecimentos restritos ao ensino
medio?
O Teorema de Fermat pode ser ensinado no ensino medio?
Na hora de provar algo em uma prova aberta (que é o caso do IME), eh preciso
adotar um formalismo?
A banca do IME segue critérios rígidos? Que precaucoes devo
Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED]) disse:
i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5)
Pode parecer idiota, mas o que eh mod 5?
Fui!
### Igor GomeZZ
UIN: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 10/8/2002 (22:48)
a=b (le-se a eh congruo a b) (na realidade o sinal que se usa eh o de igual
com tres tracinhos) modulo p
significa
a-b eh multiplo de p
ou, o que eh o mesmo,
a e b deixam restos iguais na divisao por p.
Igor GomeZZ wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED])
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