Esta solucao do Rogerio é bem interessante!
Entretanto, as desigualdades apresentadas valem para qualquer sequencia a_n de
numeros positivos tal que Soma(n = 1, oo) 1/a_n divirja - exatamente o caso da
sequencia p_n dos numeros primos. De fato, se, para algum k >1, tivermos a_n <
n^k para um nu
Se vc quiser provar por indução, não é este o racicínio correto. Primeiro, você
tem que provar que a prposiçao vale para n =1; Depois, assumindo que seja
valida para lgum inteiro positivo n, tem que provar que vale para o inteiro n
+1.
Não faz sendtido por k = oo
Artur
[Artur Costa Steiner] -
Não, nada que seja matematicamente válido é trapaça!
Mas ha uma outra solucao..
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: domingo, 13 de abril de 2008 09:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [o
Ha uma solucao que nao eh dificil, naoi
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fernando
Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 14:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Prioridade
É real
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 12:05
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
k é inteiro ou real
Eh.
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
x^2 + z^2 >= 2xz
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 >= 2xy + 2yz + 2xz => x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz
E so hah igualdade se x = y = z
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PRO
Eh, mas se puderem ser negativos a desigualdade nao eh valida. Os meninos aqui,
incluinodo este aqui, menino do inicio dos anos 60, viram isso
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: terça-feira, 21 de agost
Certamente existe uma solucao por fatoracao. Mas, se for valido utilizar algum
conhecimento de programacao matematica, este e um caso em que quer minimizar
uma funcao f de a,b, c continua, que apresenta simetria, e cujas derivadas
parciais existem. Sabemos que um ponto extremo ocorre para a = b
Sejam
a=(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) e b=(2/3)*(4/5)*(6/7)...*(98/99) -- note que
tem 50 termos em a, mas apenas 49 termos em b. Também, note que ab=1/100,
isto é, b=1/(100a).
Bom,
como 3/4>2/3; 5/6>4/5; ... ; 99/100>98/99; temos, multiplicando tudo,
que 2a>b.
Como
1/2<2/3; 3/4<4/5; 5/
De modo geral,
para todo n>=1 temos P_n = 1/2 * 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i
=1,n) (1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA >= MG, para n>1 temos
que (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n) (1 - 1/(2n)) = 1 - (1
+ 1/2 +1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a desigualdade 1 + 1/2
+1/n > ln(n+1), de mo
Isso
nao prova nada. Ele esta tentando provar a desigualdade partindo do pricipio que
ela eh verdadeira...Eh como um advogado tentar provar que seu cliente e inocente
partindo do principio que ele eh inocente...
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PR
Apesar de mais trabalhosa eu gostei mais da solução do Gugu.
Abs.Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Caro Pedro,Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que aminha) - eu devia ter visto isso...Abraços,GuguP.S.: Claro que dá para tirar os -1,
Caro Pedro,
Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que a
minha) - eu devia ter visto isso...
Abraços,
Gugu
P.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial:
Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a<=e^((a^2+b^2)^(1/2)).
>
>|e^z - 1|
|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |
e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...
Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,
obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso?
Um abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL
Seja r = |z[2]|/|z[1]| que é menor que 1 por hipótese.
Voce gostaria de mostrar que nr^(n-1)< 1/(1-r) = 1 + r + r^2 + +
r^(n-1) + .
Observe que
r^(n-1) < 1
r^(n-1) < r
.
.
.
r^(n-1) < r^(n-2)
r^(n-1) = r^(n-1)
Somando os dois lados, obtem-se
nr^(n-1) < 1+ r + + r^(n-2)+ r^(n-1) <
Esta eh a famosa desigualdade das médias aritmetica e geometrica, a prova
jah foi apresentada aqui uma porcao de vezes, por diversos processos.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fagner almeida
Enviada em: Sunday, February 20, 2005 11:54 AM
Imagine que y é um parâmetro e para cada y você tem um polinômio em x de
grau 2. Encontre o discriminante desse polinômio em função de y: delta =
-20(y^2 + 2y + 1). Agora mostre que esse discriminante é < 0 para todo y
diferente de 1 (nesse caso a primeira expressão é > 0) e para y=1, a
primeira ex
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