Só para dar um exemplo: O célebre Georg Cantor acreditou poder refutar o
5º
princípio de Euclides ( de que o todo é maior que a parte ) pelo
argumento
de que o conjunto dos números pares, embora sendo parte do conjunto dos
números inteiros, pode ser posto em correspondência biunívoca com ele,
de
modo que os dois con- juntos teriam o mesmo número de elementos e,
assim,
a
parte seria igual ao todo: 1, 2, 3, 4..... n 2, 4, 6, 8..... 2n = n Com
esta demonstração, Cantor e seus epígonos acreditavam estar derrubando,
junto com um princípio da geometria antiga, também uma crença
estabelecida
do senso comum e um dos pilares da lógica clássica, descortinando assim
os
horizontes de uma nova era do pensamento humano. Esse raciocínio
baseia-se
na suposição de que tanto o conjunto dos números inteiros como o dos
pares
são conjuntos infinitos atuais, e ele pode portanto ser re- jeitado por
quem acredite, com Aristóteles, que o infinito quantitativo é só
potencial,
nunca atual. Mas, mesmo aceitando-se o pressuposto dos infinitos atuais,
a
demons- tração de Cantor é apenas um jogo de palavras, e bem pouco
engenhoso no fundo. Em primeiro lugar, é verdade que, se representarmos
os
números inteiros cada um por um signo ( ou cifra ), teremos aí um
conjunto
( infinito ) de signos ou cifras; e se,nesse conjunto, quisermos
destacar
por signos ou cifras especiais os números que representem pares, então
teremos um “segundo” conjunto que será parte do primeiro; e, sendo ambos
infinitos, os dois conjuntos terão o mesmo número de ele- mentos,
confirmando o argumento de Cantor. Mas isso é confundir os números com
seus
meros signos, fazendo injustificada abstração das propriedades
matemáticas
que definem e diferenciam os números entre si e, portanto, abolindo
implicitamente também a distinção mesma entre pares e ímpares, na qual
se
baseia o pretenso ar- gumento. “4” é um signo, “2” é um signo, mas não é
o
signo “4” que é o dobro de 2, e sim a quantidade 4, seja ela
representada
por esse signo ou por quatro bolinhas. O conjunto dos números inteiros
pode
conter mais signos numéricos do que o con- junto dos números pares— já
que
abrange os signos de pares e os de ímpares—, mas não uma maior
quantidade
de unidades do que a contida na série dos pares. A tese de Cantor
escorrega
para fora dessa obviedade mediante o expediente de jogar com um duplo
sentido da palavra “número”, ora usando-a para designar uma quantidade
definida com propriedades determinadas ( entre as quais a de ocupar um
certo lugar na série dos números e a de poder ser par ou ímpar ), ora
para
designar o mero signo de número, ou seja, a cifra. A série dos números
pares só é composta de pares porque é contada de dois em dois, isto é,
saltando-se uma unidade entre cada dois números; se não fosse con- tada
assim, os números não seriam pares. De nada adianta aqui recorrer ao
subter- fúgio de que Cantor se refere ao mero “conjunto” e não à “série
ordenada”; pois o conjunto dos números pares não seria de pares se seus
elementos não pudessem ser ordenados de dois em dois numa série
ascendente
ininterrupta que progride pelo acréscimo de 2, nunca de 1; e nenhum
número
poderia ser considerado par se pudesse livremente trocar de lugar com
qualquer outro na série dos inteiros. “Pari- dade” e “lugar na série”
são
conceitos inseparáveis: se n é par, é porque tanto n+1 como n-1 são
ímpares. Nesse sentido, é unicamente a soma implícita das unidades não
mencionadas que faz com que a série de pares seja de pares. Portanto— e
eis
aqui a falácia de Cantor—, não há aqui duas séries de números, mas uma
única, contada de duas maneiras: a série dos números pares não é
realmente
parte da série dos números inteiros, mas é a própria série dos números
inteiros, contada ou nomeada de uma determinada maneira. A noção de
“conjunto” é que, desta- cada abusivamente da noção de “série”, produz
todo
esse samba-do-alemão-doido, dando a aparência de que os números pares
podem
constituir um “conjunto” inde- pendentemente do lugar de cada um na
série,
quando o fato é que, abstraída a posi- ção na série, não há mais
paridade
ou imparidade nenhuma. Se a série dos números inteiros pode ser
representada por dois conjuntos de signos, um só de pares, outro de
pares
mais ímpares, isto não significa que se trata de duas séries realmente
distin- tas. A confusão que existe aí é entre “elemento” e “unidade”. Um
conjunto dex uni-dades contém certamente o mesmo número de “elementos”
que
um conjunto dex pares, mas não o mesmo número de unidades. O que Cantor
faz
é, no fundo, substancializar ou mesmo hipostasiar a noção de “par” ou
“paridade”, supondo que um número qualquer possa ser par “em si”, inde-
pendentemente de seu lugar na série e de sua relação com todos os demais
números (inclusive, é claro, com sua própria metade), e que os pares
possam
ser contados como coisas e não como meras posições intercaladas na série
dos números inteiros. No seu “argumento”, não se trata de uma verdadeira
distinção entre todo e par- te, mas sim de uma comparação meramente
verbal
entre um todo e o mesmo todo, diversamente denominado. Não se tratando
de
um verdadeiro todo e de uma verda- deira parte, não se pode falar então
de
uma igualdade de elementos entre todo e parte, nem, portanto, de uma
refutação do 5º princípio de Euclides. Cantor erra o alvo por muitos
metros.
2012/11/10 Manuel Doria <manueldo...@gmail.com>
Ele também já alegou que o *Tractatus* foi copiosamente plagiado de
obras
anteriores de Frege e que esta obra trouxe um "dano incalculável" à
"inteligência mundial".
2012/11/9 Décio Krause <deciokra...@gmail.com>
Impressionante. Sabem se ele também falou da mecânica quântica ou dos
teoremas de Gödel?(deve ter falado, pois ele parece que fala de
qualquer
coisa).
D
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Décio Krause
Departamento de Filosofia
Universidade Federal de Santa Catarina
88040-900 Florianópolis - SC - Brasil
http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause
