Meu ponto é que a essência do teorema é uma falha de representação (uma entre duas, qual vai falhar depende da nomeação das fórmulas, ou seja, da godelizacao). Indecidibilidade e indefinibilidade da verdade podem ser consequências dessa falha, mas o resultado é geral e se aplica a teorias decidiveis e indecidiveis. Você diz:
> Ora, se a teoria é decidível, ninguém disputa que a aritmetização pode > ser dispensada! Trata-se, porém, de dispensá-la em demonstrações de > *indecidibilidade*! O que eu fiz para a teoria dos corpos reais fechados pode ser feito para teorias indecidiveis, é só escolher uma nomeação adequada. Vamos ver. > Considere o mencionado teorema 1 na seção II.2 do TMR. Tome uma > formalização qualquer T, em primeira ordem, da aritmética. Você > poderia, porventura, *demonstrar*, sem uso da aritmetização, que a > função D é definível em T (sob a hipótese de que T é consistente)? Sim. Primeiro é preciso formular a questão apropriadamente, pois a definibilidade é relativa a uma nomeação das fórmulas, não vale em absoluto como veremos. Por nomeação entendo uma atribuição de termos a fórmulas de modo injetivo. Normalmente isso é chamado de godelizacao. Primeiro, digo novamente que não é necessário mostrar qualquer representabilidade para aplicar o teorema, porque para qualquer nomeação das fórmulas, ele dá como conclusão que ou D não é representável ou a teoremicidade não é representável. O teorema mostra uma falha de representabilidade em qualquer caso, e essa é sua essência como eu entendo. Segundo, observo que D não é “definível” em absoluto. A representabilidade é relativa a uma nomeação das fórmulas. Vamos ver isso. Vamos representar a teoremicidade de T em T (isso mesmo, a teoremicidade da aritmética). Considere a seguinte nomeação: o conjunto dos teoremas da aritmética é enumerável. Nomeie o primeiro teorema com o termo fechado 0, o segundo com 2, o terceiro com 4, ... Fixe também uma nomeação dos não teoremas com os termos para números ímpares. A fórmula (Existe y; x = y + y) representa os teoremas em T para a nomeação dada acima! O que acontece, claro, é que a diagonalização não é representável para essa nomeação! Essa nomeação também não é recursiva, nem poderia ser, claro. Sua questão deve ser entendida assim: mostre que há uma nomeação das fórmulas tal que a diagonalização é representável com essa nomeação. Isso não é necessário para aplicar o teorema e concluir que T tem falha de representabilidade. De qualquer modo, vamos ver o que podemos fazer. Enumere as fórmulas que não são diagonalização com os termos para os números primos. Para cada fórmula F, o termo para a diagonalização de F será ‘F’.’F’. (O termo produto do termo ‘F’ com ele mesmo). A fórmula y=x.x representa a diagonalização com essa nomeação. Abraço Rodrigo > Em 30 de dez de 2019, à(s) 10:59, Hermógenes Oliveira > <olive...@daad-alumni.de> escreveu: -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/0CE1AD82-F6F1-4E9F-95B1-2FF3FE8CF875%40gmail.com.
