Muito obrigada Hermogenes, por explicar de forma racional e embasada os meus sentimentos de que > haveria uma "aritmetização" sendo pressuposta em TMR
obrigada Rodrigo pela clarificacao: >Alegação do Hermógenes reformulada: A tarefa de (i) apresentar uma nomeação das fórmulas, (ii) representar a diagonalização com essa nomeação e (iii) mostrar que todas as propriedades recursivas são representáveis com essa nomeação para uma teoria T (aritmética? teoria de conjuntos?) não pode ser totalmente executada sem aritmetização. Concordo que >Ainda seria preciso esclarecer o que é aritmetização, porque a alegação acima pode ser verdadeira por definição (de aritmetização)! sim, mas isso 'e "bad cheating" e estamos pressupondo que todo mundo quer ver as coisas da forma mais clara possivel e nao "score points on the pub discussion". Tambem acho que a gente precisa pensar um pouco mais sobre o que significa "ser representavel" (ou pelo menos eu preciso, pois a nocao que eu conheco e' limitada a categorias) De qualquer forma acho que ganhamos um tanto com essa conversa! obrigada Joao Marcos pela pergunta na mensagem inicial sobre as dependencias da prova original do Goedel, que pode ser entendida como uma questao de "reverse mathematics", que acho que foi a conversa que rolou por aqui. e pra terminar numa nota um pouco menos fraternal, tb foi bom ver o que o Hermogenes estava escrevendo em 2016, pois discordo completamente dele na tese de se se deve ou nao "estimular o interesse por ciência". Concordo com o JM que isso 'e nao somente "bonitinho e bacaninha --- e quiçá até útil", mas acho que e' na verdade essencial no mundo atual. logicos e matematicos so' existem se a sociedade decide sustenta-los, se a sociedade nao sabe *pra que* eles existem, eles podem deixar de existir. Vivemos numa economia de atencao e reputacao, precisamos cuidar da nossa. e divulgacao cientifica boa e honesta e' dificil pacas! Mas isso 'e um novo "can of worms", pra uma outra ocasiao. abracos logicos, Valeria On Sat, Jan 4, 2020 at 8:37 AM Rodrigo Freire <freires...@gmail.com> wrote: > > Bom esclarecimento do seu entendimento, Hermógenes, mas ainda há pontos > que não estão estritamente corretos. > Por exemplo, > > >> Como nós poderíamos, contudo, com base no resultado abstrato de TMR, >> *demonstrar* o resultado de Gödel para uma formalização particular A da >> aritmética? Seria necessário resolver a dicotomia, a qual, neste >> caso, como nós já *sabemos*, mas gostaríamos de *demonstrar* >> independentemente de Gödel, pende para um dos lados. Isto é, seria >> necessário demonstrar que a função D de diagonalização é definível em >> A. Essa demonstração, juntamente com a dicotomia já demonstrada em >> TMR, nos daria então o resultado desejado, que é a indecidibilidade de >> A. > > > Na verdade, a diagonalização não é definível (o termo contemporâneo é > representável) em absoluto (independente da nomeação das fórmulas), como já > disse. Isso depende da nomeação das fórmulas. É trivial arrumar uma > nomeação das fórmulas para a qual a diagonalização é definível, e uma para > a qual a diagonalização não é. Apresentei isso. Eis aqui outra nomeação > para a qual a diagonalização é definível: > > Nomeie as fórmulas que não são diagonalização com os termos para os > números ímpares. Nomeie as diagonalizações dessas F's com os termos soma > 'F' + 'F'. Nomeie as demais com os termos pares não utilizados. A seguinte > fórmula representa a diagonalização: > (x é par e y = x) ou (x é ímpar e y = x + x). > > > >> Consultando as definições relevantes em TMR, em particular a >> definição de "definível", constatamos que a nossa missão seria >> demonstrar um resultado existencial. E eis aqui, finalmente, a minha >> alegação: >> >> - Uma *demonstração* de que a função D de diagonalização é definível >> em A não pode dispensar de aritmetização. >> > > O resultado existencial está demonstrado acima em duas linhas usando > apenas a divisão entre pares e ímpares e a soma. TMR + esse resultado nos > dá que a teoremicidade não é representável com essa nomeação. O que > faltaria para concluir que a aritmética é indecidível? Faltaria demonstrar > que todas as propriedades recursivas são representáveis com essa nomeação. > Aí sim, poderíamos discutir se esse tipo de coisa, que aparece pela > primeira vez no artigo do Godel, pode ser demonstrada sem aritmetização. É > uma discussão interessante, podemos aprender algo levando isso para frente. > > Em especial, essa alegação *não* pretende ser interpretada das >> seguintes formas: >> >> - Para se compreender o enunciado abstrato de TMR e sua dicotomia >> subjacente é necessário apelar à aritmetização. >> >> - A noção de "aritmetização", ou "representabilidade da matemática" é >> uma panaceia que remonta, pelo menos, aos tempos de Pitágoras. >> >> No próprio livro TMR, as demonstrações de indecidibilidade de teorias >> particulares, especialmente no teorema 9, §II, assumem explicitamente >> (nota de rodapé 7, §II) a recursividade da função D, e aqui se aplicam >> as minhas observações anteriores sobre as propostas alternativas nos >> moldes de Kleene. >> >> Em resumo, o enunciado abstrato de TMR nos fornece a dicotomia: >> >> ¬ D (diagonalização) ∨ ¬ T (teoremicidade) >> >> o que, para quem está familiarizado com a lógica proposicional >> clássica, é equivalente a >> >> D → ¬T >> > > Certo, inclusive é desse último modo que formulei em meu livro. Mas é > preciso entender que há uma nomeação subjacente à dicotomia, e esta > dicotomia se refere à falha de representabilidade com essa nomeação, para > um lado ou para o outro. > > > Se o resultado pretendido é, para além da dicotomia abstrata de TMR, a >> indecidibilidade, isto é ¬T, de uma teoria particular A para a >> aritmética, >> então, temos ainda que demonstrar D. Ora, pelas definições em >> TMR, D é um enunciado existencial. Por isso eu falava de uma hipótese >> existencial embutida. >> > > ¬T não é o mesmo que indecidibilidade, é indefinibilidade com a nomeação > subjacente. Isso precisa estar claro, ou o enunciado não será entendido. > Para aplicar o teorema a primeira coisa é apresentar uma nomeação das > fórmulas. Depois podemos mostrar D. Fiz isso acima, trivialmente. Disso não > temos ainda a indecidibilidade, como mencionei, e talvez aqui esteja a sua > alegação: > > Alegação do Hermógenes reformulada: A tarefa de (i) apresentar uma > nomeação das fórmulas, (ii) representar a diagonalização com essa nomeação > e (iii) mostrar que todas a propriedades recursivas são representáveis com > essa nomeação para uma teoria T (aritmética? teoria de conjuntos?) não pode > ser totalmente executada sem aritmetização. > > Ainda seria preciso esclarecer o que é aritmetização, porque a alegação > acima pode ser verdadeira por definição (de aritmetização)! Mostrei que as > etapas (i) e (ii) podem ser executadas sem aritmetização. > > > >> Está concedido que existem codificações distintas e, porventura, >> melhores do que aquelas utilizadas por Gödel e que, por sua vez, podem >> apelar para as mais variadas propriedades numéricas. Isso significa >> que qualquer codificação funciona para se aritmetizar a teoria, desde >> a noção de fórmula até a noção de derivação formal, e que basta >> mencionar números para que se tenha aritmetização? Não me parece >> razoável. >> >> Agora, nós poderíamos, eventualmente, fornecer critérios gerais (por >> exemplo, por meio de definições) que uma codificação precisa obedecer >> para desempenhar o papel pretendido na aritmetização. Isso não >> significa, porém, prescindir da aritmetização. Seria apenas o mesmo >> que dizer, em termos coloquiais: "Não enche o saco! Gödel já mostrou >> que dá pra fazer! Ninguém tem tempo ou interesse nessas continhas. >> Com exceção, talvez, dos hackers. Vá amolar um construtivista!" >> > > Sim, a nomeação das fórmulas (codificação) precisaria ser tal que a > diagonalização e todas as propriedades recursivas são representáveis com > ela, como eu disse na minha primeira mensagem lá atrás. Com isso, TMR > fornece as consequências desejadas (indecidibilidade, incompletude). Para > ver se isso é possível sem aritmetização, é preciso explicar melhor o que é > aritmetização. > > > > > > > -- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. > Para ver essa discussão na Web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAExWzUJcvMewz%2B3MTjT2MopP8Me4XEnAn2OdMKVkJeVLxnegZQ%40mail.gmail.com > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAExWzUJcvMewz%2B3MTjT2MopP8Me4XEnAn2OdMKVkJeVLxnegZQ%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > -- Valeria de Paiva http://vcvpaiva.github.io/ http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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