Legal, vamos ver como o teorema de Godel na versão que mencionei (TMR) *se aplica* nesse caso sem aritmetização no sentido usual (sequer há um predicado para os números naturais). Depois analiso a falha de representabilidade.
Sim, a teoria dos corpos reais fechados (corpos ordenados tais que todo positivo é quadrado e todo polinômio satisfaz o teorema do valor intermediário) e a teoria dos corpos algebricamente fechados de característica zero são completas e decidiveis. Vou considerar a teoria dos corpos reais fechados, denotada por T. Os termos fechados dessa teoria são termos para números inteiros. Vamos pensar na seguinte correspondência 1-1 entre termos e fórmulas: enumeramos os teoremas com os números negativos e os não teoremas com os não negativos. Se F é fórmula, ‘F’ será o termo fechado correspondente ao número na numeração acima. Por exemplo, se F é o primeiro teorema, ‘F’ será o termo -1. Se F é o primeiro não teorema, ‘F’ é o termo 0. Assumida essa correspondência entre fórmulas e termos fechados, temos que a teoremicidade de T é representada pela fórmula x<0. De fato, se F é teorema, ‘F’ < 0 é teorema de T, e se F não é teorema, ~(‘F’ < 0) é teorema de T. O teorema de Godel se aplica e T não representa a diagonalização (para a correspondência entre fórmulas e termos). T falha em representar a metamatemática elementar, portanto falha em fornecer uma representação formal exaustiva da matemática. Poderíamos dizer que a representabilidade falha porque essas teorias admitem eliminação de quantificadores: os quantificadores não adicionam poder de definibilidade dentro dessa teoria. Mas esse não é um resultado óbvio, que está presente desde o início, por isso essa resposta pode não ser satisfatória. O que é mais básico é que T não é suposta ser uma representação formal exaustiva da matemática. Ao contrário, desde o início se sabe que muita coisa fica de fora. T não é capaz de representar outras funções contínuas elementares (e.g. exponencial) além dos polinômios. Mas Essa teoria não está sozinha nisso. A dicotomia de Godel implica que, dada uma T consistente e uma correspondência entre fórmulas e termos fechados de T, pelo menos uma entre diagonalização e representabilidade escapa à representação formal em T. Ou seja, não temos uma representação formal exaustiva da matemática. Abraço Rodrigo > Em 29 de dez de 2019, à(s) 23:38, Carlos Gonzalez <gonza...@gmail.com> > escreveu: > > > Prezado Chico e lista, > > Já que estamos no problema da representabilidade da aritmética, quero > mencionar uma questão que gerou bastante confusão décadas atrás e que talvez > alguns lógicos mais novos desconheçam. > > Trata-se de teorias de corpos ordenados. Algumas delas (característica zero? > corpos algébricos completos?) são completas e não se aplica o Teorema de > Incompletude. > Esses corpos tem o zero, o 1, e as operações adição e multiplicação. > Por exemplo: tem 0, 1, 1+1, 1+1+1, etc. > Não tem um predicado "x é um número natural" e não tem as definições > recursivas de adição e produto. > O que poderíamos dizer de por que falha a representabilidade? -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/5282631B-D946-482D-B751-E0B92D249084%40gmail.com.
