Salve Daniel, prazer falar com você, como sempre também, e pelo visto se
você estivesse na live ela não terminaria pois seus
questionamentos são bastante interessantes e a coisa iria embora no
tempo...
Primeiro, registrar que "o meu amigo de Brasília" já me deu bronca dizendo
que não era exatamente aquilo que ele me disse
anteriormente, hahaha,
Então, eu desde o final do meu doutorado (2004), início da minha carreira
na UFBA (2006), tenho essa visão da matemática que eu falei na live
(eu lembro que no começo do mestrado eu pensava diferentemente, de modo
bastante mais ingênuo),
E tenho primeiramente que dizer: eu não me coloco como "o porta-voz de como
os matemáticos pensam", e nem "de como os teoristas de conjuntos pensam",
quase tudo que eu coloquei na live são visões "personalíssimas" (pra usar
essa palavra que está na moda...) minhas. E sim, ter uma visão
pessoal ajuda a passear por esse ambiente cheio de ovos no chão - mas, uma
coisa eu posso dizer, eu como matemático vindo da Lógica
e ativo na comunidade brasileira de Lógica e tendo por isso bastante
contato com a Filosofia, o matemático padrão, "establishment", não
tem essas preocupações com fundação da matemática não e, mais importante,
em geral o matemático padrão não é chamado a se posicionar
"filosoficamente" sobre sua epistemologia própria do que seja a matemática,
isso eu sempre faço por questão por gostar mesmo desse tipo
de discussão (sempre gostei, talvez por isso enveredei pela Teoria dos
Conjuntos...) e por minha atuação dentro da lógica como um todo.
Então vamos lá: tem uma frase que eu gosto muito que é "eu sou eu e minhas
circunstâncias" (que acabei de colocar no Google aqui, não conhecia
o autor e não sei qual a teoria na qual ela se coloca, então não posso nem
comprar nem vender essa teoria na sua completude...), mas é uma frase que
eu gosto.
Pra mim, matemática é meio assim: é ela e suas circunstâncias...
Aí, por facilidade mesmo (o que concordo que alguém pode achar que é
"preguiça ou covardia", touché), eu coloco: matemática é ZFC.
Na minha analogia com tabuleiros, matemática é O JOGO, o qual pode ser
jogado EM QUALQUER TABULEIRO QUE NÃO VIOLE AS
REGRAS.
Aí, quando eu digo que sou semantista, pra mim não tem existe contradição
nisso porque porque, exatamente por gostar muito de resultados de
consistência, qualquer coisa que não leve a contradição TERÁ O SEU
TABULEIRO ESPECÍFICO ONDE ELA VALE (e aí nesse caso a noção de "verdade" é
mais de "ser válido em algum modelo" - o que, pelo Teorema de Completude,
equivale a não levar a contradição...). É nessa pegada que eu digo
que sou semantista. Se vale em algum modelo, eu considero DO JOGO.
Essa coisa do JOGO, a gente pode pensar também em O ESPORTE.
Futebol é um ESPORTE, e que é jogado em todo o mundo, alguns lugares na
areia, alguns lugares na grama, alguns lugares na grama
sintética (para desespero do Zico), em alguns lugares a trave é de madeira,
noutros lugares não tem trave e a gente coloca duas
pedras no chão onde a bola tem que passar... Mas tudo isso é FUTEBOL.
E o FUTEBOL existe como jogo, e pode ser jogado EM MUITOS AMBIENTES - cada
quadra/campinho de futebol pelo mundo seria UM MODELO.
Em todas essas instanciações do jogo, eu não posso pegar a bola com a mão.
"Não pegar a bola com a mão" é um axioma. É da base
da teoria. Isso vai valer EM TODOS OS AMBIENTES. (Seria o "ZFC absoluto",
algo que, como consequência sintática de ZFC, é
também consequência semântica e valeria em todos os ambientes... Tem muito
do Teorema de Completude embutido aí no que
estou dizendo, como podem perceber...)
Se a gente levasse a ferro e fogo e quisesse que O FUTEBOL DECIDISSE TUDO,
que a REGRA FOSSE ATÉ OS ÚLTIMOS DETALHES, a gente acabaria chegando na
conclusão que "o futebol só pode ser jogado com essa bola, por estes
jogadores e no maravilhoso estádio monumental de Wembley,
na Inglaterra, onde o jogo foi criado"... Isso seria meio reducionista, não
?
Então pra mim A MATEMÁTICA É O ESPORTE... Onde ele puder ser jogado sem
violar as regras básicas, "é do jogo". Mesmo que
esse jogo não me diga exatamente qual é o tamanho da reta...
Aí a coisa da Hipótese do Contínuo que você disse, só aí já teríamos uma
quantidade "do tamanho do universo" de matemáticas
possíveis se pensarmos no tamanho da reta ("o continuum"): por um resultado
de Easton, "o contínuo pode ser tudo o que ele pode ser", no sentido
de que a única restrição é que o tamanho da reta não pode ter cofinalidade
enumerável. Nesse sentido, começando com um modelo
da Hipótese Generalizada do Contínuo de "ground model", a gente pode fazer
um forcing até que simples (um forcing pra cada valor
que eu queira, no caso) e fazer com que o contínuo seja aleph_2, ou
aleph_3, ou aleph_4, ou aleph_{omega + 1} - aleph_omega não
pode ser pela questão da cofinalidade -, e a quantidade de ordinais de
cofinalidade não enumerável é a mesma quantidade de ordinais
que é a mesma quantidade de conjuntos no universo (nessa última passagem
estou roubando um pouco e considerando o
Axioma da Escolha Global, mas tudo bem né 8-) ).
Qualquer valor que o contínuo pode ter, ele terá em algum modelo - isso
tudo é matemática pra mim. Eu não sinto necessidade que
a Matemática me diga exatamente "qual aleph" é o tamanho da reta. Eu não
sinto falta "que a Matemática me diga qual o
valor do continuum". Eu gosto que sejam "infinitos valores possíveis"...!!!
(Eu não lembro se eu cheguei a fazer essa analogia na live, mas eu sempre
gosto de fazê-la: "a teoria dos anéis (ou mesmo dos
corpos) não consegue decidir se existe um x tal que x^2 = 1 + 1 - pois
existem corpos onde esse x existe, e existem corpos
onde esse x não existe. Porque deveríamos esperar que a Teoria dos
Conjuntos decidisse se 2^{aleph_0} = aleph_1 ? Ou porque
deveríamos esperar que só existisse uma possibilidade de resposta ? No caso
dos corpos não esperamos isso..." Obviamente
a complicação aí é que a Teoria dos Conjuntos é frequentemente encarada
como sendo "a Matemática" como se fosse uma
tal "verdade objetiva" e tal, é aí que pega a coisa, eu sei disso também...)
... Mas, como eu disse lá em cima, isso tudo sou eu, eu não posso dizer que
isso é a visão dos matemáticos, ainda mais que,
em geral, os matemáticos não estão preocupados com isso de forma alguma,
não existe preocupação com fundamentos da
matemática, eles só querem colocar toda manhã o uniforme de onde eles
jogam o jogo e jogar o jogo...
E, mais ainda, eu raramente sou chamado a justificar formalmente essas
visões, num paper por exemplo (o máximo é alguma
discussão nesta lista, como a que estamos no momento...). Nos últimos dez
anos tenho me interessado mais por aspectos filosóficos, mas nessa
área sou apenas um diletante...
E, só pra terminar, eu recomendo algumas leituras sobre gente de Conjuntos
que sim tem uma visão bem mais completa e
justificada do que a minha, em alguns casos similar e em outros não,
---> O Joel David Hamkins tem uma visão do "multiverso de conjuntos", tem
esse paper dele no arXiv:
https://arxiv.org/abs/1108.4223
Eu nunca li inteiro, nunca passei do abstract, mas o que tem mais ou menos
em comum com essa minha visão é de
que existem vários universos possíveis para a teoria dos conjuntos
"acontecer".
(Apesar das semelhanças, com certeza é diferente do meu ponto de vista
porque mesmo "a noção de conjunto em si" ele acredita que
seja diferente em cada universo, eu não penso assim)
Mas pelo menos como "slogan" eu acho a idéia interessante - o multiverso
dos conjuntos se parece com a minha
idéia da infinidade de tabuleiros, ou da infinidade de quadras/campos de
jogo.
---> tem um pessoal de Teoria dos Conjuntos (que eu deveria em algum
momento tentar sugerir que um deles
fosse chamado para um EBL...), que é o pessoal que frequenta o Artic
Workshop de Conjuntos, e se você falar
com qualquer um deles, eles têm sim uma noção do que seria "a verdade em
Teoria dos Conjuntos", de uma maneira bastante
diferente da minha, de modo que eles podem pegar um resultado de Teoria dos
Conjuntos e dizer "para onde ele está
apontando".
Nesse sentido, muitas vezes aparecem "dicotomias" - que seriam momentos em
que a teoria dos conjuntos apontaria
"ou para um lado ou para o outro". Parece confuso né ? Pois é, e tem muita
matemática técnica embutida nisso.
Nos últimos anos, tem por exemplo "a dicotomia HOD", introduzida por
Woodin, e aí tem este paper aqui por exemplo explicando:
https://philpapers.org/rec/BAGLCB
O "lado" para o qual a Teoria dos Conjuntos se inclinaria, lá na frente,
decidiria também a Hipótese do Contínuo
(pois se relaciona ao tal "Ultimate L Project" de Woodin também...).
No caso, o paper acima expõe alguns resultados de Large cardinals os quais,
assumindo a consistência deles, o caos prevaleceria
e a Hipótese do Contínuo seria falsa (!!!).
Observo, porém, que essa visão do pessoal do Artic Workshop é uma visão
mais pura sobre "qual seria a melhor Teoria
dos Conjuntos para se trabalhar" - até onde eu entendo, é uma busca por
"uma Teoria dos Conjuntos legal", eles não se
arvoram em dizer que com isso eles estão decidindo "o que é a matemática".
Por facilidade, medo ou preguiça, meio
que eles concordam comigo que "a matemática é ZFC", mas que sim é possível
debater o que deveria ser
verdade "numa Teoria dos Conjuntos legal"... Não está sendo decidido como
deveria ser a Matemática, mas
sim como deveria ser "a Teoria dos Conjuntos"... Que nesse caso seria ZFC +
algumas coisas.
... Enfim, pra falar de Filosofia de Teoria dos Conjuntos tem gente na
comunidade melhor do que eu pra falar
(Giorgio, Rodrigo, Alfredo, pra começar...)
Abraços ! Até
[]s Samuel
Em quinta-feira, 3 de agosto de 2023 às 23:24:58 UTC-4, dura...@gmail.com
escreveu:
> Grandes Samuel, Marcos Silva e Colegas,
>
>
> Parabéns pela conversa de bar online, Samuel e Marcos. Ouvir o Samuel é
> sempre um grande prazer, e ouvi-lo respondendo as perguntas perspicazes do
> Marcos Silva é muito melhor. Pena que perdi ao vivo. Adorei o papo. Ouvi
> hoje.
>
>
> Tá aqui o link para quem quiser assistir. Recomendo:
>
> https://www.youtube.com/live/fHihPJqhsfA?feature=share
>
>
> Deixa eu fazer uma pergunta, Samuel. Quando você diz, meio provocativo,
> que a matemática é ZFC ( ou a TC) o que você quer dizer com isso?
>
>
> Você quer dizer que a matemática é UM dos tabuleiros (ou modelos) onde as
> regras de ZFC se aplicam?
>
>
> Ou você quer dizer que a matemática é a própria ZFC (as regras)?
>
>
> Acho que é o primeiro caso. Afinal, você é um matemático, não um lógico,
> ou um computeiro, ou um filósofo que não entende nada de matemática (como
> eu).
>
>
> Mas você, num dado momento, disse que o pessoal da Teoria de Conjuntos —
> incluindo você mesmo — costuma se ver como semantista e, questionado pelo
> Marcos, você disse algo que eu entendi como afirmando que ser um semantista
> significa privilegiar as estruturas nas quais as regras se aplicam, e não
> as próprias regras.
>
>
> Mas aí eu fico confuso, Samuel. Porque se a matemática é ZFC e se você é
> um semantista, então a matemática é o tabuleiro onde ZFC pode ser jogada, e
> não as regras do jogo ZFC.
>
>
> Mas se ZFC não decide sentenças fechadas de sua linguagem, tal como a
> hipótese do contínuo, então as regras de ZFC não determinam univocamente o
> tabuleiro onde ela pode ser jogada. E então, há muitas matemáticas. Cada
> tabuleiro diferente em que ZFC pode ser jogada é uma matemática diferente.
>
>
> E sabemos que alguns desses tabuleiros são ESSENCIALMENTE diferentes, ou
> seja, que não são isomórficos, porque sabemos que alguns deles são
> compatíveis com a hipótese do contínuo enquanto outros são incompatíveis
> com a hipótese do contínuo (compatíveis com sua negação).
>
>
> Mas se você é um semantista, com tendência realista, isso me parece uma
> posição bem estranha. Você seria um pluralista matemático.
>
>
> Me parece que você se compromete com a seguinte concepção: “não é que
> existe uma realidade matemática objetiva e independente da mente. Na
> verdade existem pelo menos duas. “
>
>
> Talvez existam muitas. Você diz que gosta de resultados de independência.
> Então talvez saiba se existe alguma sentença fechada S da linguagem de ZFC
> que é independente tanto de (ZFC + HC) quanto de (ZFC + ¬HC)? Se houver,
> então já teríamos pelo menos 4 matemáticas — 4 tabuleiros não isomórficos
> para ZFC. Talvez haja infinitas matemáticas?
>
>
> Mas, para além de 1, a quantidade não importa. Este caso me parece
> contradizer o famoso ditado. Dois não é bom. Dois já é demais.
>
>
> Eu, que entendo quase nada de TC, prefiro interpretar os resultados de
> independência como provas de "inacabamento" da teoria -- inacabamento para
> não falar incompletude, já que você mesmo disse que não há uma
> interpretação canônica para ZFC.
>
>
> Os caras não terminaram a teoria. Faltam axiomas. Eu concordo com “seu
> amigo de Brasília” que é um absurdo ZFC não decidir a hipótese do contínuo.
>
>
> Isso só pode ser preguiça ou covardia dos matemáticos 🙂
>
> Façam aí uma convenção internacional e decidam. Você disse, ou pelo menos
> foi assim que eu entendi o que você disse, que nos tabuleiros mais quentes
> do momento, aqueles que parecem mais promissores, com mais aplicações e
> conexões, a hipótese do contínuo é falsa. Pois então, decidam aí entre os
> notáveis, ou em uma votação democrática (não, matematicocrática) que só são
> aceitáveis tabuleiros isomórficos incompatíveis com a hipótese do contínuo.
> Declarem os demais ilegais e aceitem a inscrição da negação da hipótese do
> contínuo no clube dos axiomas.
>
>
> É tipo o que fizeram com Plutão. O pobre foi expulso do clube dos planetas
> e, que eu saiba, nada aconteceu em Plutão para justificar a expulsão. O que
> os astrônomos fizeram foi complementar com novas cláusulas as regras de
> admissão no clube dos planetas mesmo. Dizem que depois Plutão foi
> readmitido com ressalvas… não sei, parei de acompanhar.
>
>
> Por que os matemáticos não fazem isso? Por que eles não admitem que ZFC
> está inacabada e declaram a Hipótese do Contínuo ou sua negação como
> axioma? Acho que é porque quase todos eles são, assim como você,
> semantistas. Um axioma é apenas uma descrição linguística desengonçada,
> feia, formal de um aspecto da realidade matemática abstrata objetiva,
> bela, harmônica e perfeita.
>
>
> Primeiro viria o tabuleiro, a realidade matemática, depois as regras, as
> teorias matemáticas. Só dá para acabar (ou incrementar) ZFC depois de saber
> com qual das duas sentenças, HC ou ¬HC o tabuleiro é compatível. Mas, como
> tem mais de um tabuleiro, alguns compatíveis com HC outros com ¬HC, e
> nenhum deles é considerado canônico, os matemáticos ficam paralisados e não
> decidem a questão.
>
>
> Eu entendo e admiro esta postura dos matemáticos. Eles são como músicos
> que tiram as harmonias de ouvido, que têm sensibilidade musical. Eu não
> tenho. Nem na música, nem na matemática. Posso até brincar um pouco com as
> duas, mas preciso de cifras, partitura, de regras de teoria musical para me
> ajudar a tocar. Não tenho sensibilidade musical para tirar de ouvido ou
> propor do zero uma harmonia, tanto quanto não tenho sensibilidade
> matemática para perceber entender e intuir o tabuleiro sem as regras, para
> “fazer uma prova do livro”. Preciso consultar as regras para conseguir
> brincar.
>
>
> Mas do mesmo jeito que músicos de tradições musicais diferentes
> harmonizariam “de ouvido” diferentemente uma mesma melodia, matemáticos
> imersos em tabuleiros diferentes poderiam intuir diferentemente sobre
> alguma questão matemática, tal como qual é a cardinalidade do contínuo.
>
>
> A diferença é que diferentes tradições musicais podem conviver bem (embora
> não harmonicamente, com perdão do trocadilho), já diferentes matemáticas
> não convivem tão bem assim. É mais fácil ser eclético (pluralista) em
> música do que em matemática.
>
>
> Mas por que, por exemplo, aceitamos o axioma do infinito em ZFC? Bem,
> porque concebemos o infinito e o infinito é independente dos demais axiomas.
>
>
> É legal brincar com o infinito, conseguimos fazer isso, concebemos
> estruturas infinitas interessantes, belas, promissoras, cheias de relações
> e aplicáveis. Por que, então, proibi-lo? Eu “não sei harmonizar o infinito
> de ouvido”, mas eu consigo “ouvir, achar belas e até tocar harmonias para o
> infinito”, se estiverem em uma partitura ou cifras. Então, mesmo de modo
> grosseiro, desconfiando, tendo dificuldade com ele, eu aceito o infinito no
> jogo da matemática.
>
>
> Por outro lado, um matemático harmoniza o infinito de ouvido, já o incluiu
> em suas intuições e considera que qualquer tabuleiro que se preze deve ser
> infinito. É por isso que o infinito é um axioma de ZFC.
>
>
> Quem não curte muito o infinito pode até protestar e criar versões
> alternativas de ZFC incompatíveis com as usuais, com tabuleirinhos finitos,
> minúsculos, e estranhos, pensam os demais matemáticos.
>
>
> Mas, no fundo, no fundo, para mim, tanto o axioma do infinito, quanto o
> axioma da escolha são ESCOLHAS já feitas. A hipótese do contínuo, ou
> melhor, a negação da hipótese do contínuo, pode também, aliás, deve, ser
> ESCOLHIDA.
>
>
> Se você, Samuel, pensasse que ZFC são as regras e não o tabuleiro, seria
> muito mais fácil defender essa liberdade de escolha axiomática. É assim que
> eu penso. Mas eu não sou um matemático e o que penso vale muito pouco
> aqui. O que importa é que mesmo quem pensa como você, como os matemáticos
> em geral pensam, pode com algum esforço concordar que a hipótese do
> contínuo é uma questão de escolha, e que ela pode ser feita.
>
>
> Qual desses tabuleiros aí é o mais legal, é aquele com o qual vale a pena
> a gente brincar? Escolham ele e peguem o axioma compatível com ele.
>
>
> Desculpem a verborragia e as muitas “barbaridades” que certamente eu disse
> aqui.
>
>
> Mais uma vez parabéns Marcos e Samuel pela conversa.
>
> Grande abraço,
>
> Daniel.
>
> Em segunda-feira, 3 de julho de 2023 às 10:28:37 UTC-3, Marcos Silva
> escreveu:
>
>> É hoje! :-)
>>
>> Convidamos todas e todos para o nosso bate papo segunda-feira, 03 de
>>> julho. Conversaremos com Samuel Gomes da Silva (UFBA) sobre infinito,
>>> números e provas, como se um matemático e um filósofo tivessem entrado em
>>> um bar.
>>
>>
>>
>>> O que te levou pra matemática? E pra a lógica? Por que o infinito é tão
>>> fascinante? Existem infinitos de tamanhos diferentes? Como a gente pode
>>> saber isto? Onde estão os infinitos? Na nossa cabeça? Na realidade? Em
>>> computadores? Quais são alguns paradoxos e coisas contraintuitivas da
>>> aritmética transfinita? Quais são os limites pra demonstrações
>>> matemáticas? Voce de fato tem máxima certeza e segurança na verdade de um
>>> teorema? Ou pensa ás vezes, será que isto é verdade mesmo? Você usa
>>> intuições e afetos pra suas provas matemáticas? O que é a hipótese do
>>> contínuo? Ela pode ser provada? Por que não? E se a gente tiver um super
>>> computador? É só uma questão de tempo ou não da mesmo? O matemático é
>>> um criador ou um descobridor? Como a matemática pode ser tão útil pra
>>> ciência e pra previsões sobre a realidade?
>>
>>
>>
>> https://www.youtube.com/watch?v=fHihPJqhsfA
>>
>>
>> https://www.instagram.com/p/CuDIdM1pSyN/?utm_source=ig_web_copy_link&igshid=MzRlODBiNWFlZA==
>>
>> --
>> Marcos Silva (UFPE/CNPq)
>> Philosophy Department
>> Federal University of Pernambuco, Brazil
>> President of the Brazilian Society for Analytical Philosophy (SBFA
>> <https://sites.google.com/view/sbfa-sbpha/in%C3%ADcio?authuser=0>)
>> Director of Graduate Studies (PPGFIL/UFPE
>> <https://www.ufpe.br/ppgfilosofia/>)
>> Editor-in-chief Revista Perspectiva Filosófica
>> <https://periodicos.ufpe.br/revistas/perspectivafilosofica>
>> https://sites.google.com/view/marcossilvaphilosophy
>> "amar e mudar as coisas me interessa mais"
>>
>
--
LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica
<logica-l@dimap.ufrn.br>
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Grupos do Google.
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Para ver esta discussão na web, acesse
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