Ola Frederico,

Nao sei se e exatamente isso que voce quer, mas, vamos la.

Voce so precisa considerar numeros primos. Quanto ao maior primo a ser considerado, depende unicamente da quantidade de inteiros envolvidos. Vou falar sobre isso mais embaixo.

Eu estou sem tempo e vou apenas abordar uns casos particulares, por analogia de forma e de raciocinio voce completa o resto, falou ?

Sejam N1, N2, ..., Np os P inteiros. Suponhamos que Ni < Nj se i < J. O produto sera PROD=produtoria de (Nj-Ni), para todos (i,J) com j > i.

Vamos agora considerar o fator primo 2.

FATOR PRIMO 2. ( Vou fazer este detalhado, pra servir de modelo )

Claramente que cada Ni so pode ser congruo a 0 ou a 1 modulo 2, isto e, Ni==0(mod 2) ou Ni==1(mod2). Sejam A={x/x==0(mod2)} e B={x/x==1(mod2)}.E claro que A e B sao conjuntos disjuntos e que qualquer diferenca entre dois quaisquer dos inteiros N1, N2, ...,Np sera :

1) Uma diferenca entre dois elementos de A
2) Uma diferenca entre dois elementos de B
3) Uma diferenca entre um elemento de A e outro de B

Nos dois primeiros casos a diferenca sera divisivel por 2, no terceiro nao sera. Seja portanto Y o numero de elementos de A, o numero de elementos de B sera W. Claramente que Y+W=P.
Sendo assim o total de diferencas entre elementos de A sera BINOM(Y,2) e entre elementos de B sera BINOM(W,2). Cada uma destas diferencas sera multiplo de 2, com certeza, sendo portanto a quantidade minima de fatores 2, isto e :

S = BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)

E o total de "fatores 2" que aparecem. Para nao ficarmos na dependencia dos inteiros escolhidos, tomamos o minimo de S, isto e :

EXP(2)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2), Y+W=P }

EXP(2) e portanto o EXPOENTE do FATOR PRIMO 2 que sempre dividira o produto para quaisquer P inteiros escolhidos, dois a dois dintintos.

Veja que estou deixando pra voce a determinacao do minimo, que a parte mais simples da questao. Para o fator primo 3 voce vai proceder de forma analoga.

FATOR PRIMO 3

Para qualquer dos Ni, Ni==0(mod3) ou Ni==1(mod3) ou Ni==2(mod3). Sejam A={x/x==0(mod3), B=={x/x==1(mod3) e C=={x/x==2(mod3) e Y, W e V o numero de elmentos de cada um destes respectivos conjuntos. entao :

EXP(3)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)+ BINOM(V,2), Y+W+V=P }

E, como no caso anterior, EXP(3) e o expoente do FATOR PRIMO 3 do numero que dividira o produto para quaisquer P numeros inteiros escolhidos, dois a dois distintos.

Para os outros fatores primos proceda de forma semelhante.

Bom, aqui deve ter ficado claro pra voce que o maior numero natural que dividira o produto P independente da escolha dos Ni, desde que sejam inteiros distintos, sera :

D=(2^EXP(2))*(3^EXP(3))*...*(Pu^EXP(P)), *=SINAL DE MULTIPLICACAO

Precisamos saber quem e "Pu", o ultimo numero primo a ser considerado.
Para ver como descobrir isso, considere que cada numero primo Q implica em calcular o minimo de uma soma da forma :

S=BINOM(V1,2)+BINOM(V2,2)+...+BINOM(Vq,2) com "q" parcelas e
com V1+V2+...+Vq=P, P=quantidade de inteiros dois a dois distintos.

Se esse minimo puder ser zero, entao o fator primo Q nao precisara, necessariamente, aparecer na decomposicao de D, o maior natural que sempre dividira PROD independe de quais P inteiros forem escolhidos, desde que dois a dois distintos.

Claramente que este primo Q sera O MAIOR PRIMO MENOR que P.

Se Q for maior ou igual a P entao podemos IMAGINAR uma solucao de V1+V2+...+Vq=P na qual cada parcela seja 1 ou ZERO, o que implica num minimo nulo, pois todos os BINOM(Vi,2) serao nulos, isto e, expoente sera zero e, portanto, o fator primo nao ira aparecer.

CONVENCOES :

BINOM(N,P)=N!/[P!*(N-P)!] se N >= P. Se N < P entao BINOM(N,P)=0.

V1+V2+...+Vq=P, Equacao de "q" variaveis cada uma delas um inteiro nao-negativo. Vr corresponde a quantidade de Ni's que deixam resto "r" quando divididos pelo primo Q.

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1638,051202


From: "fredericogomes" <[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED]
Date: Thu,  5 Dec 2002 11:14:39 -0200

(1,1,1) ?

  Um Abraço, Fred.


__________________________________________________________________________
Venha para a VilaBOL!
O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis!
http://vila.bol.com.br

_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=========================================================================

Responder a