colegas desta lista ... OBM-L,
O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem agora o problema :
Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e
p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do enunciado de um idioma para outro ...
Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias, me lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua estulticia, para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
Um abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1812,211202
From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:
Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x) = x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata).
Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens anteriores, pois ele estah errado.
Morgado
Eder wrote:
Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 has no real roots.
----- Original Message -----
From: A. C. Morgado <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote:
Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
função não tem raiz real a primeira também não tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ;
f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
=4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
=> 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) =
6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
-24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
=0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
{-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
+b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =>
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em: x= -b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
+c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
definido f(x) também tem, e se g(x)
tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
-b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
-4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0
Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0,
logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0
=> 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 .
Absurdo !
Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, provamos
que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a)
é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0
Absurdo !
Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela
seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua
implica na primeira.
Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso
implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real
CQD.
Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0.
OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele
estava com a resposta pela metade.
André T.
----- Original Message -----
From: Eder <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b²
> = 2.
2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real,
prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.
Grato pela ajuda.
Eder
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