On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Oi, Nicolau: > > Uma retificação: quando eu disse que não adianta visualizar um hipercubo no > R^4 eu estava me referindo apenas à minha pessoa.
Claro, eu entendi assim mesmo. Só achei que valia a pena mandar a mensagem para dar, digamos, outro ponto de vista. > Geometria pra mim sempre > foi um inferno e admito publicamente minha admiração (e também uma certa > inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas construções auxiliares mágicas. > > Não tenho dúvida de que haja gente por aí que entende perfeitamente 4 ou > mais dimensões (senão não existiriam muitos topologistas, não é mesmo?) Curiosidade. Antoine, um topólogo conhecido pelo "colar de Antoine", um conjunto de Cantor em R^3 com complemento não simplesmente conexo, era cego. > A seção do cubo pendurado é um hexágono regular, certo? Certo. > A minha pergunta é > justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito de > "pendurado" em R^4 é meio problemático pra mim) . Acho que um bom começo pra > começar a pensar neste problema é aquele seu artigo sobre as coordenadas dos > vértices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posição "padrão" do > poliedro é a mais conveniente. Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras a várias dimensões geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail, é outra história... Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a distância 4 da origem formam um belo sólido regular, chamado por Schläfli de {3,4,3}. Os vértices são (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0), (0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). Há três hipercubos entrelaçados ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 vértices): um deles é (+-1, +-1, +-1, +-1) e não nos serve. Os outros dois são formados pelos oito primeiros vértices (aliás os vértices de um hiperoctaedro) e metade destes 16, num os vértices onde o produto das coordenadas é 1, outro onde o produto das coordenadas é -1. Em qualquer um desses dois é bem claro qual a interseção com um dos quatro subespaços de dimensão 3 dados pelos eixos, não? É um octaedro regular. Um outro conjunto de vértices para o {3,4,3} é o conjunto dos vetores de Z^4 de módulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0 e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Você pode encontrar três hipercubos entrelaçados lá dentro. Um politopo é o análogo a um poliedro em dimensão qq. Um politopo é regular se todas as faces são regulares e se há simetrias levando qq face em qq face e qq vértice em qq vértice. Só há 6 politopos regulares em dimensão 4 e 3 em dimensão n, n > 4. Assim os politopos regulares mais legais moram em dimensão 4: além do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3} (que tem 120 faces dodecaédricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces tetraédricas). O dual de um politopo regular é o fecho convexo dos centros das suas faces. Assim, o dual do cubo é o octaedro e o dual do dodecaedro é o icosaedro. O {3,4,3} é, além dos polígones regulares e dos hipertetraedro em qualquer dimensão, o único politopo regular autodual. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================