Oi, Nicolau: Obrigado pela solucao e pela digressao.
A que eu conhecia usa uma base ortogonal do R^4 composta por vetores contidos em 4 das diagonais do hipercubo de aresta 2a: | x_i | <= a (i=1,2,3,4): (1,1,1,1); (1,1,-1,-1); (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1) Com relacao a esta base, as coordenadas dos pontos do hipercubo satisfazem o seguinte sistema de desigualdades: -a <= y_1 + y_2 + y_3 + y_4 <= a -a <= y_1 + y_2 - y_3 - y_4 <= a -a <= y_1 - y_2 + y_3 - y_4 <= a -a <= y_1 - y_2 - y_3 + y_4 <= a Nesta base, a equacao do hiperplano eh y_1 = 0. Logo, o solido da intersecao estah localizado no espaco gerado por (1,1,-1,-1), (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1) e as coordenadas dos seus pontos satisfazem a: -a <= y_2 + y_3 + y_4 <= a -a <= y_2 - y_3 - y_4 <= a -a <= - y_2 + y_3 - y_4 <= a -a <= - y_2 - y_3 + y_4 <= a Isso define uma bola fechada centrada na origem e de raio = a (usando a norma da soma), ou seja, um octaedro regular. Um abraco, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, June 06, 2003 5:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recomendação de Filme e Hipercubo > On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > > Oi, Nicolau: > > > > Uma retificação: quando eu disse que não adianta visualizar um hipercubo no > > R^4 eu estava me referindo apenas à minha pessoa. > > Claro, eu entendi assim mesmo. Só achei que valia a pena mandar a mensagem > para dar, digamos, outro ponto de vista. > > > Geometria pra mim sempre > > foi um inferno e admito publicamente minha admiração (e também uma certa > > inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas construções auxiliares mágicas. > > > > Não tenho dúvida de que haja gente por aí que entende perfeitamente 4 ou > > mais dimensões (senão não existiriam muitos topologistas, não é mesmo?) > > Curiosidade. Antoine, um topólogo conhecido pelo "colar de Antoine", > um conjunto de Cantor em R^3 com complemento não simplesmente conexo, > era cego. > > > A seção do cubo pendurado é um hexágono regular, certo? > > Certo. > > > A minha pergunta é > > justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito de > > "pendurado" em R^4 é meio problemático pra mim) . Acho que um bom começo pra > > começar a pensar neste problema é aquele seu artigo sobre as coordenadas dos > > vértices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posição "padrão" do > > poliedro é a mais conveniente. > > Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras > a várias dimensões geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail, > é outra história... > > Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a distância 4 da origem > formam um belo sólido regular, chamado por Schläfli de {3,4,3}. > Os vértices são (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0), > (0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). Há três hipercubos entrelaçados > ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 vértices): um deles é > (+-1, +-1, +-1, +-1) e não nos serve. Os outros dois são formados > pelos oito primeiros vértices (aliás os vértices de um hiperoctaedro) > e metade destes 16, num os vértices onde o produto das coordenadas é 1, > outro onde o produto das coordenadas é -1. Em qualquer um desses dois > é bem claro qual a interseção com um dos quatro subespaços de dimensão 3 > dados pelos eixos, não? É um octaedro regular. > > Um outro conjunto de vértices para o {3,4,3} é o conjunto dos vetores > de Z^4 de módulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0 > e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Você pode encontrar > três hipercubos entrelaçados lá dentro. > > Um politopo é o análogo a um poliedro em dimensão qq. > Um politopo é regular se todas as faces são regulares > e se há simetrias levando qq face em qq face e qq vértice em qq vértice. > Só há 6 politopos regulares em dimensão 4 e 3 em dimensão n, n > 4. > Assim os politopos regulares mais legais moram em dimensão 4: > além do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3} > (que tem 120 faces dodecaédricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces tetraédricas). > > O dual de um politopo regular é o fecho convexo dos centros das suas faces. > Assim, o dual do cubo é o octaedro e o dual do dodecaedro é o icosaedro. > O {3,4,3} é, além dos polígones regulares e dos hipertetraedro > em qualquer dimensão, o único politopo regular autodual. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================