on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente > G/G' e abeliano. > Caro Paulo:
Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de uma olhada nas minhas duvidas mais abaixo. Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a a*b*a^(-1)*b^(-1). No caso, precisamos provar 2 coisas: 1) G' eh um subgrupo normal de G; 2) G/G' eh abeliano. 1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1) abaixo). Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos: g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) = (g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)). Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica: x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y pertencem a G. Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G. ----- 2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao: a*G' * b*G' = a*b*G' = a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' = a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' = (a*a^(-1))*b*a*G' = b*a*G' = b*G' * a*G' ==> G/G' eh abeliano. *** Ainda tenho duas duvidas: 1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao conseguim provar. 2) Pra que servem os comutadores? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================