on 14.05.05 08:43, Ronaldo Luiz Alonso at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Olá... como vão.. >> >> Primeiramente obrigado pelas respostas relacionadas as questões anterires >> sobre cosseno. >> >> Estou com duas curiosidades. ( por gentileza, se puderem me respondam!) >> 1)Se um número não é raiz de nenhum polinomio esse número é chamado de >> transcedente.( está correto?) Então como eu provo que um número é ou não é > > Até onde eu sei está. > Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a. Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
>> trancedente a partir deste raciocinio, ou de outro? ( não consegui > enguergar >> nenhuma saida!) > > Lioville provou que pi era um número transcendente mostrando que *se* > ele era raiz > de um polinômio, esse polinômio tinha que ter grau *infinito*. Para ver a > prova de Lioville > consulte um bom livro de álgebra. > Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram senos, cossenos, derivadas e integrais. >> >> 2)Gauss afirmou que um polinomio de grau n possue n raízes!De onde esse > cara >> tirou isso??????? > > Dah uma olhada no livo de Alcides Lins Neto do IMPA - Análise > Complexa. > Nas primeiras 10 páginas você irá entender o que são as n raízes de um > número complexo: > São vértices de um polígono regular com n lados inscrito na > circunferência cujo raio > é a raiz do módulo do número complexo no plano complexo. > Simplificadamente isso ocorre porque todo número complexo z pode > ser escrito > como z = |z| e^{i t) = |z|(cos p + i sen p) ==> > z^{1/n} = |z|^{1/n} (cos p + i sen p)^{1/n} ==> > z^{1/n} = |z|^{1/n} (cos ( p+2k*pi)/n + i sen ( p+k*pi)/n ) > > veja que cos (p + 2*k*pi) = cos p, para todo k \in Z > e por isso ao dividir por n temo cos(p) por n devemos na realidade > dividir > cos (p+2*k*pi) por n. > Para ver isso note que cos p + i sen p = e^{ip} tem módulo 1 > e que (simplificadamente) > e^{ip/n} = cos (p/n) + i sen (p/n). Agora voltando à linha > de cima... > > []s Ronaldo L. Alonso > > O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser repetidas). []s, Claudio. >> Perguntei aos meus professores e eles disseram que éssa foi a tese de >> doutorado dele, logo é muito complexa para entender. Mas mesmo assim > queria >> pelo menos uma "luz" de onde ele comessou essa tese.!!!!!!! >> >> Mútissimo obrigado. >> >> Filipe Louly Quinan Junqueira >> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================