---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT) Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >Ola Claudio. > De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra > exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que > T(0)=0. Pode-se sim. Suponha que T(0) = a <> 0. Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha comprimento inferior a 2 - eps. (Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai depender da norma usada. Por exemplo, com a norma euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.) Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|). Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2. T(b), a e T(-b) estao em linha reta. Mas: |T(b) - a| + |a - T(-b)| = |T(b) - T(-b)| = |b - (-b)| = 2|b| = 2 - eps ==> contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos que isso. Logo, nao podemos ter a <> 0. *** O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e |b_n| = 1 - 1/(2n), T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o contradominio tambem eh B. Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma realizacao concreta do seu contra-exemplo seria: T(x,y) = (x,y+1/2). Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2), cuja norma seria: raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >= 4. *** > Abaixo segue a demostração que T(0)=0. > > Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n } > Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito > e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil > mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então > A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 . > De fato, mais sofisticada do que a minha... []s, Claudio. > > Oi, Rivaldo: > > > > Voce admite que se T eh isometria, entao: > > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)? > > > > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao: > > Seja T(0) = a. > > Seja b um ponto qualquer de B. > > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. > > Entao: > > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) > > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**) > > > > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> > > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica > > que: > > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. > > > > O que isso significa pro seu contra-exemplo? > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > > > Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no > > R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos > > temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) > >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente > > o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. > > > > Abs. > > > > Rivaldo > > > > > > ---------- Cabeçalho original ----------- > >> > >> De: [EMAIL PROTECTED] > >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >> Cópia: > >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT) > >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >> > >>> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) > >>> dai > >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) > >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um > >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. > >>> > >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence > >> a > >> B. > >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a > >> (0,0), > >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2). > >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede > >> raiz(3). > >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3). > >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B. > >> > >> []s, > >> Claudio. > >> > >>> Abs. > >>> > >>> > >>> Rivaldo. > >>> > >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) > >>> nem > >>> > precisa ter um limite. > >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1. > >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo: > >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter > >>> a > >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2. > >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > > >>> raiz(1 > >>> > - |a|^2). > >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2). > >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a > >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior > >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente > >>> > inferior a a. > >>> > > >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==> > >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==> > >>> > T eh uniformemente continua ==> > >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante > >>> seja > >>> > uniformemente continua em fecho(B). > >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em > >>> fecho(B). > >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha. > >>> > > >>> > []s, > >>> > Claudio. > >>> > > >>> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >>> > > >>> > De: [EMAIL PROTECTED] > >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >>> > Cópia: > >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT) > >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >>> > > >>> >> > > >>> >> > >>> >> Ola Claudio. > >>> >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto > >>> >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos > >>> uma > >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da > >>> sequencia > >>> >> ainda esta em B. > >>> >> > >>> >> Abs. > >>> >> > >>> >> Rivaldo. > >>> >> > >>> >> > >>> >> Tem razao. Mancada minha... > >>> >> > > >>> >> > O problema eh provar que: > >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0, > >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} > >>> >> > > >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa: > >>> >> > > >>> >> > Seja T(0) = a. > >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B. > >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. > >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B. > >>> >> > Entao: > >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) > >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**) > >>> >> > Alem disso, > >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> > >>> >> > igualdade na desigualdade triangular, > >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que: > >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. > >>> >> > > >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - > >>> 1/(2n). > >>> >> > Nesse caso: > >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==> > >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n > >>> contido > >>> >> em B. > >>> >> > > >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2. > >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de > >>> >> comprimento > >>> >> > 2 eh a origem. > >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao > >>> poderah > >>> >> ser o > >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n. > >>> >> > Conclusao: a = 0. > >>> >> > > >>> >> > Acho que agora foi... > >>> >> > > >>> >> > []s, > >>> >> > Claudio. > >>> >> > > >>> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >>> >> > > >>> >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >>> >> > Cópia: > >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT) > >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >>> >> > > >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >>> >> >> > > >>> >> >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >>> >> >> > Cópia: > >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT) > >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria > >>> >> >> > > >>> >> >> >> >Ola Claudio. > >>> >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita > >>> >> precisariamos > >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, > >>> a, > >>> >> >> -b > >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato. > >>> >> >> > >>> >> >> Abs. > >>> >> >> >> > >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria. > >>> >> >> >> Provar que T(0)=0. > >>> >> >> >> > >>> >> >> > > >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos > >>> em > >>> >> >> relacao > >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao > >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a). > >>> >> >> > > >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade > >>> triangular > >>> >> >> estrita: > >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| = > >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| = > >>> >> >> > 2|b| = > >>> >> >> > |2b| = > >>> >> >> > |b - (-b)| = > >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao. > >>> >> >> > > >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0. > >>> >> >> > > >>> >> >> > []s, > >>> >> >> > Claudio. > >>> >> >> > > >>> >> >> > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================