Como eu disse, T(x,y) = (x,y+1/2) eh apenas uma realizacao, ou seja, apenas um
exemplo de isometria que se encaixa no seu
contra-exemplo.
A minha demonstracao de fato prova que QUALQUER QUE SEJA A ISOMETRIA T: B(0,1)
-> R^n,
se T(0) <> 0, entao existe r < 1 tal que:
para todo b em B(0,1) com r < |b| < 1, as extremidades do segmento que liga
T(b) e T(-b) (e tem necessariamente T(0) como
ponto medio) nao pertencem a B(0,1).
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> > Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
> T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-----B,
> Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
> funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
> B sem tomar um exemplo particular.
>
> Abs.
>
>
> Rivaldo.
>
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
> >
> > De: [EMAIL PROTECTED]
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cópia:
> > Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >
> >> >Ola Claudio.
> >> De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
> >> exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
> >> T(0)=0.
> >
> > Pode-se sim.
> >
> > Suponha que T(0) = a <> 0.
> > Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
> > comprimento inferior a 2 - eps.
> >
> > (Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
> > depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
> > euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
> > e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
> > diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois
> > raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.)
> >
> > Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
> > Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
> >
> > T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
> > Mas:
> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> > |T(b) - T(-b)| =
> > |b - (-b)| =
> > 2|b| =
> > 2 - eps ==>
> > contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
> > que isso.
> >
> > Logo, nao podemos ter a <> 0.
> >
> > ***
> >
> > O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
> > |b_n| = 1 - 1/(2n),
> > T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
> > contradominio tambem eh B.
> > Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma realizacao
> > concreta do seu contra-exemplo seria:
> > T(x,y) = (x,y+1/2).
> > Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
> > cuja norma seria:
> > raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >= 4.
> >
> > ***
> >
> >> Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
> >>
> >> Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n }
> >> Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
> >> e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
> >> mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
> >> A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
> >>
> >
> > De fato, mais sofisticada do que a minha...
> >
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >>
> >> Oi, Rivaldo:
> >> >
> >> > Voce admite que se T eh isometria, entao:
> >> > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
> >> >
> >> > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
> >> > Seja T(0) = a.
> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> >> > Entao:
> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
> >> > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
> >> >
> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
> >> ==>
> >> > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
> >> implica
> >> > que:
> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
> >> >
> >> > O que isso significa pro seu contra-exemplo?
> >> >
> >> > []s,
> >> > Claudio.
> >> >
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
> >> no
> >> > R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
> >> > temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
> >> necessariamente
> >> > o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
> >> >
> >> > Abs.
> >> >
> >> > Rivaldo
> >> >
> >> >
> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >>
> >> >> De: [EMAIL PROTECTED]
> >> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >> Cópia:
> >> >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
> >> >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >> >>
> >> >>> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
> >> 1/(2n),0)
> >> >>> dai
> >> >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
> >> um
> >> >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
> >> >>>
> >> >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
> >> pertence
> >> >> a
> >> >> B.
> >> >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
> >> a
> >> >> (0,0),
> >> >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
> >> >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
> >> >> raiz(3).
> >> >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
> >> >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a
> >> B.
> >> >>
> >> >> []s,
> >> >> Claudio.
> >> >>
> >> >>> Abs.
> >> >>>
> >> >>>
> >> >>> Rivaldo.
> >> >>>
> >> >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
> >> >>> nem
> >> >>> > precisa ter um limite.
> >> >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
> >> >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
> >> >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode
> >> ter
> >> >>> a
> >> >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
> >> >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 >
> >> >>> raiz(1
> >> >>> > - |a|^2).
> >> >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
> >> >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
> >> seja a
> >> >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
> >> >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
> >> >>> > inferior a a.
> >> >>> >
> >> >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
> >> >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
> >> >>> > T eh uniformemente continua ==>
> >> >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao
> >> resultante
> >> >>> seja
> >> >>> > uniformemente continua em fecho(B).
> >> >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
> >> >>> fecho(B).
> >> >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|)
> >> tenha.
> >> >>> >
> >> >>> > []s,
> >> >>> > Claudio.
> >> >>> >
> >> >>> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >>> >
> >> >>> > De: [EMAIL PROTECTED]
> >> >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >>> > Cópia:
> >> >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
> >> >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >> >>> >
> >> >>> >> >
> >> >>> >>
> >> >>> >> Ola Claudio.
> >> >>> >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
> >> >>> >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se
> >> tomarmos
> >> >>> uma
> >> >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
> >> >>> sequencia
> >> >>> >> ainda esta em B.
> >> >>> >>
> >> >>> >> Abs.
> >> >>> >>
> >> >>> >> Rivaldo.
> >> >>> >>
> >> >>> >>
> >> >>> >> Tem razao. Mancada minha...
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > O problema eh provar que:
> >> >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
> >> >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > Seja T(0) = a.
> >> >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
> >> >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> >> >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
> >> >>> >> > Entao:
> >> >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
> >> >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
> >> >>> >> > Alem disso,
> >> >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >> >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> >> >>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
> >> >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
> >> >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
> >> >>> 1/(2n).
> >> >>> >> > Nesse caso:
> >> >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
> >> >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
> >> >>> contido
> >> >>> >> em B.
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
> >> >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
> >> >>> >> comprimento
> >> >>> >> > 2 eh a origem.
> >> >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
> >> >>> poderah
> >> >>> >> ser o
> >> >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
> >> >>> >> > Conclusao: a = 0.
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > Acho que agora foi...
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > []s,
> >> >>> >> > Claudio.
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >>> >> >
> >> >>> >> > De: [EMAIL PROTECTED]
> >> >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >>> >> > Cópia:
> >> >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
> >> >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >> >>> >> >
> >> >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> > De: [EMAIL PROTECTED]
> >> >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >>> >> >> > Cópia:
> >> >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
> >> >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> >> >Ola Claudio.
> >> >>> >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
> >> >>> >> precisariamos
> >> >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter
> >> b,
> >> >>> a,
> >> >>> >> >> -b
> >> >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
> >> >>> >> >>
> >> >>> >> >> Abs.
> >> >>> >> >> >>
> >> >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma
> >> isometria.
> >> >>> >> >> >> Provar que T(0)=0.
> >> >>> >> >> >>
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b,
> >> simetricos
> >> >>> em
> >> >>> >> >> relacao
> >> >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
> >> >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade
> >> >>> triangular
> >> >>> >> >> estrita:
> >> >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >> >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
> >> >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
> >> >>> >> >> > 2|b| =
> >> >>> >> >> > |2b| =
> >> >>> >> >> > |b - (-b)| =
> >> >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> > []s,
> >> >>> >> >> > Claudio.
> >> >>> >> >> >
> >> >>> >> >> >
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > =========================================================================
> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> > =========================================================================
> >> >
> >>
> >>
> >> =========================================================================
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> =========================================================================
> >>
> >>
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> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> >
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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