> Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-----B, Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de B sem tomar um exemplo particular.
Abs. Rivaldo. ---------- Cabeçalho original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT) > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >> >Ola Claudio. >> De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra >> exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que >> T(0)=0. > > Pode-se sim. > > Suponha que T(0) = a <> 0. > Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha > comprimento inferior a 2 - eps. > > (Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai > depender da norma usada. Por exemplo, com a norma > euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a > e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse > diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois > raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.) > > Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|). > Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2. > > T(b), a e T(-b) estao em linha reta. > Mas: > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > |T(b) - T(-b)| = > |b - (-b)| = > 2|b| = > 2 - eps ==> > contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos > que isso. > > Logo, nao podemos ter a <> 0. > > *** > > O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e > |b_n| = 1 - 1/(2n), > T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o > contradominio tambem eh B. > Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma realizacao > concreta do seu contra-exemplo seria: > T(x,y) = (x,y+1/2). > Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2), > cuja norma seria: > raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >= 4. > > *** > >> Abaixo segue a demostração que T(0)=0. >> >> Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n } >> Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito >> e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil >> mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então >> A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 . >> > > De fato, mais sofisticada do que a minha... > > > []s, > Claudio. > >> >> Oi, Rivaldo: >> > >> > Voce admite que se T eh isometria, entao: >> > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)? >> > >> > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao: >> > Seja T(0) = a. >> > Seja b um ponto qualquer de B. >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. >> > Entao: >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) >> > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**) >> > >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| >> ==> >> > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) >> implica >> > que: >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. >> > >> > O que isso significa pro seu contra-exemplo? >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > >> > >> > Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, >> no >> > R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos >> > temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh >> necessariamente >> > o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. >> > >> > Abs. >> > >> > Rivaldo >> > >> > >> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> >> >> >> De: [EMAIL PROTECTED] >> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Cópia: >> >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT) >> >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria >> >> >> >>> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - >> 1/(2n),0) >> >>> dai >> >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de >> um >> >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. >> >>> >> >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao >> pertence >> >> a >> >> B. >> >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao >> a >> >> (0,0), >> >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2). >> >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede >> >> raiz(3). >> >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3). >> >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a >> B. >> >> >> >> []s, >> >> Claudio. >> >> >> >>> Abs. >> >>> >> >>> >> >>> Rivaldo. >> >>> >> >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) >> >>> nem >> >>> > precisa ter um limite. >> >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1. >> >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo: >> >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode >> ter >> >>> a >> >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2. >> >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > >> >>> raiz(1 >> >>> > - |a|^2). >> >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2). >> >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que >> seja a >> >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior >> >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente >> >>> > inferior a a. >> >>> > >> >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==> >> >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==> >> >>> > T eh uniformemente continua ==> >> >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao >> resultante >> >>> seja >> >>> > uniformemente continua em fecho(B). >> >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em >> >>> fecho(B). >> >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) >> tenha. >> >>> > >> >>> > []s, >> >>> > Claudio. >> >>> > >> >>> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> >>> > >> >>> > De: [EMAIL PROTECTED] >> >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >>> > Cópia: >> >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT) >> >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria >> >>> > >> >>> >> > >> >>> >> >> >>> >> Ola Claudio. >> >>> >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto >> >>> >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se >> tomarmos >> >>> uma >> >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da >> >>> sequencia >> >>> >> ainda esta em B. >> >>> >> >> >>> >> Abs. >> >>> >> >> >>> >> Rivaldo. >> >>> >> >> >>> >> >> >>> >> Tem razao. Mancada minha... >> >>> >> > >> >>> >> > O problema eh provar que: >> >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0, >> >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} >> >>> >> > >> >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa: >> >>> >> > >> >>> >> > Seja T(0) = a. >> >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B. >> >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. >> >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B. >> >>> >> > Entao: >> >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) >> >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**) >> >>> >> > Alem disso, >> >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = >> >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> >> >>> >> > igualdade na desigualdade triangular, >> >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que: >> >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. >> >>> >> > >> >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - >> >>> 1/(2n). >> >>> >> > Nesse caso: >> >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==> >> >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n >> >>> contido >> >>> >> em B. >> >>> >> > >> >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2. >> >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de >> >>> >> comprimento >> >>> >> > 2 eh a origem. >> >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao >> >>> poderah >> >>> >> ser o >> >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n. >> >>> >> > Conclusao: a = 0. >> >>> >> > >> >>> >> > Acho que agora foi... >> >>> >> > >> >>> >> > []s, >> >>> >> > Claudio. >> >>> >> > >> >>> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> >>> >> > >> >>> >> > De: [EMAIL PROTECTED] >> >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >>> >> > Cópia: >> >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT) >> >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria >> >>> >> > >> >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > De: [EMAIL PROTECTED] >> >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >>> >> >> > Cópia: >> >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT) >> >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria >> >>> >> >> > >> >>> >> >> >> >Ola Claudio. >> >>> >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita >> >>> >> precisariamos >> >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter >> b, >> >>> a, >> >>> >> >> -b >> >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato. >> >>> >> >> >> >>> >> >> Abs. >> >>> >> >> >> >> >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma >> isometria. >> >>> >> >> >> Provar que T(0)=0. >> >>> >> >> >> >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, >> simetricos >> >>> em >> >>> >> >> relacao >> >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao >> >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a). >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade >> >>> triangular >> >>> >> >> estrita: >> >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = >> >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| = >> >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| = >> >>> >> >> > 2|b| = >> >>> >> >> > |2b| = >> >>> >> >> > |b - (-b)| = >> >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao. >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0. >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > []s, >> >>> >> >> > Claudio. >> >>> >> >> > >> >>> >> >> > >> > >> > >> > >> > ========================================================================= >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> > ========================================================================= >> > >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================