>
Mas não mostrou que T(b_n) vai cair fora de B.
Abs.
Rivaldo.
Como eu disse, T(x,y) = (x,y+1/2) eh apenas uma realizacao, ou seja,
> apenas um exemplo de isometria que se encaixa no seu
> contra-exemplo.
> A minha demonstracao de fato prova que QUALQUER QUE SEJA A ISOMETRIA T:
> B(0,1) -> R^n,
> se T(0) <> 0, entao existe r < 1 tal que:
> para todo b em B(0,1) com r < |b| < 1, as extremidades do segmento que
> liga T(b) e T(-b) (e tem necessariamente T(0) como
> ponto medio) nao pertencem a B(0,1).
>
> []s,
> Claudio.
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>
>> > Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
>> T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-----B,
>> Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo
>> não
>> funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora
>> de
>> B sem tomar um exemplo particular.
>>
>> Abs.
>>
>>
>> Rivaldo.
>>
>>
>> ---------- Cabeçalho original -----------
>> >
>> > De: [EMAIL PROTECTED]
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Cópia:
>> > Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >
>> >> >Ola Claudio.
>> >> De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
>> >> exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir
>> que
>> >> T(0)=0.
>> >
>> > Pode-se sim.
>> >
>> > Suponha que T(0) = a <> 0.
>> > Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio
>> tenha
>> > comprimento inferior a 2 - eps.
>> >
>> > (Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
>> > depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
>> > euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro
>> em a
>> > e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
>> > diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois
>> > raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.)
>> >
>> > Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
>> > Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
>> >
>> > T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
>> > Mas:
>> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> > |T(b) - T(-b)| =
>> > |b - (-b)| =
>> > 2|b| =
>> > 2 - eps ==>
>> > contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede
>> menos
>> > que isso.
>> >
>> > Logo, nao podemos ter a <> 0.
>> >
>> > ***
>> >
>> > O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
>> > |b_n| = 1 - 1/(2n),
>> > T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
>> > contradominio tambem eh B.
>> > Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma
>> realizacao
>> > concreta do seu contra-exemplo seria:
>> > T(x,y) = (x,y+1/2).
>> > Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) =
>> (1-1/(2n),1/2),
>> > cuja norma seria:
>> > raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >=
>> 4.
>> >
>> > ***
>> >
>> >> Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
>> >>
>> >> Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n }
>> >> Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
>> >> e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
>> >> mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
>> >> A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
>> >>
>> >
>> > De fato, mais sofisticada do que a minha...
>> >
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >>
>> >> Oi, Rivaldo:
>> >> >
>> >> > Voce admite que se T eh isometria, entao:
>> >> > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
>> >> >
>> >> > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
>> >> > Seja T(0) = a.
>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> >> > Entao:
>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
>> >> > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
>> >> >
>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) -
>> T(-b)|
>> >> ==>
>> >> > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
>> >> implica
>> >> > que:
>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >> >
>> >> > O que isso significa pro seu contra-exemplo?
>> >> >
>> >> > []s,
>> >> > Claudio.
>> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> > Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei
>> anteriormente,
>> >> no
>> >> > R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
>> >> > temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
>> >> necessariamente
>> >> > o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em
>> B.
>> >> >
>> >> > Abs.
>> >> >
>> >> > Rivaldo
>> >> >
>> >> >
>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >>
>> >> >> De: [EMAIL PROTECTED]
>> >> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >> Cópia:
>> >> >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
>> >> >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >> >>
>> >> >>> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
>> >> 1/(2n),0)
>> >> >>> dai
>> >> >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> >> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro
>> de
>> >> um
>> >> >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>> >> >>>
>> >> >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
>> >> pertence
>> >> >> a
>> >> >> B.
>> >> >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em
>> relacao
>> >> a
>> >> >> (0,0),
>> >> >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
>> >> >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio
>> mede
>> >> >> raiz(3).
>> >> >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 >
>> raiz(3).
>> >> >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence
>> a
>> >> B.
>> >> >>
>> >> >> []s,
>> >> >> Claudio.
>> >> >>
>> >> >>> Abs.
>> >> >>>
>> >> >>>
>> >> >>> Rivaldo.
>> >> >>>
>> >> >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato,
>> (b_n)
>> >> >>> nem
>> >> >>> > precisa ter um limite.
>> >> >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
>> >> >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
>> >> >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que
>> pode
>> >> ter
>> >> >>> a
>> >> >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
>> >> >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 -
>> |a|^2/2 >
>> >> >>> raiz(1
>> >> >>> > - |a|^2).
>> >> >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
>> >> >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
>> >> seja a
>> >> >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
>> >> >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento
>> estritamente
>> >> >>> > inferior a a.
>> >> >>> >
>> >> >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
>> >> >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
>> >> >>> > T eh uniformemente continua ==>
>> >> >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao
>> >> resultante
>> >> >>> seja
>> >> >>> > uniformemente continua em fecho(B).
>> >> >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
>> >> >>> fecho(B).
>> >> >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|)
>> >> tenha.
>> >> >>> >
>> >> >>> > []s,
>> >> >>> > Claudio.
>> >> >>> >
>> >> >>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >>> >
>> >> >>> > De: [EMAIL PROTECTED]
>> >> >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >>> > Cópia:
>> >> >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
>> >> >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >> >>> >
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >>
>> >> >>> >> Ola Claudio.
>> >> >>> >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
>> >> >>> >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se
>> >> tomarmos
>> >> >>> uma
>> >> >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
>> >> >>> sequencia
>> >> >>> >> ainda esta em B.
>> >> >>> >>
>> >> >>> >> Abs.
>> >> >>> >>
>> >> >>> >> Rivaldo.
>> >> >>> >>
>> >> >>> >>
>> >> >>> >> Tem razao. Mancada minha...
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > O problema eh provar que:
>> >> >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
>> >> >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > Seja T(0) = a.
>> >> >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> >> >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> >> >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
>> >> >>> >> > Entao:
>> >> >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
>> >> >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
>> >> >>> >> > Alem disso,
>> >> >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >> >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
>> >> >>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
>> >> >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
>> >> >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
>> >> >>> 1/(2n).
>> >> >>> >> > Nesse caso:
>> >> >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
>> >> >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
>> >> >>> contido
>> >> >>> >> em B.
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
>> >> >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento
>> de
>> >> >>> >> comprimento
>> >> >>> >> > 2 eh a origem.
>> >> >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
>> >> >>> poderah
>> >> >>> >> ser o
>> >> >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
>> >> >>> >> > Conclusao: a = 0.
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > Acho que agora foi...
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > []s,
>> >> >>> >> > Claudio.
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> > De: [EMAIL PROTECTED]
>> >> >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >>> >> > Cópia:
>> >> >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
>> >> >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >> >>> >> >
>> >> >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> > De: [EMAIL PROTECTED]
>> >> >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >>> >> >> > Cópia:
>> >> >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>> >> >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> >> >Ola Claudio.
>> >> >>> >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
>> >> >>> >> precisariamos
>> >> >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de
>> ter
>> >> b,
>> >> >>> a,
>> >> >>> >> >> -b
>> >> >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
>> >> >>> >> >>
>> >> >>> >> >> Abs.
>> >> >>> >> >> >>
>> >> >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma
>> >> isometria.
>> >> >>> >> >> >> Provar que T(0)=0.
>> >> >>> >> >> >>
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b,
>> >> simetricos
>> >> >>> em
>> >> >>> >> >> relacao
>> >> >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>> >> >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade
>> >> >>> triangular
>> >> >>> >> >> estrita:
>> >> >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >> >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>> >> >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>> >> >>> >> >> > 2|b| =
>> >> >>> >> >> > |2b| =
>> >> >>> >> >> > |b - (-b)| =
>> >> >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> > []s,
>> >> >>> >> >> > Claudio.
>> >> >>> >> >> >
>> >> >>> >> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> > =========================================================================
>> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >> > =========================================================================
>> >> >
>> >>
>> >>
>> >> =========================================================================
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >> =========================================================================
>> >>
>> >>
>> >
>> >
>> > =========================================================================
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > =========================================================================
>> >
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
>>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
