Suponhamos que x seja inteiro positivo. Temos que \sqrt{x^2 + 2x + 4}=
\sqrt((x+1)^2 + 2)e que \sqrt((x+1)^2) = x + 1 eh um numero inteiro. Para que
\sqrt{x^2 + 2x + 4) seja um inteiro maior que x + 1, devemos ter \sqrt{(^2 + 2x
+ 4) >= x + 2 => x^2 + 2x + 4 >= x^2 + 4x + 4 => 2x >= 4x, impossivel para x
>0. Assim, x + 2 eh o menor inteiro maior que \sqrt{x^2 + 2x + 4)) e esta raiz
nao eh inteira.
Por outro lado, \sqrt{4x^2 + 2x + 1) > \sqrt(4x^2) = 2x e \sqrt{4x^2 + 2x + 1)
< \sqrt(4x^2 + 4x + 2) = 2x +1.
Assim, \sqrt{4x^2 + 2x + 1) nao eh inetira e o maior numero inteiro menor que a
mesma eh 2x. Os inteiros compreendidos entre as duas raizes sao aqueles da PA
de razao 1 com termo inicial x + 2 e cujo termo final eh 2x. Existem asim 2x
-(x +2) + 1 = x -1 inteiros satisfazeno aa condicao desejada. No caso, 3^2005 -
1 inteiros.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Luís Lopes
Enviada em: terça-feira, 29 de maio de 2007 18:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] número de inteiros num intervalo
Sauda,c~oes,
Se x=3^{2005}, determine o número de inteiros
compreendidos entre \sqrt{x^2 + 2x + 4} e
\sqrt{4x^2 + 2x + 1}.
R.: 3^{2005} - 1.
[]'s
Luís
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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