Realmente não tinha observado dessa forma, com n^(1/n) sendo a inversa. Mas
não vejo pq a Im = (0,1] e não Im = (0,3].
Não entendi por que vc descartou todos os pontos acima de 1. Pois o domínio
da inversa é de (0,3^(1/3)], certo?
Se fizermos um estudo da função n^(1/n) para:
- n^(1/n) menor que (n+1)^(1/(n+1))
Elevando os membros da desigualdade a n*(n+1):
- n^(n+1) menor que (n+1)^n
Isolando n do lado esquerdo:
- n menor que (1+1/n)^n
Sabe-se que a expressão do lado direiro tende para e, portanto a função
n^(1/n) é crescente apenas até n=3. Nesse ponto obtemos a maior imagem possível
da função. (Tem essa demonstração no livro de Análise do Elon.)
Então foi assim que pensei.
Segundo esse raciocínio, a imagem 2 é possível mas a 4 não é.
Abraços,
Claudio Gustavo.
ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá Cláudio.
Essa expressão que você encontrou, n^(1/n) para a inversa
de f(n) só é válida para 0<n<=1, pelas considerações feitas
por mim e pelo Sallab.
Veja que não estamos mais analisando n real e não n natural,
pois já vimos que n^n^n^... diverge e não tem limite para n>1 e
que não existe para n = 0. Você deve ter feito o seguinte (considerando
agora x real): x^x^x^x^... = n = f(x)
x^(x^x^x^x^...) = n
ln (x^(x^x^x^x^...)) = ln n
( x^x^x^...)* ln(x) = ln n
n * ln(x) = ln n
ln (x) = (ln n)/n
x = e^((ln n)/n)
x = e^( (ln n)* (1/n) )
= (e^( (ln n) ) ) ^(1/n) (justificativa m ^(p*q) = (m^p)^q) )
= n ^(1/n)
logo se f(x) = x^x^x^... então
f(n^(1/n)) = n (porque f(x) = n) O que deve estar te
confundindo é que
n^(1/n) é a inversa de f(n), (basta
trocar x por n para ver isso) pois
a inversa tem a propriedade que f( f^(-1) (n) ) = n então comparando as
duas expressões:
f( f^(-1) (n) ) = n e
f ( n^(1/n) ) = n então f^(-1) (n) = n^(1/n) , pois f injetiva,
conforme
você afirma. Troque agora n por x e temos
f^(-1) (x) = x^(1/x)
Claro que esta expressão f^(-1) só é valida tomando-se como domínio
a imagem da função f (x), que como vimos é (0,1]. Bom. Peço humildemente
aos membros da lista que corrijam as possíveis
besteiras que eu possa ter dito. Neste caso é lógico que a função x^x^x^x^...
nunca atingirá o valor 3, nos naturais pois seu valor máximo é 1
quando x = 1 e não existe para x>1. Abraço a todos.
Ronaldo Luiz Alonso
Claudio Gustavo wrote: Desculpe, pois não fui claro na minha solução.
Na verdade não é a função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada
por n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1). Quanto
a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral, para imagens
naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o x encontrará
exatamente isso. Daí eu concluí que, como a função f(x) é crescente (acho que
isso já é o suficiente para vermos que ele é injetiva, pois será monótona),
para uma abscissa maior obtemos uma imagem maior. Logo a maior imagem possível
(considerando apenas entre as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que
obtemos imagem 3. Logo essa função nunca atingirá a imagem 4. Acho que agora
fui mais claro nas explicitações. Abraço,Claudio Gustavo. Marcelo Salhab
Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja: f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1... para x = 1, f_n(x) = 1,
para todo n para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...
na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante... nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a)
é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0] tambem nao achei trivial
mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva... abracos,
Salhab
On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
> de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
> Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
> imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
> concluímos que 2 = 4!!!
> Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
> considerações e se o que pensei está correto.
> Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
> então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de
> x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
> intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
> f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função
> é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1
> (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
> dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma
> imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é
> para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá
> a imagem igual a 4.
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