É um problema difícil mesmo.
Começamos observando que o que está tornando o problema impossível,
neste caso parece ser a presença de x^2 do lado esquerdo da
igualdade f(f(x)) = x^2 - 1996. O 1996 parece ser um "mero" detalhe.
Note que se fosse f(f(x)) = x vc neste caso poderia achar infinitas
funções que possuíssem
pelo menos um ponto com essa propriedade, isto é, com f(f(x*)) = x *.
Neste caso x*
seria um ponto periódico de período 2. Para funções do tipo f(x) = u x
(1-x) por exemplo,
vc pode calcular o valor de u para que exista x* tal que f(f(x*)) = x*.
Queremos uma função que tenha infinitos pontos desse tipo.
Ora, obviamente f(x) = x tem essa propriedade, pois f o f (x)= x para
todo x. E se fosse f(f(x)) = x^2 ?
Será que conseguimos repetir um raciocínio parecido com o acima para
provar que tal função não existe?
Artur Costa Steiner wrote:
> Boa tardeHá alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada
> fácil:Mostre que não existe nenhuma função f:R --> R tal que sua
> composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde
> está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver
> com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma
> propriedade de oscilar , nao me lembro nao.ObrigadoArtur
