Vamos construir o triângulo primeiro.
Considere a circunferência que tangencia os lados do ângulo dado e que passa
pelo ponto no interior do ângulo.
A reta por esse tal ponto que é tangente à circunferência construída fornece o
triângulo de perímetro mínimo.
É claro que é necessário provar esse fato.Para isso trace uma outra reta
qualquer pelo ponto interior e mostre que ela fornece um triângulo de perímetro
maior do que o anterior ( não é difícil e é divertido ).
A circunferência usada pode ser construída assim:
Construa uma circunferência qualquer que tangencia os lados ângulo dado. Trace
uma semi-reta com origem no vértice do ângulo e que passa pelo ponto interior
dado.Essa semi-reta corta a circunferência auxiliar em dois pontos, aquele mais
próximo da origem é homotético ao ponto interior dado para a homotetia de
centro no vértice do ângulo. Fazendo um desenho fica tudo muito claro.
Agora é só construir a circunferência que vamos usar para encontrar o triângulo
de perímetro mínimo.
Fica provado também que tal triângulo é construtível com a régua e o compasso.
Isso é interessante porque o segmento de comprimento mínimo que passa pelo
ponto e se apóia nos lados do ângulo não goza dessa propriedade.
Veja se isso é suficiente.
Arconcher.
