Tudo bem?
Cara, a minha resolução não será tão "direta" também, mas quebra o galho.
Primeiro temos que observar que 1/(x-a), 1/(x-b) e 1/(x-c) são sempre
diferentes de 0, ou seja, ou são positivos ou negativos.Logo temos que ter ou 1
parceela negativa 2 duas positivas ou 2 positivas e uma negativa.No 1 caso
temos 1/(x-a) e 1/(x-b) positivoos e 1/(x-c) negativoNo segundo caso temos
1/(x-a) positivo e 1/(x-b) e 1/(x-c) negativosOu seja, x-a é sempre >0 e x>a,
x-c é sempre <0 e x<cFalta analisar o bProvaremos que sempre existe 2 raízes
distintas para a equação, 1 é maior que b e a outra menor.
Faremos isso de um modo um pouco indutivoO passo da indução é, no caso da x1<b,
analisaremos x-a primeiro quando x->a e então aumentando. Quando x-> a, a soma
das 3 parcelas tende ao infinito. Quando x se afasta de a, a parte positiva
1/(x-a) vai diminuindo, e a parte negativa 1/(x-b)+1/(x-c) vai aumentando, e
como quando x-> b, mas x<b a soma tende a -infinito, temos que em algum momento
ela foi 0, logo x1 existe. Para x2>b, analisaremos o x-c quando x-> c, vemos
que a soma tende a -infinito. Quaando x->b, mas x>b, aa sommma tende a
infinito, logo em algum momento ela passou por 0 e x2 existe.
[]'sJoão
Date: Mon, 6 Jun 2011 20:54:36 -0300
Subject: [obm-l] Probleminha....
From: ruymat...@ig.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
" Considere a,b e c números reais tais que a<b<c. Prove que a equação 1/(x-a)
+ 1/(x-b) + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que
satisfazem a condição a<x1<b<x2<c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em "provas
indiretas". Não estou muito satisfeito.
