2012/3/25 Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>: > Pequena correção: > > n! >= (***) n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) >= (**) n^n / > (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) >= (*) n^n / (e^(n-1)), > > Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades > citadas no email anterior. Oi Marcos,
Tenho algumas perguntas... A primeira é que eu achei estranha a desigualdade (***) porque n! >= n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) é contrária à formula de Stirling que diz que n! ~ n^n raiz(2 pi n) exp(-n), porque afinal teríamos n^n raiz(2 pi n) exp(-n) >~ n^n raiz(n) / exp( (2*n^2-3*n+1)/(4*n) ) <=> raiz(2 pi) >~ exp(n) * exp(-n/2) * exp(3/4) * exp(-1/4n) -> infinito Você tem certeza da fórmula? Talvez seja simplesmente 2n no denominador da exponencial como antes, mas não tive tempo de seguir as suas indicações. A outra observação é que a tangente é, intuitivamente, pior do que os trapézios. Certamente, ela dá uma aproximação "por cima" que é o que você quer, mas veja que uma secante tem um erro que é no máximo "metade" do erro da tangente, e o erro "é zero, sobe, desce e volta a zero", enquanto que a tangente o erro é zero, e só aumenta. Claro que o erro é bem menor quando você está pertinho do ponto de tangência, mas como você vai "longe" (distância 1, fixa, portanto) o que acaba contando é o erro total. Com uma ajuda do Maple, eu calculei as diferenças assimptoticas. Seja I a integral "certa" entre t e t+1, T+ o seu trapézio "maior do que a integral", e formado pela tangente em t+1, e T- o trapézio formado pela secante (t, log t) -> (t+1, log t+1). Temos: T+ - I ~ 1/6t^2 - 1/4t^3 + 3/10t^4 ... I - T- ~ 1/12t^2 - 1/12t^3 + ... Como é a soma dos T+ que vai dar o n!, para você provar que T+ > I + "alguma coisa", você precisa calcular até o termo t^-3. No caso das secantes, "basta" ir até o termo t^-2, porque como o termo seguinte é negativo, dá T- > I - 1/12t^2. Claro que quanto mais longe você for na aproximação da tangente, melhor será a aproximação que você vai obter. E última curiosidade: você está estudando? Universidade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
