Olá , acredito que dê só por médias : 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de ( 32(xyz)^2) =3.32 = 96.
Carlos Victor Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine <cysh...@yahoo.com>: > > Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que > há vários detalhes), aí vão soluções: > > > > 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) > + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade > ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = > 2^(7/3). > > Oi Shine, > > eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só > desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da > esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro > leitor. > > Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange > (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, > eu teria feito assim: > > Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = > constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que > vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo > obteve...). > > xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e > portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. > > Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 > termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * > (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para > > 4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. > > Verificando: x^2 = 4^2 = 16 > 4xy = 4*2*4 = 32 > 4*y^2 = 4*2^2 = 16 > 2z^2 = 2*4^2 = 32 > Somando = 96. > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
