Haha, era isso que eu queria fazer. Eu cometi um erro. O Bernardo apontou o erro (valeu, Bernardo!) e o xará Carlos Victor deu a solução que acho melhor mesmo.
[]'s Shine ________________________________ From: Carlos Victor <victorcar...@globo.com> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 20, 2013 8:51 AM Subject: Re: [obm-l] Desigualdades Olá , acredito que dê só por médias : 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de ( 32(xyz)^2) =3.32 = 96. Carlos Victor Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine <cysh...@yahoo.com>: > >> Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há >> vários detalhes), aí vão soluções: >> >> 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + >> 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade >> ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = >> 2^(7/3). > >Oi Shine, > >eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só >desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da >esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro >leitor. > >Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange >(e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, >eu teria feito assim: > >Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = >constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que >vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo >obteve...). > >xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e >portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. > >Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 >termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * >(2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para > >4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. > >Verificando: x^2 = 4^2 = 16 >4xy = 4*2*4 = 32 >4*y^2 = 4*2^2 = 16 >2z^2 = 2*4^2 = 32 >Somando = 96. > >-- >Bernardo Freitas Paulo da Costa > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
