Ok, Meu Grande Mestre Nehab, Um Saudoso Abraço
Carlos Victor Em 20 de março de 2013 23:21, Nehab <carlos.ne...@gmail.com> escreveu: > Oi, querido amigo, > > Apenas uma observação: > Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y e > z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96. > Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2 > (e naturalmente xyz = 32). > De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2. > > Um grande abraço, > Saudades > Nehab > > > On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote: > > Olá , > acredito que dê só por médias : > 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de ( > 32(xyz)^2) =3.32 = 96. > > Carlos Victor > > > Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine <cysh...@yahoo.com>: >> > Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que >> há vários detalhes), aí vão soluções: >> > >> > 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + >> 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A >> igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = >> 2^(5/6) e z = 2^(7/3). >> >> Oi Shine, >> >> eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só >> desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da >> esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro >> leitor. >> >> Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange >> (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, >> eu teria feito assim: >> >> Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = >> constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que >> vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo >> obteve...). >> >> xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e >> portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. >> >> Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 >> termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * >> (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para >> >> 4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. >> >> Verificando: x^2 = 4^2 = 16 >> 4xy = 4*2*4 = 32 >> 4*y^2 = 4*2^2 = 16 >> 2z^2 = 2*4^2 = 32 >> Somando = 96. >> >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > >
