Oi, querido amigo,
Apenas uma observação:
Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y
e z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96.
Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2
(e naturalmente xyz = 32).
De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2.
Um grande abraço,
Saudades
Nehab
On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote:
Olá ,
acredito que dê só por médias :
4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de (
32(xyz)^2) =3.32 = 96.
Carlos Victor
Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardo...@gmail.com <mailto:bernardo...@gmail.com>> escreveu:
2013/3/19 Carlos Yuzo Shine <cysh...@yahoo.com
<mailto:cysh...@yahoo.com>>:
> Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável,
em que há vários detalhes), aí vão soluções:
>
> 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2
+ 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 =
128. A igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x =
2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3).
Oi Shine,
eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só
desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
leitor.
Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
(e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
eu teria feito assim:
Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que
vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
obteve...).
xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.
Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
(2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para
4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 =
2, x = 4.
Verificando: x^2 = 4^2 = 16
4xy = 4*2*4 = 32
4*y^2 = 4*2^2 = 16
2z^2 = 2*4^2 = 32
Somando = 96.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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