Bom, depende muito do que chamamos de "formas"... Vou supor que as posicoes
sao todas importantes e rotuladas. Digo, vou contar como *diferentes*
preenchimentos que difiram por rotacao, reflexao ou permutacao dos numeros.
Eu comecaria notando que se alguma posicao preenche o quadrado, entao
qualquer permutacao dos numeros 1234 nela tambem serve. Digo, se voce me
der uma posicao valida, trocando todos os 1 por 3, 3 por 2, 2 por 1 e
mantendo os 4s, por exemplo, voce acha outra posicao que eh valida. Assim,
posso supor que o quadrado de cima eh 1234 em uma ordem especifica, contar
o numero de preenchimentos a partir dali, e multiplicar por 24.
Ou seja, vou contar quantos quadrados ha da forma
12AB
34CD
EFGH
IJKL
e multiplicar por 24.
Agora, note que se trocarmos as duas ultimas colunas a partir de uma
solucao valida, temos uma nova solucao valida distinta. Idem se trocarmos
as 2 linhas de baixo. Entao posso supor AB=34 e EI=24 se eu desejar. Ou
seja, basta contar o numero de quadrados da forma
1234
34CD
2FGH
4JKL
e multiplicar por 24x2x2=96.
Note que o ultimo 4 tem que ir para a posicao G. Como se fosse um Sudoku
(bom, eh um Sudoku!), vou marcar as possibilidades para as letras que
faltam:
1 2 3 4
3 4 {12} {12}
2 {13} 4 {13}
4 {13} {12} {123}
(isto fica melhor em fonte de largura fixa)
Entao o 2 ocupa vertices opostos do retangulo CDLK. Assim, temos duas
posicoes para os 2 que faltam:
-- Se C=L=2, entao o 3 tem que ir para J e H e o resto sao 1s. Ou seja,
temos a PRIMEIRA solucao:
1234
3421
2143
4312
-- Por outro lado, se D=K=2, entao devemos ter C=1... Hmmmm....
1234
3412
2F4H
4J2L
e agora ainda posso escolher duas maneiras validas de botar o 1 e o 3. Em
suma, temos a SEGUNDA:
1234
3412
2143
4321
e a TERCEIRA solucoes
1234
3412
2341
4123
Enfim, todas as solucoes serao obtidas a partir dessas tres, trocando as
duas ultimas colunas ou as duas ultimas linhas de lugar, ou permutando os
numeros 1, 2, 3, 4 (e, sim, serao todas diferentes, pois a permutacao
determina o quadrante noroeste, e as trocas de linhas/colunas determinam CD
e EI).
Entao, se eu nao errei bobagem, o total eh 3x2x2x24=288. Estou com o seu
numero! :)
Abraco, Ralph.
2015-06-01 17:15 GMT-03:00 André Chaves <andrezinho1...@terra.com.br>:
> Prezados,
> Alguém pode me ajudar com a solução deste problema. Ele consta de uma
> lista de exercícios que apresenta a resposta 144. Um aluno meu achou 192 e
> eu achei 288.
> De antemão, muito obrigado!
> Abração,
> André Luiz.
>
>
>
>
> A figura abaixo é composta de 16 quadrados menores. De quantas formas é
> possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e 4, de modo que
> um número não possa aparecer 2 vezes em:
>
> • uma mesma linha.
>
> • uma mesma coluna.
>
> • cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas.
>
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