Bom dia!
Não entendi como o Anderson chegou a solução, para determinar o período
propriamente dito. Todavia fiz um experimento e realmente dá certo para
(10^k-1)/3^n. Acho que ele se enganou e reportou n somente ao invés de 3^n.
Todavia, em alguns casos, precisa colocar algarismos zeros a esquerda do
resultado
Por exemplo para 1/3^3.
O menor expoente que satisfaz 10^k= 1 mod27 é k= 3
então o período seria (10^3-1)/3 = 37.
Porém, usando a fórmula proposta pelo Bernardo, o número de algarismos do
período seria = 3^(3-2) = 3.
Portanto, seria necessário completar com "zeros" a esquerda para alguns
casos e creio que seja 3^2002 no denominador e não 2002, como apresentado.
O mesmo acontece para 1/3^4
a ordem de 10 mod81 é 9
então o período daria (10^9-1)/81 = 12345679.
Porém o número de algarismos do período é, segundo o Bernardo, e com
propriedade: 3^(2)=9 e novamente precisamos acrescentar um algarismo zero a
esquerda.
Um outro ponto, é quanto a quantidade de átomos do universo. É uma
estimativa, e para o universo observável, ou seja, cuja distância a partir
de um observador é menor ou igual do que a distância percorrida pela luz,
desde o Big Bang até o instante de observação. Minha crença é de que o
universo é infinito e não limitado a três dimensões, as três dimensões é
uma limitação nossa e não existencial. Mas...
Ademais, a estimativa além de considerar o universo como finito, despreza
possíveis fontes de átomos, só considerando os das estrelas e usa
equivalência para átomos de Hidrogênio.
Bernardo,
pode ficar tranquilo que a ordem de grandeza, tradicional, para a
estimativa da quantidade de átomos do universo é 10^80 (na verdade a
estimativa é 4 * 10^79, mas como 4 > 3,16 a ordem é 10^80).
Já eu tenho que tomar um remédio para memória que é muito bom, sensacional.
Se alguém precisar, posso passar o nome depois, pois não lembro o nome.
Fiquei em dúvida, agora, não me lembro se tomei o remédio hoje ou não.
Saudações,
PJMS.
Em 21 de novembro de 2017 23:27, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:
> 2017-11-21 22:41 GMT-02:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
> > Que treta... Bem, a ideia seria descobrir a potência de dez que deixa
> > resto um módulo 3^2002, e daí realizar a divisão longa
> > ((10^k-1)/2002)...
> >
> > Em 21 de novembro de 2017 17:13, Vinícius Raimundo
> > <vini.raimu...@gmail.com> escreveu:
> >> Encontre o período na representação decimal de 1/3^2002
>
> Eu acho que por "o período" o enunciado quer dizer o número de dígitos
> no período, (assim 1/3 = 0.33333... tem período 1, 1/7 =
> 0.142857142... tem período 6, etc).
>
> E neste caso uma solução por recorrência mostra que o período é
> 3^{n-2} para n >= 2 (se não me falha a memória). Se for isso, basta
> mostrar que 10^{3^n} - 1 é divisível por 3^{n+2}, mas não por 3^{n+3}.
> Com n=0, isso é 10^1 - 1 é divisível por 9 = 3^2, o passo de indução
> você usa (a-1)^ = a^3 - 3a^2 + 3a - 1. Agora, calcular a parte
> periódica, vai demorar... Se eu acertei as contas, tem "só" 3^2000
> dígitos, que é muito mais do que o número de átomos no universo (por
> volta de 10^{80}, de novo de memória) :)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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