Eu imagino que a continuidade de f seja necessária para esse problema. Estou tentando aqui, mas não consigo encontrar um exemplo de função f periódica descontínua (em todos os pontos) tal que g seja periódica. Alguém tem alguma ideia?
2018-04-14 13:50 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>: > Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De > qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g > oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo. > > 2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: >> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica, >> então g é unformemente contínua. >> >> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua. >> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja >> periódica. >> >> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua, >> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos >> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n - >> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) = >> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é >> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica. >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" <claudio.buff...@gmail.com> >> escreveu: >> >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >> >> >> >> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: >>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >>> >>> Artur >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
