Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer função que apresente um período". Um "período" é qualquer número positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica" nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não existe um menor racional negativo.
Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco. 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: > Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que > f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma > função periódica não-constante (contínua ou não)? > > > 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>: >> >> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei >> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de >> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período >> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não >> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos >> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há >> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da >> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual >> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à >> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa >> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, >> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é >> contínua em nenhum ponto. >> >> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa >> <bernardo...@gmail.com>: >> > Oi Claudio, >> > >> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: >> >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >> >> >> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >> >> >> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >> > >> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é >> > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >> > todo a. >> > >> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >> >> contraria >> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >> > >> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais >> > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >> > contínua"... >> > >> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner >> >> <artur.costa.stei...@gmail.com>: >> >>> >> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. >> >>> Mostre >> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >> >>> >> >>> Artur >> > >> > Abraços, >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > ========================================================================= >> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> > ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
